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14. 在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一道题：“今有开门去阃一尺，不合二寸，问门广几何？”大意是说：如图，推开两扇门(AD和BC)，门边缘D、C两点到门槛AB的距离为1尺(1尺=10寸)，两扇门间的缝隙CD为2寸，求两扇门的宽度之和AB的尺寸。
答案
14. 过点D作DE⊥AB于点E.设OA=OB=AD=BC=r寸,则DE=10寸,$OE=\frac{1}{2}CD=1$寸,AE=(r−1)寸.在Rt△ADE中,$AE^2+DE^2=AD^2$,即$(r-1)^2+10^2=r^2$,解得2r=101.
∴两扇门的宽度之和AB为101寸
解析
【分析】
解题时先把实际开门问题转化为几何问题：两扇门对称分布在过O的竖直线两侧，单扇门的宽度AD等于半门宽OA，因此可设OA=OB=AD=BC=r寸，要求的AB总宽度就是2r。接着过D作DE垂直AB得到直角三角形ADE，其中DE是门边缘到门槛的距离，即10寸；由对称性可知OE为缝隙CD的一半，即1寸，因此AE的长度为OA-OE=(r-1)寸。最后在Rt△ADE中应用勾股定理列方程，求解出r后就能得到AB的总宽度。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E。
设OA=OB=AD=BC=r寸，根据题意换算单位得DE=1尺=10寸，已知CD=2寸，由轴对称性质可得$OE=\frac{1}{2}CD=1$寸，因此$AE=OA-OE=(r-1)$寸。
在Rt△ADE中，根据勾股定理$AE^2+DE^2=AD^2$，代入各边长度得：
$(r-1)^2+10^2=r^2$
展开方程得$r^2-2r+1+100=r^2$，化简后解得$2r=101$。
∴两扇门的宽度之和AB为101寸。
【答案】
两扇门的宽度之和AB为101寸
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程的应用；轴对称的性质
【点评】
本题以我国古代数学著作的问题为背景，考查了勾股定理在实际生活中的应用，解题的关键是将实际问题转化为几何模型，找到直角三角形各边的数量关系，利用方程思想求解，同时能让学生感受到我国古代数学的智慧。
【难度系数】
0.7
解题时先把实际开门问题转化为几何问题：两扇门对称分布在过O的竖直线两侧，单扇门的宽度AD等于半门宽OA，因此可设OA=OB=AD=BC=r寸，要求的AB总宽度就是2r。接着过D作DE垂直AB得到直角三角形ADE，其中DE是门边缘到门槛的距离，即10寸；由对称性可知OE为缝隙CD的一半，即1寸，因此AE的长度为OA-OE=(r-1)寸。最后在Rt△ADE中应用勾股定理列方程，求解出r后就能得到AB的总宽度。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E。
设OA=OB=AD=BC=r寸，根据题意换算单位得DE=1尺=10寸，已知CD=2寸，由轴对称性质可得$OE=\frac{1}{2}CD=1$寸，因此$AE=OA-OE=(r-1)$寸。
在Rt△ADE中，根据勾股定理$AE^2+DE^2=AD^2$，代入各边长度得：
$(r-1)^2+10^2=r^2$
展开方程得$r^2-2r+1+100=r^2$，化简后解得$2r=101$。
∴两扇门的宽度之和AB为101寸。
【答案】
两扇门的宽度之和AB为101寸
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程的应用；轴对称的性质
【点评】
本题以我国古代数学著作的问题为背景，考查了勾股定理在实际生活中的应用，解题的关键是将实际问题转化为几何模型，找到直角三角形各边的数量关系，利用方程思想求解，同时能让学生感受到我国古代数学的智慧。
【难度系数】
0.7
1. 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的△ABC的边长是无理数的边有 【 】
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
（第1题）
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
（第1题）答案
C
解析
【分析】
要判断△ABC的边长为无理数的边数，需利用勾股定理分别计算三条边的长度，再结合无理数的定义判断即可。解题时先将每条边看作直角三角形的斜边，数出对应直角边占的小正方形边长的格数，代入勾股定理计算边长，最后统计无理数的边的数量。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理分别计算△ABC三边的长度：
1. 计算AC的长度：AC对应的直角边长度分别为3、4，
∴$AC^2=3^2+4^2=9+16=25$，即$AC=5$，是有理数；
2. 计算AB的长度：AB对应的直角边长度分别为1、5，
∴$AB^2=1^2+5^2=1+25=26$，即$AB=\sqrt{26}$，是无理数；
3. 计算BC的长度：BC对应的直角边长度分别为2、3，
∴$BC^2=2^2+3^2=4+9=13$，即$BC=\sqrt{13}$，是无理数。
综上，边长为无理数的边有2条，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；无理数的定义
【点评】
本题属于勾股定理在网格中的基础应用类题目，解题核心是把三角形的边转化为直角三角形的斜边，准确数出直角边的格数是避免出错的关键，同时需要明确开方开不尽的数属于无理数。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC的边长为无理数的边数，需利用勾股定理分别计算三条边的长度，再结合无理数的定义判断即可。解题时先将每条边看作直角三角形的斜边，数出对应直角边占的小正方形边长的格数，代入勾股定理计算边长，最后统计无理数的边的数量。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理分别计算△ABC三边的长度：
1. 计算AC的长度：AC对应的直角边长度分别为3、4，
∴$AC^2=3^2+4^2=9+16=25$，即$AC=5$，是有理数；
2. 计算AB的长度：AB对应的直角边长度分别为1、5，
∴$AB^2=1^2+5^2=1+25=26$，即$AB=\sqrt{26}$，是无理数；
3. 计算BC的长度：BC对应的直角边长度分别为2、3，
∴$BC^2=2^2+3^2=4+9=13$，即$BC=\sqrt{13}$，是无理数。
综上，边长为无理数的边有2条，故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；无理数的定义
【点评】
本题属于勾股定理在网格中的基础应用类题目，解题核心是把三角形的边转化为直角三角形的斜边，准确数出直角边的格数是避免出错的关键，同时需要明确开方开不尽的数属于无理数。
【难度系数】
0.8
2. 如图，数轴上点A表示的数是1，点B表示的数是-2，$BC=1$，$∠ ABC=90°$，以点A为圆心、AC长为半径作弧，与数轴交于原点左侧的点D，则点D表示的数是 【 】
A.$1-\sqrt{10}$
B.$2-\sqrt{10}$
C.$\sqrt{10}-1$
D.$\sqrt{10}-2$
A.$1-\sqrt{10}$
B.$2-\sqrt{10}$
C.$\sqrt{10}-1$
D.$\sqrt{10}-2$
答案
A
解析
【分析】
要确定点D表示的数，需按以下思路推导：首先求出半径AC的长度，第一步先计算数轴上A、B两点的距离，第二步在直角三角形ABC中用勾股定理算出AC的长，第三步根据圆的半径相等得到AD=AC，最后结合点A表示的数、点D在A左侧的位置特征，计算出D对应的数即可。
【解析】
1. 计算AB的长度：
∵点A表示的数是1，点B表示的数是-2，
∴AB = 1 - (-2) = 3。
2. 用勾股定理求AC的长度：
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=1，由勾股定理可得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 1^2 = 10$，
∵AC是线段长度，取正值，
∴$AC=\sqrt{10}$。
3. 推导点D表示的数：
∵以A为圆心、AC长为半径作弧，
∴$AD=AC=\sqrt{10}$，
又
∵点D在点A的左侧，
∴点D表示的数为$1-\sqrt{10}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；数轴与实数；圆的基本性质
【点评】
本题是勾股定理与数轴结合的基础典型题，解题核心是结合几何性质求出线段长度，再根据数轴上点的位置计算对应数值，侧重考察数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
要确定点D表示的数，需按以下思路推导：首先求出半径AC的长度，第一步先计算数轴上A、B两点的距离，第二步在直角三角形ABC中用勾股定理算出AC的长，第三步根据圆的半径相等得到AD=AC，最后结合点A表示的数、点D在A左侧的位置特征，计算出D对应的数即可。
【解析】
1. 计算AB的长度：
∵点A表示的数是1，点B表示的数是-2，
∴AB = 1 - (-2) = 3。
2. 用勾股定理求AC的长度：
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=1，由勾股定理可得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 3^2 + 1^2 = 10$，
∵AC是线段长度，取正值，
∴$AC=\sqrt{10}$。
3. 推导点D表示的数：
∵以A为圆心、AC长为半径作弧，
∴$AD=AC=\sqrt{10}$，
又
∵点D在点A的左侧，
∴点D表示的数为$1-\sqrt{10}$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；数轴与实数；圆的基本性质
【点评】
本题是勾股定理与数轴结合的基础典型题，解题核心是结合几何性质求出线段长度，再根据数轴上点的位置计算对应数值，侧重考察数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在四边形ABCD中,$∠DAB=∠BCD=90°$,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,若$S_1 + S_4 = 135$, $S_3 = 49$,则$S_2 = (\quad)$.
A.184
B.86
C.119
D.81
A.184
B.86
C.119
D.81
答案
B
解析
【分析】
首先明确正方形的面积等于对应边长的平方，观察四边形ABCD存在两个直角，可通过连接对角线BD，将四边形拆分为两个直角三角形。根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，我们可以分别在两个直角三角形中建立边长平方的等量关系，再结合正方形面积和边长平方的对应关系，即可推导出四个正方形面积之间的联系，代入已知数值就能求出S₂。
【解析】
连接辅助线BD：
1. 由正方形面积公式可知，正方形面积等于边长的平方，因此$S_1=AB^2$，$S_4=AD^2$，$S_2=BC^2$，$S_3=CD^2$。
2. 在$Rt△ ABD$中，$∠ DAB=90°$，根据勾股定理可得：$AB^2+AD^2=BD^2$，即$S_1+S_4=BD^2$。
3. 在$Rt△ BCD$中，$∠ BCD=90°$，根据勾股定理可得：$BC^2+CD^2=BD^2$，即$S_2+S_3=BD^2$。
4. 联立上述两个等式可得：$S_1+S_4=S_2+S_3$。
5. 代入已知$S_1+S_4=135$，$S_3=49$，得$135=S_2+49$，解得$S_2=135-49=86$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，通过添加辅助线将四边形转化为两个共斜边的直角三角形，把正方形面积与勾股定理中的边长平方建立关联，解题的核心是找到两个直角三角形公共斜边的等量关系，实现条件的转化。
【难度系数】
0.7
首先明确正方形的面积等于对应边长的平方，观察四边形ABCD存在两个直角，可通过连接对角线BD，将四边形拆分为两个直角三角形。根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，我们可以分别在两个直角三角形中建立边长平方的等量关系，再结合正方形面积和边长平方的对应关系，即可推导出四个正方形面积之间的联系，代入已知数值就能求出S₂。
【解析】
连接辅助线BD：
1. 由正方形面积公式可知，正方形面积等于边长的平方，因此$S_1=AB^2$，$S_4=AD^2$，$S_2=BC^2$，$S_3=CD^2$。
2. 在$Rt△ ABD$中，$∠ DAB=90°$，根据勾股定理可得：$AB^2+AD^2=BD^2$，即$S_1+S_4=BD^2$。
3. 在$Rt△ BCD$中，$∠ BCD=90°$，根据勾股定理可得：$BC^2+CD^2=BD^2$，即$S_2+S_3=BD^2$。
4. 联立上述两个等式可得：$S_1+S_4=S_2+S_3$。
5. 代入已知$S_1+S_4=135$，$S_3=49$，得$135=S_2+49$，解得$S_2=135-49=86$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，通过添加辅助线将四边形转化为两个共斜边的直角三角形，把正方形面积与勾股定理中的边长平方建立关联，解题的核心是找到两个直角三角形公共斜边的等量关系，实现条件的转化。
【难度系数】
0.7
