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1 下列一次函数中，$y$随$x$的增大而减小的函数是（
A.$y=2x+1$
B.$y=x-4$
C.$y=2x$
D.$y=-x+1$
D
）A.$y=2x+1$
B.$y=x-4$
C.$y=2x$
D.$y=-x+1$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断一次函数中y随x增大而减小的函数，需用到一次函数的增减性规律：一次函数的一般形式为$y=kx+b$（k、b为常数，$k\ne0$），当$k＞0$时，y随x的增大而增大；当$k＜0$时，y随x的增大而减小。解题时先提取每个选项对应函数的k值，再判断k的正负，选出k为负数的选项即可。
【解析】
一次函数的标准形式为$y=kx+b$（$k\ne0$，k、b为常数），其增减性由k的符号决定：
选项A：$y=2x+1$中$k=2＞0$，y随x的增大而增大，不符合要求；
选项B：$y=x-4$中$k=1＞0$，y随x的增大而增大，不符合要求；
选项C：$y=2x$中$k=2＞0$，y随x的增大而增大，不符合要求；
选项D：$y=-x+1$中$k=-1＜0$，y随x的增大而减小，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的增减性
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用，只要熟记一次函数中k的符号与函数增减性的对应关系，就能快速得出答案，属于基础概念考察类题目。
【难度系数】
0.9
要判断一次函数中y随x增大而减小的函数，需用到一次函数的增减性规律：一次函数的一般形式为$y=kx+b$（k、b为常数，$k\ne0$），当$k＞0$时，y随x的增大而增大；当$k＜0$时，y随x的增大而减小。解题时先提取每个选项对应函数的k值，再判断k的正负，选出k为负数的选项即可。
【解析】
一次函数的标准形式为$y=kx+b$（$k\ne0$，k、b为常数），其增减性由k的符号决定：
选项A：$y=2x+1$中$k=2＞0$，y随x的增大而增大，不符合要求；
选项B：$y=x-4$中$k=1＞0$，y随x的增大而增大，不符合要求；
选项C：$y=2x$中$k=2＞0$，y随x的增大而增大，不符合要求；
选项D：$y=-x+1$中$k=-1＜0$，y随x的增大而减小，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的增减性
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用，只要熟记一次函数中k的符号与函数增减性的对应关系，就能快速得出答案，属于基础概念考察类题目。
【难度系数】
0.9
2 [2025 南通]已知直线$y=kx+b$经过第一、二、三象限，则$k$，$b$的取值范围是 （
A.$k＜0,b＜0$
B.$k＜0,b＞0$
C.$k＞0,b＜0$
D.$k＞0,b＞0$
D
）A.$k＜0,b＜0$
B.$k＜0,b＞0$
C.$k＞0,b＜0$
D.$k＞0,b＞0$
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这道题，需结合一次函数$y=kx+b$的图象特征与系数$k$、$b$的对应关系来推导：首先明确$k$的符号决定直线的倾斜方向，对应直线经过的一三或二四象限；其次$b$的符号决定直线与$y$轴交点的位置，对应直线经过的第二或第四象限，结合题干中直线经过第一、二、三象限的条件，逐步判断$k$、$b$的符号即可。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b$：
1. 系数$k$决定直线的倾斜方向：
若$k＞0$，直线从左下向右上倾斜，必然经过第一、三象限；若$k＜0$，直线从左上向右下倾斜，必然经过第二、四象限。
本题中直线经过第一、三象限，因此$k＞0$，可排除A、B选项。
2. 常数项$b$是直线与$y$轴交点的纵坐标：
若$b＞0$，直线与$y$轴交于正半轴（$x$轴上方），直线会经过第二象限；若$b＜0$，直线与$y$轴交于负半轴（$x$轴下方），直线会经过第四象限。
本题中直线经过第二象限、不经过第四象限，因此$b＞0$，可排除C选项。
综上，$k＞0,b＞0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查一次函数的图象特征与系数符号的对应规律，牢记“$k$定倾斜方向、$b$定与$y$轴交点位置”的结论，就能快速完成这类题的判断。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，需结合一次函数$y=kx+b$的图象特征与系数$k$、$b$的对应关系来推导：首先明确$k$的符号决定直线的倾斜方向，对应直线经过的一三或二四象限；其次$b$的符号决定直线与$y$轴交点的位置，对应直线经过的第二或第四象限，结合题干中直线经过第一、二、三象限的条件，逐步判断$k$、$b$的符号即可。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b$：
1. 系数$k$决定直线的倾斜方向：
若$k＞0$，直线从左下向右上倾斜，必然经过第一、三象限；若$k＜0$，直线从左上向右下倾斜，必然经过第二、四象限。
本题中直线经过第一、三象限，因此$k＞0$，可排除A、B选项。
2. 常数项$b$是直线与$y$轴交点的纵坐标：
若$b＞0$，直线与$y$轴交于正半轴（$x$轴上方），直线会经过第二象限；若$b＜0$，直线与$y$轴交于负半轴（$x$轴下方），直线会经过第四象限。
本题中直线经过第二象限、不经过第四象限，因此$b＞0$，可排除C选项。
综上，$k＞0,b＞0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，核心考查一次函数的图象特征与系数符号的对应规律，牢记“$k$定倾斜方向、$b$定与$y$轴交点位置”的结论，就能快速完成这类题的判断。
【难度系数】
0.9
3 新考向 条件开放题 [2024 自贡]对于一次函数$y=(3m+1)x-2$，y随x的增大而增大，请写出一个满足条件的m的值：
↑y，$y=2x$
1
。↑y，$y=2x$
答案
3. 答案不唯一，如1
解析
【分析】
首先回忆一次函数的增减性规律：对于一次函数$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题中已知$y$随$x$增大而增大，因此需要让一次项系数大于0，即列不等式$3m+1＞0$，解不等式得到$m$的取值范围，最后在取值范围内任意选取一个数值即可。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），若$y$随$x$的增大而增大，则一次项系数$k＞0$。
本题中一次函数的一次项系数为$3m+1$，根据题意可得：
$3m+1＞0$
解不等式得：$m＞-\frac{1}{3}$
因此只需选取大于$-\frac{1}{3}$的任意实数即可，例如取$m=1$。
【答案】
答案不唯一，如1
【知识点】
1. 一次函数的性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是条件开放题，主要考查一次函数增减性与一次项系数符号的对应关系，解题时只需根据性质列出不等式求解取值范围，再在范围内任取一个值即可，灵活性较高。
【难度系数】
0.9
首先回忆一次函数的增减性规律：对于一次函数$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$），当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题中已知$y$随$x$增大而增大，因此需要让一次项系数大于0，即列不等式$3m+1＞0$，解不等式得到$m$的取值范围，最后在取值范围内任意选取一个数值即可。
【解析】
对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），若$y$随$x$的增大而增大，则一次项系数$k＞0$。
本题中一次函数的一次项系数为$3m+1$，根据题意可得：
$3m+1＞0$
解不等式得：$m＞-\frac{1}{3}$
因此只需选取大于$-\frac{1}{3}$的任意实数即可，例如取$m=1$。
【答案】
答案不唯一，如1
【知识点】
1. 一次函数的性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是条件开放题，主要考查一次函数增减性与一次项系数符号的对应关系，解题时只需根据性质列出不等式求解取值范围，再在范围内任取一个值即可，灵活性较高。
【难度系数】
0.9
4（1）已知一次函数$y=-2x+2$. 当$y≥0$时, 对应的自变量$x$的取值范围是
（2）如图, 一次函数$y=kx+b$的图象与正比例函数$y=2x$的图象平行, 且经过点$A(1,-2)$, 则$kb$的值为
$x≤1$
.（2）如图, 一次函数$y=kx+b$的图象与正比例函数$y=2x$的图象平行, 且经过点$A(1,-2)$, 则$kb$的值为
$-8$
.答案
4. (1) $x≤1$ (2) $-8$
解析
【分析】
（1）本题是一次函数与一元一次不等式的结合题型，要求$y≥0$时$x$的取值范围，只需将$y=-2x+2$代入$y≥0$，得到关于$x$的一元一次不等式，解不等式即可得到对应$x$的范围。
（2）本题考查一次函数平行的性质和待定系数法求解析式，首先根据两直线平行时一次项系数相等的性质，可直接确定$k$的值；再将点$A$的坐标代入含$k$的一次函数解析式，求出$b$的值，最后计算$k$和$b$的乘积即可。
【解析】
（1）根据题意令$y≥0$，可得：
$\begin{aligned}-2x+2&≥0\\-2x&≥-2\\x&≤1\end{aligned}$
（2）$\because$一次函数$y=kx+b$与正比例函数$y=2x$的图象平行
$\therefore$两个函数的一次项系数相等，即$k=2$
又$\because y=2x+b$经过点$A(1,-2)$，将$x=1,y=-2$代入解析式得：
$\begin{aligned}2×1+b&=-2\\b&=-4\end{aligned}$
因此$kb=2×(-4)=-8$
【答案】
(1) $x≤1$；(2) $-8$
【知识点】
一次函数的性质；两直线平行的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于一次函数基础题型，侧重考查核心基础知识点的应用，熟练掌握相关性质和运算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.85
（1）本题是一次函数与一元一次不等式的结合题型，要求$y≥0$时$x$的取值范围，只需将$y=-2x+2$代入$y≥0$，得到关于$x$的一元一次不等式，解不等式即可得到对应$x$的范围。
（2）本题考查一次函数平行的性质和待定系数法求解析式，首先根据两直线平行时一次项系数相等的性质，可直接确定$k$的值；再将点$A$的坐标代入含$k$的一次函数解析式，求出$b$的值，最后计算$k$和$b$的乘积即可。
【解析】
（1）根据题意令$y≥0$，可得：
$\begin{aligned}-2x+2&≥0\\-2x&≥-2\\x&≤1\end{aligned}$
（2）$\because$一次函数$y=kx+b$与正比例函数$y=2x$的图象平行
$\therefore$两个函数的一次项系数相等，即$k=2$
又$\because y=2x+b$经过点$A(1,-2)$，将$x=1,y=-2$代入解析式得：
$\begin{aligned}2×1+b&=-2\\b&=-4\end{aligned}$
因此$kb=2×(-4)=-8$
【答案】
(1) $x≤1$；(2) $-8$
【知识点】
一次函数的性质；两直线平行的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于一次函数基础题型，侧重考查核心基础知识点的应用，熟练掌握相关性质和运算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.85
5 [2024镇江]点A(1,y₁),B(2,y₂)在一次函数y=3x+1的图象上,则y₁
$＜$
y₂(填“＞”“＜”或“=”)。答案
5. $＜$
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路1：利用一次函数的增减性判断，先明确一次函数y=kx+b（k≠0）中k的正负对函数增减性的影响，再比较两点横坐标的大小，即可推导y₁与y₂的大小关系；思路2：将两点的横坐标分别代入函数解析式，计算出y₁、y₂的具体数值后直接比较大小。
【解析】
方法一：利用一次函数增减性判断
对于一次函数y=3x+1，其中k=3＞0，因此y随x的增大而增大。
已知点A(1,y₁)、B(2,y₂)的横坐标满足1＜2，根据函数的增减性可得y₁＜y₂。
方法二：代入求值比较
将x=1代入y=3x+1，得y₁=3×1+1=4；
将x=2代入y=3x+1，得y₂=3×2+1=7。
因为4＜7，所以y₁＜y₂。
【答案】
＜
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数的基础考查题，两种解题方法都较为简单，核心是对一次函数增减性的理解与应用，熟练掌握函数性质可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种思路求解：思路1：利用一次函数的增减性判断，先明确一次函数y=kx+b（k≠0）中k的正负对函数增减性的影响，再比较两点横坐标的大小，即可推导y₁与y₂的大小关系；思路2：将两点的横坐标分别代入函数解析式，计算出y₁、y₂的具体数值后直接比较大小。
【解析】
方法一：利用一次函数增减性判断
对于一次函数y=3x+1，其中k=3＞0，因此y随x的增大而增大。
已知点A(1,y₁)、B(2,y₂)的横坐标满足1＜2，根据函数的增减性可得y₁＜y₂。
方法二：代入求值比较
将x=1代入y=3x+1，得y₁=3×1+1=4；
将x=2代入y=3x+1，得y₂=3×2+1=7。
因为4＜7，所以y₁＜y₂。
【答案】
＜
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数的基础考查题，两种解题方法都较为简单，核心是对一次函数增减性的理解与应用，熟练掌握函数性质可快速得到答案。
【难度系数】
0.9
6 直线$y=-2x+10$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$.
（1）求$△ OAB$的面积.
（2）直线$y=-2x+10$经过怎样的平移后可以经过原点？请写出一种平移方法.
（1）求$△ OAB$的面积.
（2）直线$y=-2x+10$经过怎样的平移后可以经过原点？请写出一种平移方法.
答案
6. （1）在$y=-2x+10$中,令$y=0$,得$-2x+10=0$,解得$x=5$,$\therefore$ 点$A$的坐标为$(5,0)$,即$OA=5$.令$x=0$,得$y=-2×0+10=10$,$\therefore$ 点$B$的坐标为$(0,10)$,即$OB=10$,$\therefore S_{△ OAB} =\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×5×10=25$ （2）平移方法不唯一,如将直线$y=-2x+10$沿$y$轴向下平移10个单位长度可以经过原点
解析
【分析】
（1）要计算△OAB的面积，首先明确△OAB是以原点O为直角顶点的直角三角形，只需要求出两条直角边OA、OB的长度即可。点A是直线与x轴的交点，x轴上的点纵坐标为0，因此令直线解析式中y=0，求解得到点A的横坐标就能得到OA的长度；点B是直线与y轴的交点，y轴上的点横坐标为0，令x=0求解得到点B的纵坐标就能得到OB的长度，最后代入直角三角形面积公式计算即可。
（2）一次函数平移时斜率k保持不变，若平移后直线经过原点，则平移后的解析式常数项为0。根据一次函数“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移规律，调整原解析式即可得到符合要求的平移方法，任选一种作答即可。
【解析】
（1）在$y=-2x+10$中，令$y=0$，得$-2x+10=0$，解得$x=5$，$\therefore$ 点$A$的坐标为$(5,0)$，即$OA=5$。令$x=0$，得$y=-2×0+10=10$，$\therefore$ 点$B$的坐标为$(0,10)$，即$OB=10$，$\therefore S_{△ OAB} =\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×5×10=25$。
（2）平移方法不唯一，如将直线$y=-2x+10$沿$y$轴向下平移10个单位长度，平移后解析式为$y=-2x$，当$x=0$时$y=0$，可经过原点。
【答案】
（1）25；（2）将直线$y=-2x+10$沿$y$轴向下平移10个单位长度（答案不唯一）
【知识点】
一次函数图象性质，一次函数平移规律，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数模块的基础常考题，既考察了一次函数与坐标轴交点的求解方法，也考察了一次函数平移的基本规律，掌握相关基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
（1）要计算△OAB的面积，首先明确△OAB是以原点O为直角顶点的直角三角形，只需要求出两条直角边OA、OB的长度即可。点A是直线与x轴的交点，x轴上的点纵坐标为0，因此令直线解析式中y=0，求解得到点A的横坐标就能得到OA的长度；点B是直线与y轴的交点，y轴上的点横坐标为0，令x=0求解得到点B的纵坐标就能得到OB的长度，最后代入直角三角形面积公式计算即可。
（2）一次函数平移时斜率k保持不变，若平移后直线经过原点，则平移后的解析式常数项为0。根据一次函数“上加下减常数项，左加右减自变量”的平移规律，调整原解析式即可得到符合要求的平移方法，任选一种作答即可。
【解析】
（1）在$y=-2x+10$中，令$y=0$，得$-2x+10=0$，解得$x=5$，$\therefore$ 点$A$的坐标为$(5,0)$，即$OA=5$。令$x=0$，得$y=-2×0+10=10$，$\therefore$ 点$B$的坐标为$(0,10)$，即$OB=10$，$\therefore S_{△ OAB} =\frac{1}{2}OA· OB=\frac{1}{2}×5×10=25$。
（2）平移方法不唯一，如将直线$y=-2x+10$沿$y$轴向下平移10个单位长度，平移后解析式为$y=-2x$，当$x=0$时$y=0$，可经过原点。
【答案】
（1）25；（2）将直线$y=-2x+10$沿$y$轴向下平移10个单位长度（答案不唯一）
【知识点】
一次函数图象性质，一次函数平移规律，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数模块的基础常考题，既考察了一次函数与坐标轴交点的求解方法，也考察了一次函数平移的基本规律，掌握相关基础知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.8
7 [2025姑苏区段考]已知一次函数$y=kx+b$（$k,b$为常数，且$k≠0$），$y$随着$x$的增大而增大，且$kb＜0$，则该一次函数在平面直角坐标系内的大致图象是（
C
）答案
7. C
解析
【分析】
解题时先根据一次函数的增减性确定k的符号，再结合kb＜0的条件推导b的符号，最后根据一次函数图象与k、b的对应关系匹配正确图象：①先回忆一次函数增减性规律：y随x增大而增大时，比例系数k＞0；②再根据有理数乘法“异号得负”的规则，由kb＜0和k的符号推出b的符号；③最后根据k决定直线倾斜方向、b决定直线与y轴交点位置的规律，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
步骤1：判断k的符号
∵一次函数$y=kx+b$中y随x的增大而增大，
∴$k＞0$，由此可排除倾斜方向为左上到右下（即k＜0）的选项B、D。
步骤2：判断b的符号
∵$kb＜0$，且已得$k＞0$，
∴$b＜0$，即直线与y轴的交点在y轴的负半轴，由此可排除交点在y轴正半轴的选项A。
步骤3：确定正确选项
剩余选项C符合$k＞0$、$b＜0$的特征，故C正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数图象与系数的关系；有理数乘法符号法则
【点评】
本题属于一次函数性质的基础考查题，解题核心是熟练掌握一次函数中k、b的符号分别对应的图象特征：k决定直线的倾斜方向，b决定直线与y轴交点的位置，通过两步符号判断即可快速锁定正确选项。
【难度系数】
0.8
解题时先根据一次函数的增减性确定k的符号，再结合kb＜0的条件推导b的符号，最后根据一次函数图象与k、b的对应关系匹配正确图象：①先回忆一次函数增减性规律：y随x增大而增大时，比例系数k＞0；②再根据有理数乘法“异号得负”的规则，由kb＜0和k的符号推出b的符号；③最后根据k决定直线倾斜方向、b决定直线与y轴交点位置的规律，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
步骤1：判断k的符号
∵一次函数$y=kx+b$中y随x的增大而增大，
∴$k＞0$，由此可排除倾斜方向为左上到右下（即k＜0）的选项B、D。
步骤2：判断b的符号
∵$kb＜0$，且已得$k＞0$，
∴$b＜0$，即直线与y轴的交点在y轴的负半轴，由此可排除交点在y轴正半轴的选项A。
步骤3：确定正确选项
剩余选项C符合$k＞0$、$b＜0$的特征，故C正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数图象与系数的关系；有理数乘法符号法则
【点评】
本题属于一次函数性质的基础考查题，解题核心是熟练掌握一次函数中k、b的符号分别对应的图象特征：k决定直线的倾斜方向，b决定直线与y轴交点的位置，通过两步符号判断即可快速锁定正确选项。
【难度系数】
0.8
