15. 图①是一个平分角的仪器，其中$OD=OE$，$FD=FE$。
（1）如图②，将仪器放置在$△ ABC$上，使点$O$与顶点$A$重合，$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上，沿$AF$作一条射线$AP$，交$BC$于点$P$。$AP$是$∠ BAC$的平分线吗？请判断并说明理由。
（2）如图③，在（1）的条件下，过点$P$作$PQ ⊥ AB$于点$Q$，若$PQ=6$，$AC=9$，$△ ABC$的面积是60，求$AB$的长。

15. (1) $AP$是$∠ BAC$的平分线. 理由如下: 在$△ ADF$ 和 $△ AEF$ 中，$\because \begin{cases} AD = AE, \\ FD = FE, \\ AF = AF, \end{cases} \therefore △ ADF ≌ △ AEF. \therefore ∠ DAF = ∠ EAF. \therefore AP$平分$∠ BAC$
(2) 如图，过点$P$作$PG ⊥ AC$于点$G$. $\because AP$平分$∠ BAC$，$PQ ⊥ AB$，$\therefore PG = PQ = 6. \because S_{△ ABC} = S_{△ ABP} + S_{△ APC} = \frac{1}{2} AB · PQ + \frac{1}{2} AC · PG$，$\therefore \frac{1}{2} AB × 6 + \frac{1}{2} × 9 × 6 = 60. \therefore AB = 11$

【分析】
（1）要判断AP是否为∠BAC的平分线，只需证明∠DAF=∠EAF即可。已知OD=OE，点O与A重合因此AD=AE，又已知FD=FE，加上公共边AF，可通过SSS判定△ADF和△AEF全等，利用全等三角形对应角相等即可得到两角相等，证明AP是角平分线。
（2）根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过P作AC的垂线PG，可得PG=PQ=6。△ABC的面积可拆分为△ABP和△ACP的面积之和，代入已知的面积、AC长度、PQ和PG的数值，列方程即可求出AB的长度。
【解析】
（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下：
在$△ ADF$和$△ AEF$中，
$\begin{cases}AD = AE, \\FD = FE, \\AF = AF,\end{cases}$
$\therefore △ ADF ≌ △ AEF \ (\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ DAF = ∠ EAF$，即AP平分$∠ BAC$。
（2）过点P作$PG ⊥ AC$于点G，
$\because$AP平分$∠ BAC$，$PQ ⊥ AB$，$PG ⊥ AC$，
$\therefore PG = PQ = 6$，
$\because S_{△ ABC} = S_{△ ABP} + S_{△ APC} = \frac{1}{2} AB · PQ + \frac{1}{2} AC · PG$，
将$S_{△ ABC}=60$，$AC=9$，$PQ=PG=6$代入得：
$\frac{1}{2} × AB × 6 + \frac{1}{2} × 9 × 6 = 60$，
化简得$3AB + 27 = 60$，
解得$AB=11$。
【答案】
(1) $AP$是$∠ BAC$的平分线. 理由如下: 在$△ ADF$ 和 $△ AEF$ 中，$\because \begin{cases} AD = AE, \\ FD = FE, \\ AF = AF, \end{cases} \therefore △ ADF ≌ △ AEF. \therefore ∠ DAF = ∠ EAF. \therefore AP$平分$∠ BAC$
(2) 如图，过点$P$作$PG ⊥ AC$于点$G$. $\because AP$平分$∠ BAC$，$PQ ⊥ AB$，$\therefore PG = PQ = 6. \because S_{△ ABC} = S_{△ ABP} + S_{△ APC} = \frac{1}{2} AB · PQ + \frac{1}{2} AC · PG$，$\therefore \frac{1}{2} AB × 6 + \frac{1}{2} × 9 × 6 = 60. \therefore AB = 11$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题结合平分角仪器的实际场景考查几何知识应用，既需要掌握全等三角形证明角相等的方法，又要能熟练运用角平分线的性质，通过面积法建立方程求解线段长度，综合性适中，能有效考查基础几何知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7