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4. 如图，$∠ BAC = 90°$，$AB = 4$，$AC = 4$，$BD = 7$，$DC = 9$，则$∠ DBA =$
45
°。答案
4. 45
解析
【分析】
解题思路可分三步：①先处理已知的Rt△ABC，利用勾股定理求出斜边BC的长度，同时根据等腰直角三角形的特征得到∠ABC的度数；②将BC的长度代入△BCD，通过勾股定理的逆定理判断△BCD的形状，得到∠DBC的度数；③用∠DBC减去∠ABC即可求出∠DBA的度数。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC=4$，
根据勾股定理得：$BC^2=AB^2+AC^2=4^2+4^2=32$，
同时$△ ABC$是等腰直角三角形，因此$∠ ABC=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
2. 在$△ BCD$中，$BD=7$，$DC=9$，
计算得$BD^2=49$，$DC^2=81$，
因此$BC^2+BD^2=32+49=81=DC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得$△ BCD$是直角三角形，且$∠ DBC=90°$。
3. 因此$∠ DBA=∠ DBC-∠ ABC=90°-45°=45°$。
【答案】
45
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于勾股定理的综合应用类题目，解题的核心是先通过勾股定理求出公共边BC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断直角三角形，结合角度差计算所求角，对勾股定理正反应用的掌握程度要求较高。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步：①先处理已知的Rt△ABC，利用勾股定理求出斜边BC的长度，同时根据等腰直角三角形的特征得到∠ABC的度数；②将BC的长度代入△BCD，通过勾股定理的逆定理判断△BCD的形状，得到∠DBC的度数；③用∠DBC减去∠ABC即可求出∠DBA的度数。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC=4$，
根据勾股定理得：$BC^2=AB^2+AC^2=4^2+4^2=32$，
同时$△ ABC$是等腰直角三角形，因此$∠ ABC=\frac{180°-90°}{2}=45°$。
2. 在$△ BCD$中，$BD=7$，$DC=9$，
计算得$BD^2=49$，$DC^2=81$，
因此$BC^2+BD^2=32+49=81=DC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得$△ BCD$是直角三角形，且$∠ DBC=90°$。
3. 因此$∠ DBA=∠ DBC-∠ ABC=90°-45°=45°$。
【答案】
45
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于勾股定理的综合应用类题目，解题的核心是先通过勾股定理求出公共边BC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断直角三角形，结合角度差计算所求角，对勾股定理正反应用的掌握程度要求较高。
【难度系数】
0.7
5. 已知等腰三角形ABC的底边BC=5，D是腰AB上的一点，且CD=4，BD=3，则AD的长为
$\frac{7}{6}$
。答案
5. $\frac{7}{6}$
解析
【分析】
首先观察已知线段长度：BD=3，CD=4，BC=5，满足3²+4²=5²，可先通过勾股定理逆定理判断△BDC为直角三角形，得到CD⊥AB，进而得到Rt△ADC；再结合等腰三角形ABC底边为BC，可知两腰AB=AC，设AD的长为x，将AB、AC用含x的式子表示，最后在Rt△ADC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：在△BDC中，BD=3，CD=4，BC=5，
∵ $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，即 $BD^2 + CD^2 = BC^2$，
∴ 由勾股定理的逆定理可得，△BDC是直角三角形，且$∠ BDC=90°$，
∴ $∠ ADC = 180° - ∠ BDC = 90°$，即△ADC为直角三角形。
设$AD=x$，
∵ 等腰△ABC的底边为BC，
∴ 腰$AB=AC$，
又
∵ $AB = AD + BD = x + 3$，
∴ $AC = x + 3$。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：$AC^2 = AD^2 + CD^2$，
代入得：$(x+3)^2 = x^2 + 4^2$，
展开得：$x^2 + 6x + 9 = x^2 + 16$，
化简得：$6x = 7$，
解得：$x = \frac{7}{6}$，即$AD = \frac{7}{6}$。
【答案】
$\frac{7}{6}$
【知识点】
勾股定理逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，解题的突破口是通过勾股定理逆定理得到直角，再结合等腰三角形的性质，利用勾股定理构造方程求解，较好地融合了几何性质与代数方程的知识。
【难度系数】
0.7
首先观察已知线段长度：BD=3，CD=4，BC=5，满足3²+4²=5²，可先通过勾股定理逆定理判断△BDC为直角三角形，得到CD⊥AB，进而得到Rt△ADC；再结合等腰三角形ABC底边为BC，可知两腰AB=AC，设AD的长为x，将AB、AC用含x的式子表示，最后在Rt△ADC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：在△BDC中，BD=3，CD=4，BC=5，
∵ $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$，即 $BD^2 + CD^2 = BC^2$，
∴ 由勾股定理的逆定理可得，△BDC是直角三角形，且$∠ BDC=90°$，
∴ $∠ ADC = 180° - ∠ BDC = 90°$，即△ADC为直角三角形。
设$AD=x$，
∵ 等腰△ABC的底边为BC，
∴ 腰$AB=AC$，
又
∵ $AB = AD + BD = x + 3$，
∴ $AC = x + 3$。
在Rt△ADC中，由勾股定理得：$AC^2 = AD^2 + CD^2$，
代入得：$(x+3)^2 = x^2 + 4^2$，
展开得：$x^2 + 6x + 9 = x^2 + 16$，
化简得：$6x = 7$，
解得：$x = \frac{7}{6}$，即$AD = \frac{7}{6}$。
【答案】
$\frac{7}{6}$
【知识点】
勾股定理逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，解题的突破口是通过勾股定理逆定理得到直角，再结合等腰三角形的性质，利用勾股定理构造方程求解，较好地融合了几何性质与代数方程的知识。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$∠ A = ∠ OCD = 90°$，$AB = BC = CD = 1$，$OA = 2$，$OD^2 = 7$，则$△ OBC$形状是
直角三角形
。答案
6. 直角三角形
解析
【分析】
要判断△OBC的形状，已知三边长度相关条件，且图中存在两个直角三角形，我们可以借助勾股定理先分别求出OB²、OC²的值，再结合BC的长度，利用勾股定理的逆定理验证三边平方的关系，即可判断三角形形状。具体思路：第一步在Rt△OAB中用勾股定理计算OB²；第二步在Rt△OCD中用勾股定理计算OC²；第三步验证OB²、BC²、OC²是否满足勾股定理逆定理的关系，得出结论。
【解析】
解：在$Rt△ OAB$中，$∠ A=90°$，$OA=2$，$AB=1$，
根据勾股定理可得：$OB^2=OA^2+AB^2=2^2+1^2=4+1=5$。
在$Rt△ OCD$中，$∠ OCD=90°$，$CD=1$，$OD^2=7$，
根据勾股定理可得：$OC^2+CD^2=OD^2$，
$\therefore OC^2=OD^2-CD^2=7-1^2=7-1=6$。
已知$BC=1$，则$BC^2=1^2=1$，
$\because OB^2+BC^2=5+1=6=OC^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，$△ OBC$是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查勾股定理及其逆定理的综合应用，解题关键是合理利用已知直角三角形求出待判断三角形的边长平方，再通过三边平方关系判断三角形形状，是勾股定理应用的典型题目。
【难度系数】
0.7
要判断△OBC的形状，已知三边长度相关条件，且图中存在两个直角三角形，我们可以借助勾股定理先分别求出OB²、OC²的值，再结合BC的长度，利用勾股定理的逆定理验证三边平方的关系，即可判断三角形形状。具体思路：第一步在Rt△OAB中用勾股定理计算OB²；第二步在Rt△OCD中用勾股定理计算OC²；第三步验证OB²、BC²、OC²是否满足勾股定理逆定理的关系，得出结论。
【解析】
解：在$Rt△ OAB$中，$∠ A=90°$，$OA=2$，$AB=1$，
根据勾股定理可得：$OB^2=OA^2+AB^2=2^2+1^2=4+1=5$。
在$Rt△ OCD$中，$∠ OCD=90°$，$CD=1$，$OD^2=7$，
根据勾股定理可得：$OC^2+CD^2=OD^2$，
$\therefore OC^2=OD^2-CD^2=7-1^2=7-1=6$。
已知$BC=1$，则$BC^2=1^2=1$，
$\because OB^2+BC^2=5+1=6=OC^2$，
根据勾股定理的逆定理可知，$△ OBC$是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查勾股定理及其逆定理的综合应用，解题关键是合理利用已知直角三角形求出待判断三角形的边长平方，再通过三边平方关系判断三角形形状，是勾股定理应用的典型题目。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=9 m,BC=12 m,CD=8 m,AD=17 m,求四边形ABCD的面积.
答案
7. 连结AC. $\because ∠B=90°, AB=9\mathrm{m}, BC=12\mathrm{m},$ $\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=15\mathrm{m}. \because CD^2+AC^2=8^2+15^2=17^2=AD^2,\therefore △ACD$为直角三角形,且$∠ACD=90°. ∴$ 四边形ABCD的面积$=S_{△ABC}+S_{△ACD}=\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×8×15=114(\mathrm{m}^2)$
解析
【分析】
所求四边形ABCD是不规则图形，无法直接套用面积公式计算，因此考虑用分割法转化为三角形求解。观察到∠B是直角，首先连接AC，将四边形分为△ABC和△ACD两个部分：第一步先在Rt△ABC中用勾股定理算出AC的长度；第二步再用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，若满足逆定理条件则△ACD也是直角三角形，最后将两个直角三角形的面积相加即可得到四边形的总面积。
【解析】
解：连结AC
∵ ∠B=90°，AB=9 m，BC=12 m
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{m}$
已知CD=8 m，AD=17 m，计算三边平方关系：
$CD^2+AC^2=8^2+15^2=64+225=289$，$AD^2=17^2=289$
即$CD^2+AC^2=AD^2$，根据勾股定理的逆定理可得：
△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°
因此四边形ABCD的面积为两个直角三角形面积之和：
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}× AB× BC+\frac{1}{2}× AC× CD$
$=\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×15×8$
$=54+60=114\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
7. 连结AC. $\because ∠B=90°, AB=9\mathrm{m}, BC=12\mathrm{m},$ $\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=15\mathrm{m}. \because CD^2+AC^2=8^2+15^2=17^2=AD^2,\therefore △ACD$为直角三角形,且$∠ACD=90°. ∴$ 四边形ABCD的面积$=S_{△ABC}+S_{△ACD}=\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×8×15=114(\mathrm{m}^2)$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题核心考查勾股定理及其逆定理的综合应用，通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形是解题的突破口，这类转化思想在几何图形面积计算中非常常用，需要学生熟练掌握勾股定理及逆定理的适用场景。
【难度系数】
0.7
所求四边形ABCD是不规则图形，无法直接套用面积公式计算，因此考虑用分割法转化为三角形求解。观察到∠B是直角，首先连接AC，将四边形分为△ABC和△ACD两个部分：第一步先在Rt△ABC中用勾股定理算出AC的长度；第二步再用勾股定理的逆定理判断△ACD是否为直角三角形，若满足逆定理条件则△ACD也是直角三角形，最后将两个直角三角形的面积相加即可得到四边形的总面积。
【解析】
解：连结AC
∵ ∠B=90°，AB=9 m，BC=12 m
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{m}$
已知CD=8 m，AD=17 m，计算三边平方关系：
$CD^2+AC^2=8^2+15^2=64+225=289$，$AD^2=17^2=289$
即$CD^2+AC^2=AD^2$，根据勾股定理的逆定理可得：
△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°
因此四边形ABCD的面积为两个直角三角形面积之和：
$S_{四边形ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}× AB× BC+\frac{1}{2}× AC× CD$
$=\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×15×8$
$=54+60=114\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
7. 连结AC. $\because ∠B=90°, AB=9\mathrm{m}, BC=12\mathrm{m},$ $\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=15\mathrm{m}. \because CD^2+AC^2=8^2+15^2=17^2=AD^2,\therefore △ACD$为直角三角形,且$∠ACD=90°. ∴$ 四边形ABCD的面积$=S_{△ABC}+S_{△ACD}=\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×8×15=114(\mathrm{m}^2)$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题核心考查勾股定理及其逆定理的综合应用，通过添加辅助线将不规则四边形转化为两个直角三角形是解题的突破口，这类转化思想在几何图形面积计算中非常常用，需要学生熟练掌握勾股定理及逆定理的适用场景。
【难度系数】
0.7
8. 小明和爸爸妈妈一起去露营. 如图是他们搭建帐篷的部分支架示意图. 在$△ ABC$中，两根支架AB与AC从帐篷顶点A支撑在水平的支架BC上，一根支架$AD ⊥ BC$于点D. 经测量，$BD=1.6\ \mathrm{m}$，$CD=0.9\ \mathrm{m}$，$AD=1.2\ \mathrm{m}$，$AC=1.5\ \mathrm{m}$. 按照要求，当帐篷支架AB与AC的夹角$∠ BAC$为直角时，帐篷符合要求. 请通过计算说明他们搭建的帐篷是否符合要求.
答案
8. 他们搭建的帐篷符合要求. 理由如下: 在$\mathrm{Rt}△ABD$ 中,$\because BD = 1.6\ \mathrm{m}, AD = 1.2\ \mathrm{m},\therefore AB =\sqrt{BD^2+AD^2}=2\mathrm{m}. \because BC=BD+CD=2.5\mathrm{m},\therefore BC^2=2.5^2=6.25.$ 又 $\because AB^2+AC^2=2^2+1.5^2=6.25$, $\therefore AB^2+AC^2=BC^2. \therefore △ABC$ 是直角三角形,且$∠BAC=90°. ∴$ 他们搭建的帐篷符合要求
解析
【分析】
要判断帐篷是否符合要求，本质是判断$∠ BAC$是否为直角，可借助勾股定理的逆定理，验证$△ ABC$中$AB^2+AC^2$是否等于$BC^2$即可。首先我们需要求出未知边$AB$的长度：已知$AD⊥ BC$，$△ ABD$是直角三角形，且已知$BD$和$AD$的长度，可直接用勾股定理计算$AB$；再计算$BC$的总长度，最后代入验证三边的平方关系，即可得出结论。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$AD⊥ BC$，即$∠ ADB=90°$，
已知$BD = 1.6\ \mathrm{m}$，$AD = 1.2\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$AB =\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{1.6^2+1.2^2}=\sqrt{2.56+1.44}=\sqrt{4}=2\ \mathrm{m}$。
由线段和差关系得$BC=BD+CD=1.6+0.9=2.5\ \mathrm{m}$，
因此$BC^2=2.5^2=6.25$，
又已知$AC=1.5\ \mathrm{m}$，则$AB^2+AC^2=2^2+1.5^2=4+2.25=6.25$，
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，$△ABC$是直角三角形，且斜边为$BC$，因此$∠ BAC=90°$。
【答案】
他们搭建的帐篷符合要求。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于勾股定理及其逆定理的实际应用类题型，解题核心是将实际的判定需求转化为几何中直角三角形的判定问题，先通过勾股定理求解未知边长，再通过逆定理验证直角，解题逻辑清晰，贴合生活实际。
【难度系数】
0.8
要判断帐篷是否符合要求，本质是判断$∠ BAC$是否为直角，可借助勾股定理的逆定理，验证$△ ABC$中$AB^2+AC^2$是否等于$BC^2$即可。首先我们需要求出未知边$AB$的长度：已知$AD⊥ BC$，$△ ABD$是直角三角形，且已知$BD$和$AD$的长度，可直接用勾股定理计算$AB$；再计算$BC$的总长度，最后代入验证三边的平方关系，即可得出结论。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$AD⊥ BC$，即$∠ ADB=90°$，
已知$BD = 1.6\ \mathrm{m}$，$AD = 1.2\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$AB =\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{1.6^2+1.2^2}=\sqrt{2.56+1.44}=\sqrt{4}=2\ \mathrm{m}$。
由线段和差关系得$BC=BD+CD=1.6+0.9=2.5\ \mathrm{m}$，
因此$BC^2=2.5^2=6.25$，
又已知$AC=1.5\ \mathrm{m}$，则$AB^2+AC^2=2^2+1.5^2=4+2.25=6.25$，
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，$△ABC$是直角三角形，且斜边为$BC$，因此$∠ BAC=90°$。
【答案】
他们搭建的帐篷符合要求。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于勾股定理及其逆定理的实际应用类题型，解题核心是将实际的判定需求转化为几何中直角三角形的判定问题，先通过勾股定理求解未知边长，再通过逆定理验证直角，解题逻辑清晰，贴合生活实际。
【难度系数】
0.8
