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9. 一架长5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动 【 】
A.0m
B.1m
C.2m
D.3m
A.0m
B.1m
C.2m
D.3m
答案
B
解析
【分析】
本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题思路如下：首先明确梯子、竖直的墙、水平地面始终构成直角三角形，且梯子长度为固定的斜边长；第一步利用初始状态下梯足到墙角的距离和梯子长度，通过勾股定理求出初始时梯子顶端的高度；第二步计算顶端下滑1m后的新高度；第三步再次利用勾股定理求出下滑后梯足到墙角的距离，最后将该距离与初始的3m作差，即可得到梯足滑动的距离。
【解析】
初始状态下，墙与地面垂直，梯子、墙、地面构成直角三角形，其中梯子长5m为斜边，梯足距墙角3m为一条直角边。
根据勾股定理，初始时梯子顶端距地面的高度为：
$\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\ \mathrm{m}$
梯子顶端下滑1m后，顶端距地面的高度变为$4 - 1 = 3\ \mathrm{m}$，此时梯子长度仍为5m，再次利用勾股定理，可得此时梯足距墙角的距离为：
$\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\ \mathrm{m}$
因此梯足滑动的距离为$4 - 3 = 1\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 勾股定理
2. 实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的核心是抓住梯子长度不变的隐含条件，将生活场景转化为直角三角形的三边计算问题，掌握勾股定理即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
本题考查勾股定理在实际生活中的应用，解题思路如下：首先明确梯子、竖直的墙、水平地面始终构成直角三角形，且梯子长度为固定的斜边长；第一步利用初始状态下梯足到墙角的距离和梯子长度，通过勾股定理求出初始时梯子顶端的高度；第二步计算顶端下滑1m后的新高度；第三步再次利用勾股定理求出下滑后梯足到墙角的距离，最后将该距离与初始的3m作差，即可得到梯足滑动的距离。
【解析】
初始状态下，墙与地面垂直，梯子、墙、地面构成直角三角形，其中梯子长5m为斜边，梯足距墙角3m为一条直角边。
根据勾股定理，初始时梯子顶端距地面的高度为：
$\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\ \mathrm{m}$
梯子顶端下滑1m后，顶端距地面的高度变为$4 - 1 = 3\ \mathrm{m}$，此时梯子长度仍为5m，再次利用勾股定理，可得此时梯足距墙角的距离为：
$\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\ \mathrm{m}$
因此梯足滑动的距离为$4 - 3 = 1\ \mathrm{m}$。
【答案】
B
【知识点】
1. 勾股定理
2. 实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题的核心是抓住梯子长度不变的隐含条件，将生活场景转化为直角三角形的三边计算问题，掌握勾股定理即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
10.《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.“折竹抵地”问题源自《九章算术》：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB＝90°$，$AC＋AB＝10$尺，$BC＝3$尺，求AC的长.那么，这个数学问题中AC的长为 【 】
A.4.55尺
B.4.35尺
C.6.32尺
D.4.25尺
（第10题） （第11题） （第12题）
A.4.55尺
B.4.35尺
C.6.32尺
D.4.25尺
（第10题） （第11题） （第12题）答案
A
解析
【分析】
本题是直角三角形结合边长和求边长的问题，解题思路如下：首先观察到△ABC是直角三角形，已知直角边BC的长度，且知道AC和AB的和，我们可以通过设未知数的方法，把AC设为x，用含x的式子表示AB，再利用勾股定理建立关于x的一元一次方程，解方程即可求出AC的长度。
【解析】
设AC的长为$ x $尺，
∵ $ AC+AB=10 $尺，
∴ $ AB=(10-x) $尺。
∵ $ ∠ ACB=90° $，根据勾股定理可得：
$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $
代入已知条件$ BC=3 $尺，得：
$ x^2 + 3^2 = (10-x)^2 $
展开等式右边：$ x^2 +9 = 100 -20x +x^2 $
两边消去$ x^2 $，整理得：
$ 20x = 100 -9 $
$ 20x=91 $
解得$ x=4.55 $。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题结合我国古代数学著作的经典问题，考查勾股定理在实际问题中的应用，解题的关键是根据边的数量关系设未知数，利用勾股定理建立方程求解，计算过程简单，重点考查转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形结合边长和求边长的问题，解题思路如下：首先观察到△ABC是直角三角形，已知直角边BC的长度，且知道AC和AB的和，我们可以通过设未知数的方法，把AC设为x，用含x的式子表示AB，再利用勾股定理建立关于x的一元一次方程，解方程即可求出AC的长度。
【解析】
设AC的长为$ x $尺，
∵ $ AC+AB=10 $尺，
∴ $ AB=(10-x) $尺。
∵ $ ∠ ACB=90° $，根据勾股定理可得：
$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $
代入已知条件$ BC=3 $尺，得：
$ x^2 + 3^2 = (10-x)^2 $
展开等式右边：$ x^2 +9 = 100 -20x +x^2 $
两边消去$ x^2 $，整理得：
$ 20x = 100 -9 $
$ 20x=91 $
解得$ x=4.55 $。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题
【点评】
本题结合我国古代数学著作的经典问题，考查勾股定理在实际问题中的应用，解题的关键是根据边的数量关系设未知数，利用勾股定理建立方程求解，计算过程简单，重点考查转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
11. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺。引索却行，去本八尺而索尽。问索长几何？”大意是：如图，木柱$AB ⊥ BC$，绳索$AC$比木柱$AB$长3尺，$BC$长为8尺，绳索$AC$的长为多少？若设绳索$AC$的长为$x$尺，根据题意，可列方程：
$(x-3)^2+8^2=x^2$
。答案
11. $(x-3)^2+8^2=x^2$
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的等量关系：绳索AC比木柱AB长3尺，且△ABC是直角三角形，∠B为直角。我们已经设AC的长为x尺，因此可以先将AB的长度用含x的代数式表示，再结合勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，将三条边的长度代入公式即可列出方程。
【解析】
设绳索AC的长为$x$尺，由题意得木柱AB的长度为$(x-3)$尺。
∵$AB ⊥ BC$，
∴$△ ABC$是直角三角形，$∠ B=90°$。
根据勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$AB^2 + BC^2 = AC^2$。
将$AB=x-3$，$BC=8$，$AC=x$代入上式，即可得到方程：
$(x-3)^2 + 8^2 = x^2$
【答案】
$(x-3)^2+8^2=x^2$
【知识点】
勾股定理；列方程解实际问题
【点评】
本题以我国古代数学问题为载体，考查勾股定理在实际场景中的应用，解题核心是用含未知数的式子表示出直角三角形的各边长度，再结合勾股定理建立等量关系，侧重考查学生对基础公式的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目给出的等量关系：绳索AC比木柱AB长3尺，且△ABC是直角三角形，∠B为直角。我们已经设AC的长为x尺，因此可以先将AB的长度用含x的代数式表示，再结合勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，将三条边的长度代入公式即可列出方程。
【解析】
设绳索AC的长为$x$尺，由题意得木柱AB的长度为$(x-3)$尺。
∵$AB ⊥ BC$，
∴$△ ABC$是直角三角形，$∠ B=90°$。
根据勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$AB^2 + BC^2 = AC^2$。
将$AB=x-3$，$BC=8$，$AC=x$代入上式，即可得到方程：
$(x-3)^2 + 8^2 = x^2$
【答案】
$(x-3)^2+8^2=x^2$
【知识点】
勾股定理；列方程解实际问题
【点评】
本题以我国古代数学问题为载体，考查勾股定理在实际场景中的应用，解题核心是用含未知数的式子表示出直角三角形的各边长度，再结合勾股定理建立等量关系，侧重考查学生对基础公式的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
12. 如图,某滑雪场U型池的场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而形成的,它的横截面半圆的半径为$\frac{15}{π}$ m,其边线$AB=CD=24$ m,点E在边线CD上,$CE=4$ m,一名滑雪爱好者从点A滑到点E,他滑行的最短路线长为
25
m.答案
12. 25
解析
【分析】
要求曲面上从A到E的最短路线长，需先将U型池的曲面展开为平面图形，根据“两点之间线段最短”，最短路线就是展开图中A、E两点的线段长度。首先计算半圆柱侧面展开后的边长（即横截面半圆的弧长），再确定A、E两点在展开图中垂直方向的距离，最后利用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 计算横截面半圆的弧长：已知半圆半径$r=\frac{15}{π}\ \mathrm{m}$，半圆弧长公式为$l=π r$，代入得$l=π×\frac{15}{π}=15\ \mathrm{m}$，即U型池曲面展开后长方形的宽为15m。
2. 确定A、E两点沿池长方向的距离：已知$CD=24\ \mathrm{m}$，$CE=4\ \mathrm{m}$，所以沿池长方向A到E的距离为$24-4=20\ \mathrm{m}$。
3. 展开图中A、E两点的连线与上述两个垂直方向的边构成直角三角形，根据勾股定理，最短路线长为：
$\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25\ \mathrm{m}$
【答案】
25
【知识点】
最短路径问题，勾股定理的应用，圆柱的侧面展开图
【点评】
本题结合生活场景考查曲面最短路径的求解，解题关键是将曲面转化为平面图形，再利用勾股定理计算，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
要求曲面上从A到E的最短路线长，需先将U型池的曲面展开为平面图形，根据“两点之间线段最短”，最短路线就是展开图中A、E两点的线段长度。首先计算半圆柱侧面展开后的边长（即横截面半圆的弧长），再确定A、E两点在展开图中垂直方向的距离，最后利用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 计算横截面半圆的弧长：已知半圆半径$r=\frac{15}{π}\ \mathrm{m}$，半圆弧长公式为$l=π r$，代入得$l=π×\frac{15}{π}=15\ \mathrm{m}$，即U型池曲面展开后长方形的宽为15m。
2. 确定A、E两点沿池长方向的距离：已知$CD=24\ \mathrm{m}$，$CE=4\ \mathrm{m}$，所以沿池长方向A到E的距离为$24-4=20\ \mathrm{m}$。
3. 展开图中A、E两点的连线与上述两个垂直方向的边构成直角三角形，根据勾股定理，最短路线长为：
$\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25\ \mathrm{m}$
【答案】
25
【知识点】
最短路径问题，勾股定理的应用，圆柱的侧面展开图
【点评】
本题结合生活场景考查曲面最短路径的求解，解题关键是将曲面转化为平面图形，再利用勾股定理计算，对空间想象能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
13. 一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定加工成$AB=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，$CD=12\ \mathrm{cm}$，$AD=13\ \mathrm{cm}$的四边形。假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？
答案
13. 提示:利用勾股定理,可证明△ABC和△ACD都是直角三角形,∠B和∠ACD分别为直角.
∴钢板的面积=$\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12=36(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
首先观察题目给出的各边长度，发现3、4、5和5、12、13都是常见勾股数，我们可以通过勾股定理的逆定理判断三角形形状：先验证△ABC的三边是否满足两边平方和等于第三边平方，判断其为直角三角形后计算面积；再用同样方法验证△ACD是否为直角三角形并计算面积，最终四边形钢板的面积就是两个直角三角形的面积之和。
【解析】
解：在$△ ABC$中：
已知$AB=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，
则$AB^2+BC^2=3^2+4^2=9+16=25$，$AC^2=5^2=25$，
可得$AB^2+BC^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ B=90°$，
因此$△ ABC$的面积为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×3×4=6\ \mathrm{cm}^2$。
在$△ ACD$中：
已知$AC=5\ \mathrm{cm}$，$CD=12\ \mathrm{cm}$，$AD=13\ \mathrm{cm}$，
则$AC^2+CD^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AD^2=13^2=169$，
可得$AC^2+CD^2=AD^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ACD$是直角三角形，且$∠ ACD=90°$，
因此$△ ACD$的面积为：$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× CD=\frac{1}{2}×5×12=30\ \mathrm{cm}^2$。
所以钢板的总面积为两个三角形面积之和：$S=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=6+30=36\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\therefore$ 钢板的面积=$\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12=36(\mathrm{cm}^2)$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算；组合图形面积求解
【点评】
本题将不规则四边形的面积求解转化为两个直角三角形的面积和问题，解题核心是利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，熟记常见勾股数可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
首先观察题目给出的各边长度，发现3、4、5和5、12、13都是常见勾股数，我们可以通过勾股定理的逆定理判断三角形形状：先验证△ABC的三边是否满足两边平方和等于第三边平方，判断其为直角三角形后计算面积；再用同样方法验证△ACD是否为直角三角形并计算面积，最终四边形钢板的面积就是两个直角三角形的面积之和。
【解析】
解：在$△ ABC$中：
已知$AB=3\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，$AC=5\ \mathrm{cm}$，
则$AB^2+BC^2=3^2+4^2=9+16=25$，$AC^2=5^2=25$，
可得$AB^2+BC^2=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ B=90°$，
因此$△ ABC$的面积为：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×3×4=6\ \mathrm{cm}^2$。
在$△ ACD$中：
已知$AC=5\ \mathrm{cm}$，$CD=12\ \mathrm{cm}$，$AD=13\ \mathrm{cm}$，
则$AC^2+CD^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AD^2=13^2=169$，
可得$AC^2+CD^2=AD^2$，根据勾股定理的逆定理，$△ ACD$是直角三角形，且$∠ ACD=90°$，
因此$△ ACD$的面积为：$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× CD=\frac{1}{2}×5×12=30\ \mathrm{cm}^2$。
所以钢板的总面积为两个三角形面积之和：$S=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=6+30=36\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$\therefore$ 钢板的面积=$\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12=36(\mathrm{cm}^2)$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算；组合图形面积求解
【点评】
本题将不规则四边形的面积求解转化为两个直角三角形的面积和问题，解题核心是利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，熟记常见勾股数可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
