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1.在$△ ABC$中,$∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别为$a,b,c$,满足下列条件的$△ ABC$,不是直角三角形的是 (
A.$a:b:c=3:4:5$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
C.$a^2 - c^2 = b^2$
D.$∠ C=∠ A - ∠ B$
B
)A.$a:b:c=3:4:5$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
C.$a^2 - c^2 = b^2$
D.$∠ C=∠ A - ∠ B$
答案
1.B 由勾股定理的逆定理可知选项A和选项C能得到$△ ABC$是直角三角形.选项D中,$∠ A$占三个角之和的一半,$\therefore ∠ A$是直角.选项B中,$∠ A, ∠ B, ∠ C$没有一个角占三个角之和的一半,故选项B得到的$△ ABC$不是直角三角形.
2.「2026江苏南京玄武期末」有五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是（
C
）答案
2.C $\because 7^2 = 49,15^2 = 225,20^2 = 400,24^2 = 576,25^2 = 625,$$\therefore 7^2 + 24^2 = 25^2,15^2 + 20^2 = 25^2,$$\therefore$ 长度分别为7,24,25的三根木棒能摆成直角三角形,长度分别为15,20,25的三根木棒能摆成直角三角形.故选 C.
3. 学科特色「2026江苏徐州三十六中期中改编」一个三角形的三边长分别为2,3,$\sqrt{13}$,则这个三角形最长边上的高为
$\frac{6}{\sqrt{13}}$
.答案
3.答案 $\frac{6}{\sqrt{13}}$
解析 $\because 2^2 + 3^2 = 13 = (\sqrt{13})^2, \therefore$ 这个三角形是直角三角形,设这个三角形最长边上的高为$h$,则$\frac{1}{2} × \sqrt{13} × h = \frac{1}{2} × 2 × 3$, 解得 $h = \frac{6}{\sqrt{13}}$.
解析 $\because 2^2 + 3^2 = 13 = (\sqrt{13})^2, \therefore$ 这个三角形是直角三角形,设这个三角形最长边上的高为$h$,则$\frac{1}{2} × \sqrt{13} × h = \frac{1}{2} × 2 × 3$, 解得 $h = \frac{6}{\sqrt{13}}$.
4. 学科特色教材变式「2026 江苏徐州期中」如图, 在四边形ABCD中, $∠ A=90°, AB=3, AD=4, CD=13, BC=12$, 求四边形ABCD的面积.
答案
4.解析 $\because ∠ A = 90°, AB = 3, AD = 4$,
$\therefore BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$,
$\because CD = 13, BC = 12, \therefore BD^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 169 = 13^2$,
$\therefore △ BCD$ 是直角三角形, 且 $∠ CBD = 90°$,
$\therefore S_{四边形ABCD} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD} = \frac{1}{2} × 3 × 4 + \frac{1}{2} × 5 × 12 = 36$.
$\therefore BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$,
$\because CD = 13, BC = 12, \therefore BD^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 169 = 13^2$,
$\therefore △ BCD$ 是直角三角形, 且 $∠ CBD = 90°$,
$\therefore S_{四边形ABCD} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD} = \frac{1}{2} × 3 × 4 + \frac{1}{2} × 5 × 12 = 36$.
5.「2026江苏扬州仪征期中」如图,在$△ ABC$中,BC的垂直平分线DE分别交AB,BC于点D,E,且$BD^2 - DA^2 = AC^2$.
(1)求证:$∠ A = 90°$.
(2)若$AB = 2$,$AD:DB = 3:5$,求BC的长.
(1)求证:$∠ A = 90°$.
(2)若$AB = 2$,$AD:DB = 3:5$,求BC的长.
答案
5.解析 (1)证明:如图,连接$CD$,
$\because DE$ 垂直平分 $BC, \therefore CD = BD$,
$\because BD^2 - DA^2 = AC^2, \therefore CD^2 - DA^2 = AC^2$,
$\therefore △ ACD$ 是直角三角形, 且 $∠ A = 90°$.
(2)$\because AB = 2, AD:DB = 3:5$,
$\therefore AD = \frac{3}{4}, CD = BD = \frac{5}{4}$,
在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中, $AC = \sqrt{CD^2 - AD^2} = 1$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{5}$.
6.「2026江苏盐城盐都期中」下列各组数为勾股数的是（
A.6,8,10
B.$\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{7}$
C.0.3,0.4,0.5
D.4,5,6
A
）A.6,8,10
B.$\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{7}$
C.0.3,0.4,0.5
D.4,5,6
答案
6.A 选项B,C中的数不是正整数,故不是勾股数;
$\because 6^2 + 8^2 = 10^2$,且6,8,10都是正整数,$\therefore 6,8,10$ 是勾股数;
$\because 4^2 + 5^2 = 41 ≠ 6^2, \therefore 4,5,6$ 不是勾股数.故选 A.
$\because 6^2 + 8^2 = 10^2$,且6,8,10都是正整数,$\therefore 6,8,10$ 是勾股数;
$\because 4^2 + 5^2 = 41 ≠ 6^2, \therefore 4,5,6$ 不是勾股数.故选 A.
7. 学科
特色
易错题
「2026江苏常州二十四中期中」有一组勾股数，已知其中两个数分别是20和15，则第三个数是
特色
易错题
「2026江苏常州二十四中期中」有一组勾股数，已知其中两个数分别是20和15，则第三个数是
25
。答案
7.答案 25
解析 设第三个数为 $x$, 当 $x^2 + 15^2 = 20^2$ 时, 解得 $x = \pm \sqrt{175}$ (不符合题意, 舍去); 当 $15^2 + 20^2 = x^2$ 时, 解得 $x = 25$(舍负).综上所述,第三个数为 25.
解析 设第三个数为 $x$, 当 $x^2 + 15^2 = 20^2$ 时, 解得 $x = \pm \sqrt{175}$ (不符合题意, 舍去); 当 $15^2 + 20^2 = x^2$ 时, 解得 $x = 25$(舍负).综上所述,第三个数为 25.
8.「2026江苏连云港赣榆期中，★☆」某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每行数的规律，可知$x+y$的值为（
| $a$ | 3 | 8 | 15 | 24 | $\dots$ | $x$ |
| $b$ | 4 | 6 |
| 10 | $\dots$ | $y$ |
| $c$ | 5 | 10 | 17 | 26 | $\dots$ | 65 |
A.47
B.62
C.79
D.98
C
）| $a$ | 3 | 8 | 15 | 24 | $\dots$ | $x$ |
| $b$ | 4 | 6 |
| 10 | $\dots$ | $y$ || $c$ | 5 | 10 | 17 | 26 | $\dots$ | 65 |
A.47
B.62
C.79
D.98
答案
8.C 通过观察题表中的数可得 $b = 2n, a = n^2 - 1, c = n^2 + 1$($n$ 为正整数, 且 $n ＞ 1$),$\therefore$ 当 $c = 65$ 时, $n^2 + 1 = 65$, 解得 $n = 8$(舍负),$\therefore y = 2 × 8 = 16, x = 8^2 - 1 = 63, \therefore x + y = 63 + 16 = 79$.故选 C.
9. 学科特色 方程思想 「2026广东阳江阳春期末，★☆」如图，已知等腰$△ ABC$的底边$BC=5$，$D$是腰$AB$上一点，且$CD=4$，$BD=3$，则$AD$的长为
$\frac{7}{6}$
。答案
9.答案 $\frac{7}{6}$
解析 $\because BC = 5, CD = 4, BD = 3, \therefore BD^2 + CD^2 = BC^2$,
$\therefore △ BDC$ 是直角三角形, 且 $∠ BDC = 90°, \therefore ∠ ADC = 90°$,
设 $AD = x$, 则 $AC = AB = x + 3$, 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中, $AC^2 = AD^2 + CD^2, \therefore (x + 3)^2 = x^2 + 4^2$, 解得 $x = \frac{7}{6}. \therefore AD$ 的长为 $\frac{7}{6}$.
解析 $\because BC = 5, CD = 4, BD = 3, \therefore BD^2 + CD^2 = BC^2$,
$\therefore △ BDC$ 是直角三角形, 且 $∠ BDC = 90°, \therefore ∠ ADC = 90°$,
设 $AD = x$, 则 $AC = AB = x + 3$, 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 中, $AC^2 = AD^2 + CD^2, \therefore (x + 3)^2 = x^2 + 4^2$, 解得 $x = \frac{7}{6}. \therefore AD$ 的长为 $\frac{7}{6}$.
