10.「2026江苏连云港东海期中，★☆」小惠同学用31个等距离的结把一根绳子分成等长的30段，她一只手同时握住第1个结和第31个结，小淇同学拉住第6个结，这时小婷同学应该拉住第个结，拉紧绳子后才会得到一个以第6个结为直角顶点的直角三角形。

10.答案 18
解析 设每段绳子的长度为 $a, \because$ 小淇拉住第6个结,$\therefore$ 小淇和小惠之间的距离为 $5a, \because 5a + 12a + 13a = 30a$, 且 $(5a)^2 + (12a)^2 = (13a)^2, \therefore$ 三段绳子的长度分别为 $5a, 12a, 13a, \because$ 要得到一个以第6个结为直角顶点的直角三角形,$\therefore$ 小婷与小淇之间的距离为 $12a, 6 + 12 = 18, \therefore$ 小婷同学应该拉住第 18 个结.

11.「2026江苏南京栖霞月考，★★」如图，在正方形网格中，点A,B,C,D,E是格点，则∠ABD+∠CBE的度数为。

11.答案 $45°$
解析 设网格中小正方形的边长为1,如图,作$∠ EBF = ∠ ABD$,连接$CF$,

$\because BC = CF = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}, BF = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$,
且 $(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{10})^2, \therefore BC^2 + CF^2 = BF^2$,
$\therefore △ BCF$ 是等腰直角三角形, 且 $∠ BCF = 90°$,
$\therefore ∠ CBF = 45°, \because ∠ EBF = ∠ ABD, \therefore ∠ ABD + ∠ CBE = 45°$.故答案为 $45°$.

12.「2026江苏无锡惠山期中，★☆」定义:点M,N把线段AB分割成AM,MN,BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点(如图).
(1)已知点M,N把线段分割成AM,MN,BN,若$AM=2,MN=3,BN=\sqrt{5},$则点M,N是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由.
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AM=2,AB=7,求BN的长.

12.解析 (1)点M,N是线段AB的勾股分割点.
理由:$\because AM = 2, MN = 3, BN = \sqrt{5}, \therefore AM^2 + BN^2 = 4 + 5 = 9 = MN^2, \therefore$ 以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,$\therefore$ 点M,N是线段AB的勾股分割点.
(2)设 $BN = x$, 则 $MN = 7 - 2 - x = 5 - x$,
①当BN为斜边时,$AM^2 + MN^2 = BN^2$,
即 $2^2 + (5 - x)^2 = x^2$, 解得 $x = 2.9$;
②当MN为斜边时,$AM^2 + BN^2 = MN^2$,
即 $2^2 + x^2 = (5 - x)^2$, 解得 $x = 2.1$.
综上所述,BN的长为2.9或2.1.

13. 核心素养 推理能力 聚焦中考 代数推理 「2026江西九江一中月考」据我国古代某数学著作记载，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五。后人概括为“勾三、股四、弦五”。
(1) 观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;……发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没有间断过，计算$\frac{1}{2}×(9-1)$，$\frac{1}{2}×(9+1)$与$\frac{1}{2}×(25-1)$，$\frac{1}{2}×(25+1)$，并根据你发现的规律，分别写出能用7,24,25中的勾表示股和弦的算式。
(2) 根据(1)的规律，用含$n$($n$为奇数且$n≥3$)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦。猜想它们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。
(3) 继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;……可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用含$m$($m$为勾，$m$为偶数且$m≥4$)的代数式来表示它们的股和弦。

13.解析 (1) $\frac{1}{2} × (9-1) = 4 = \frac{1}{2} × (3^2 - 1), \frac{1}{2} × (9+1) = 5 = \frac{1}{2} × (3^2 + 1)$;
$\frac{1}{2} × (25-1) = 12 = \frac{1}{2} × (5^2 - 1)$,
$\frac{1}{2} × (25+1) = 13 = \frac{1}{2} × (5^2 + 1)$.
$24 = \frac{1}{2} × (7^2 - 1), 25 = \frac{1}{2} × (7^2 + 1)$.
(2) 勾:$n$,股:$\frac{1}{2}(n^2 - 1)$,弦:$\frac{1}{2}(n^2 + 1)$.
猜想它们之间的相等关系:①弦$-$股$=1$;②勾$^2 +$股$^2 =$弦$^2$.(答案不唯一)
证明(选一种即可):①弦$-$股$= \frac{1}{2}(n^2 + 1) - \frac{1}{2}(n^2 - 1)$
$= \frac{1}{2}[(n^2 + 1) - (n^2 - 1)] = \frac{1}{2} × 2 = 1$.
②勾$^2 +$股$^2 = n^2 + \frac{1}{4}(n^2 - 1)^2 = \frac{1}{4}n^4 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{4}$,
弦$^2 = \frac{1}{4}(n^2 + 1)^2 = \frac{1}{4}n^4 + \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{4}$,
$\therefore$ 勾$^2 +$股$^2 =$弦$^2$.
(3) 股:$\frac{1}{4}m^2 - 1$,弦:$\frac{1}{4}m^2 + 1$.