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4. 如图,货车的车高 $AC=4\,\mathrm{m}$,卸货时后面挡板 $AB$ 折落在地面 $A_1$ 处,已知点 $A$、$B$、$C$ 在同一条直线上,$AC ⊥ A_1C$,经过测量知 $A_1C=2\,\mathrm{m}$,则 $BC=$
1.5
$\mathrm{m}$.答案
4. 1.5
解析
【分析】
本题属于折叠类实际应用问题，解题核心是利用折叠前后对应线段长度相等的性质得到等量关系，再结合直角三角形的勾股定理列方程求解。首先明确挡板折叠后AB=A₁B，设BC的长度为x m，即可用含x的式子表示出A₁B的长度，再将所有已知量和未知量转化到Rt△BCA₁中，代入勾股定理公式列方程计算即可。
【解析】
设$BC=x\,\mathrm{m}$，由折叠的性质可得$A_1B=AB$。
已知$AC=4\,\mathrm{m}$，点A、B、C共线，因此$A_1B=AB=AC-BC=(4-x)\,\mathrm{m}$。
因为$AC⊥ A_1C$，所以$△ BCA_1$是直角三角形，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$BC^2 + A_1C^2 = A_1B^2$
代入$A_1C=2\,\mathrm{m}$，得方程：
$x^2 + 2^2 = (4-x)^2$
展开整理：
$x^2 + 4 = 16 - 8x + x^2$
消去$x^2$后移项计算：
$8x=12$
解得$x=1.5$
【答案】
1.5
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，列方程解应用题
【点评】
本题结合实际卸货场景考查勾股定理的应用，解题关键是挖掘出折叠前后对应线段相等的隐含条件，将所求量和已知量集中到同一个直角三角形中，通过建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
本题属于折叠类实际应用问题，解题核心是利用折叠前后对应线段长度相等的性质得到等量关系，再结合直角三角形的勾股定理列方程求解。首先明确挡板折叠后AB=A₁B，设BC的长度为x m，即可用含x的式子表示出A₁B的长度，再将所有已知量和未知量转化到Rt△BCA₁中，代入勾股定理公式列方程计算即可。
【解析】
设$BC=x\,\mathrm{m}$，由折叠的性质可得$A_1B=AB$。
已知$AC=4\,\mathrm{m}$，点A、B、C共线，因此$A_1B=AB=AC-BC=(4-x)\,\mathrm{m}$。
因为$AC⊥ A_1C$，所以$△ BCA_1$是直角三角形，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$BC^2 + A_1C^2 = A_1B^2$
代入$A_1C=2\,\mathrm{m}$，得方程：
$x^2 + 2^2 = (4-x)^2$
展开整理：
$x^2 + 4 = 16 - 8x + x^2$
消去$x^2$后移项计算：
$8x=12$
解得$x=1.5$
【答案】
1.5
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，列方程解应用题
【点评】
本题结合实际卸货场景考查勾股定理的应用，解题关键是挖掘出折叠前后对应线段相等的隐含条件，将所求量和已知量集中到同一个直角三角形中，通过建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
5. 如图，某自动感应门的正上方A处装有一个感应器，离地AB=2.5 m，当人进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开。一个身高1.6 m的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2 m的地方时(BC=1.2 m)，感应门自动打开，则AD=
1.5
m.答案
5. 1.5
解析
【分析】
要解决这道题，首先我们需要把实际场景转化为几何模型：AB和CD都垂直于地面BC，我们可以过D向AB作垂线构造直角三角形，利用矩形对边相等的性质得到直角三角形两条直角边的长度，最后用勾股定理计算斜边AD的长度即可。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵ AB⊥BC，CD⊥BC，DE⊥AB，
∴ 四边形DEBC是矩形，
∴ DE=BC=1.2 m，BE=CD=1.6 m，
∴ AE=AB - BE = 2.5 - 1.6 = 0.9 m。
在Rt△ADE中，由勾股定理可得：
$AD^2 = AE^2 + DE^2 = 0.9^2 + 1.2^2 = 0.81 + 1.44 = 2.25$，
∴ $AD=\sqrt{2.25}=1.5$ m（长度为正数，舍去负根）。
【答案】
1.5
【知识点】
勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用类基础题，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题中的长度对应到几何图形的边长，再结合几何性质计算，掌握勾股定理的基本用法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先我们需要把实际场景转化为几何模型：AB和CD都垂直于地面BC，我们可以过D向AB作垂线构造直角三角形，利用矩形对边相等的性质得到直角三角形两条直角边的长度，最后用勾股定理计算斜边AD的长度即可。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵ AB⊥BC，CD⊥BC，DE⊥AB，
∴ 四边形DEBC是矩形，
∴ DE=BC=1.2 m，BE=CD=1.6 m，
∴ AE=AB - BE = 2.5 - 1.6 = 0.9 m。
在Rt△ADE中，由勾股定理可得：
$AD^2 = AE^2 + DE^2 = 0.9^2 + 1.2^2 = 0.81 + 1.44 = 2.25$，
∴ $AD=\sqrt{2.25}=1.5$ m（长度为正数，舍去负根）。
【答案】
1.5
【知识点】
勾股定理；矩形的性质
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用类基础题，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题中的长度对应到几何图形的边长，再结合几何性质计算，掌握勾股定理的基本用法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
6. 如图是一个可近似看作等腰三角形ABC的衣架，其中腰长为26 cm，底边上的高为10 cm，则底边BC=
48
cm.答案
6. 48
解析
【分析】
首先根据等腰三角形“三线合一”的性质，底边上的高AD平分底边BC，即BC=2BD，此时△ABD为直角三角形。已知直角三角形的斜边AB=26cm，一条直角边AD=10cm，可通过勾股定理求出BD的长度，再乘以2即可得到BC的长度。
【解析】
∵△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高，
∴AD垂直平分BC，即BD=DC，△ABD为直角三角形。
在Rt△ABD中，AB=26cm，AD=10cm，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24(\mathrm{cm})$
∴$BC=2BD=2×24=48(\mathrm{cm})$
【答案】
48
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.勾股定理
【点评】
本题结合生活中的衣架场景考察几何知识的应用，解题的核心是利用等腰三角形的性质将问题转化为直角三角形的边长计算，属于基础应用类题目，只要熟练掌握相关性质和定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
首先根据等腰三角形“三线合一”的性质，底边上的高AD平分底边BC，即BC=2BD，此时△ABD为直角三角形。已知直角三角形的斜边AB=26cm，一条直角边AD=10cm，可通过勾股定理求出BD的长度，再乘以2即可得到BC的长度。
【解析】
∵△ABC是等腰三角形，AD是底边BC上的高，
∴AD垂直平分BC，即BD=DC，△ABD为直角三角形。
在Rt△ABD中，AB=26cm，AD=10cm，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24(\mathrm{cm})$
∴$BC=2BD=2×24=48(\mathrm{cm})$
【答案】
48
【知识点】
1.等腰三角形的性质
2.勾股定理
【点评】
本题结合生活中的衣架场景考察几何知识的应用，解题的核心是利用等腰三角形的性质将问题转化为直角三角形的边长计算，属于基础应用类题目，只要熟练掌握相关性质和定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
7. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，某校八年级的学生诚诚和同学们学习了“勾股定理”之后，想学以致用，求得风筝的垂直高度CE（如图所示）。他们进行了如下操作：①牵线放风筝的诚诚的手握线的高度AB为1.8m；②根据手中剩余线的长度推算出风筝线BC的长为17m；③测得水平距离BD为8m.求风筝的垂直高度CE.
答案
7. 根据题意,得BD=8m,BC=17m,CD⊥BD,AB=1.8m,AB、DE与地面AE垂直,
∴四边形ABDE为长方形.
∴DE=AB=1.8m.在Rt△BCD中,根据勾股定理,得$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=15\mathrm{m}$.
∴$CE=CD+DE=16.8\mathrm{m}$
∴四边形ABDE为长方形.
∴DE=AB=1.8m.在Rt△BCD中,根据勾股定理,得$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=15\mathrm{m}$.
∴$CE=CD+DE=16.8\mathrm{m}$
解析
【分析】
要计算风筝的垂直高度CE，首先观察图形可将CE拆分为CD和DE两段分别求解：首先根据AB、DE均垂直于地面，BD为水平线段，可判定四边形ABDE为矩形，因此DE的长度等于已知的手握线高度AB；再看CD位于Rt△BCD中，已知斜边BC和直角边BD的长度，直接运用勾股定理即可求出CD的长度，最后将CD与DE相加就能得到CE的总高度。
【解析】
解：由题意得，BD=8m，BC=17m，CD⊥BD，AB=1.8m，AB⊥AE，DE⊥AE，
∴BD//AE，AB//DE，即四边形ABDE是矩形，
∴DE=AB=1.8m。
在Rt△BCD中，根据勾股定理：
$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15\mathrm{m}$
∴$CE=CD+DE=15+1.8=16.8\mathrm{m}$
【答案】
风筝的垂直高度CE为$\boxed{16.8\mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理的应用；矩形的判定与性质
【点评】
本题是勾股定理解决实际问题的基础题型，解题关键是将实际场景中的长度关系转化为几何图形的线段关系，拆分所求线段后结合矩形性质和勾股定理分别求解即可，计算时注意不要遗漏DE段的长度。
【难度系数】
0.8
要计算风筝的垂直高度CE，首先观察图形可将CE拆分为CD和DE两段分别求解：首先根据AB、DE均垂直于地面，BD为水平线段，可判定四边形ABDE为矩形，因此DE的长度等于已知的手握线高度AB；再看CD位于Rt△BCD中，已知斜边BC和直角边BD的长度，直接运用勾股定理即可求出CD的长度，最后将CD与DE相加就能得到CE的总高度。
【解析】
解：由题意得，BD=8m，BC=17m，CD⊥BD，AB=1.8m，AB⊥AE，DE⊥AE，
∴BD//AE，AB//DE，即四边形ABDE是矩形，
∴DE=AB=1.8m。
在Rt△BCD中，根据勾股定理：
$CD=\sqrt{BC^2-BD^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{225}=15\mathrm{m}$
∴$CE=CD+DE=15+1.8=16.8\mathrm{m}$
【答案】
风筝的垂直高度CE为$\boxed{16.8\mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理的应用；矩形的判定与性质
【点评】
本题是勾股定理解决实际问题的基础题型，解题关键是将实际场景中的长度关系转化为几何图形的线段关系，拆分所求线段后结合矩形性质和勾股定理分别求解即可，计算时注意不要遗漏DE段的长度。
【难度系数】
0.8
8. 如图,有一圆柱形容器的高为9 cm,底面圆的周长为48 cm,在外侧距下底1 cm的点S处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的上端内侧距上底2 cm的点F处有一苍蝇,求蜘蛛捕获苍蝇的最短路线长.
答案
8. 根据题意,如图将圆柱形容器的侧面展开,F'为点F关于上底边所在直线的对称点,则线段SF'是蜘蛛由点S到点F的最短路线. F'A=9−1+2=10(cm),$SA=\frac{1}{2}×48=24(\mathrm{cm})$.
∴$SF'=\sqrt{F'A^2+SA^2}=26\mathrm{cm}$
解析
【分析】
要解决圆柱侧面上两点的最短路径问题，首先要用到“化曲为直”的思路：将圆柱侧面展开为平面矩形，平面内两点之间线段最短。本题中蜘蛛在容器外侧、苍蝇在容器内侧，路径需要经过圆柱上边缘，因此可以用对称法，作苍蝇关于上边缘的对称点，将跨内外侧的路径转化为平面上两点的线段，最后构造直角三角形，用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 展开圆柱侧面：将圆柱侧面沿过点S的母线剪开，展开得到矩形，矩形的长等于底面圆的周长48cm，宽等于圆柱的高9cm。
2. 计算水平距离：由于S和F是圆柱上相对的点，因此展开后两点的水平距离为底面半周长，即$SA=\frac{1}{2}×48=24\mathrm{cm}$。
3. 作对称点转化路径：因为F在容器内侧，最短路径需要经过上边缘，作F关于矩形上底边的对称点$F'$，根据对称性质，上边缘上任意点到F和$F'$的距离相等，因此S到F的最短路径长度等于线段$SF'$的长度。
4. 计算竖直距离：S距下底1cm，F距上底2cm，因此S到$F'$的竖直距离$F'A=(9-1)+2=10\mathrm{cm}$。
5. 勾股定理计算：在$\mathrm{Rt}△ SAF'$中，由勾股定理得
$SF'=\sqrt{SA^2+F'A^2}=\sqrt{24^2+10^2}=\sqrt{576+100}=\sqrt{676}=26\mathrm{cm}$。
【答案】
蜘蛛捕获苍蝇的最短路线长为26cm。
【知识点】
勾股定理的应用；最短路径问题；圆柱侧面展开
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型考题，解题核心是通过“化曲为直”的思想将曲面问题转化为平面问题，结合对称法简化路径后用勾股定理求解，能够有效考查学生的空间想象能力和转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决圆柱侧面上两点的最短路径问题，首先要用到“化曲为直”的思路：将圆柱侧面展开为平面矩形，平面内两点之间线段最短。本题中蜘蛛在容器外侧、苍蝇在容器内侧，路径需要经过圆柱上边缘，因此可以用对称法，作苍蝇关于上边缘的对称点，将跨内外侧的路径转化为平面上两点的线段，最后构造直角三角形，用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 展开圆柱侧面：将圆柱侧面沿过点S的母线剪开，展开得到矩形，矩形的长等于底面圆的周长48cm，宽等于圆柱的高9cm。
2. 计算水平距离：由于S和F是圆柱上相对的点，因此展开后两点的水平距离为底面半周长，即$SA=\frac{1}{2}×48=24\mathrm{cm}$。
3. 作对称点转化路径：因为F在容器内侧，最短路径需要经过上边缘，作F关于矩形上底边的对称点$F'$，根据对称性质，上边缘上任意点到F和$F'$的距离相等，因此S到F的最短路径长度等于线段$SF'$的长度。
4. 计算竖直距离：S距下底1cm，F距上底2cm，因此S到$F'$的竖直距离$F'A=(9-1)+2=10\mathrm{cm}$。
5. 勾股定理计算：在$\mathrm{Rt}△ SAF'$中，由勾股定理得
$SF'=\sqrt{SA^2+F'A^2}=\sqrt{24^2+10^2}=\sqrt{576+100}=\sqrt{676}=26\mathrm{cm}$。
【答案】
蜘蛛捕获苍蝇的最短路线长为26cm。
【知识点】
勾股定理的应用；最短路径问题；圆柱侧面展开
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型考题，解题核心是通过“化曲为直”的思想将曲面问题转化为平面问题，结合对称法简化路径后用勾股定理求解，能够有效考查学生的空间想象能力和转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
