7 [2025广州]如图,在平面直角坐标系中,点$A(-3,1),B(-1,1)$.若将直线$y=x$向上平移$d$个单位长度后与线段$AB$有交点,则$d$的取值范围是（）

A.$-3≤ d≤ -1$
B.$1≤ d≤ 3$
C.$-4≤ d≤ -2$
D.$2≤ d≤ 4$

7. D 【解析】把直线$y=x$向上平移$d$个单位长度后得到直线$y=x+d$.若直线过点$A(-3,1)$,则$-3+d=1$,解得$d=4$;若直线过点$B(-1,1)$,则$-1+d=1$,解得$d=2$.$\therefore$ 若将直线$y=x$向上平移$d$个单位长度后与线段$AB$有交点,则$d$的取值范围是$2≤d≤4$.

8 在同一平面直角坐标系中，函数$y=ax$和$y=x+a$（$a$为常数，$a＜0$）的图象可能是（）

8. D

9 [2024广安]如图，直线$y=2x+2$与$x$轴、$y$轴分别相交于点$A$，$B$，将$△ AOB$绕点$A$按逆时针方向旋转$90°$得到$△ ACD$，则点$D$的坐标为。

9. $(-3,1)$

10 已知第一象限内的点 P 在直线 $y=-x+5$ 上，点 A 的坐标为$(4,0)$，设$△ AOP$的面积为 S.
(1) 当点 P 的横坐标为 2 时，求$△ AOP$的面积；
(2) 当$S=4$时，求点 P 的坐标；
(3) 求 S 关于 x 的函数表达式，写出 x 的取值范围，并画出函数图象.

10. (1) 把$x=2$代入$y=-x+5$,得$y=-2+5=3$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(2,3)$.$\because$ 点$A$的坐标为$(4,0)$,$\therefore OA=4$,$\therefore S_{△ AOP}=\frac{1}{2}OA · y_P=\frac{1}{2} × 4 × 3=6$
(2) 当$S=4$时,$\frac{1}{2}OA · |y_P|=4$.$\because$ 点$P$在第一象限内,$A(4,0)$,$\therefore OA=4$,$y_P＞0$,$\therefore y_P=2$.在$y=-x+5$中,令$y=2$,得$x=3$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(3,2)$
(3) 设$P(x,-x+5)$.根据题意,得$S=\frac{1}{2}OA · |y_P|=\frac{1}{2} × 4y_P=2(-x+5)=-2x+10$.$\because$ 点$P$在第一象限,$\therefore \begin{cases} x＞0,\\ -x+5＞0, \end{cases}$ 解得$0＜x＜5$,$\therefore S$关于$x$的函数表达式为$S=-2x+10(0＜x＜5)$,函数图象如图所示

11 如图①，点A的坐标是(0,1)，B是x轴正半轴上的一个动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使点C在第一象限内，∠BAC=90°。设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y。
（1）求y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）在图②中画出（1）中函数的图象。

11. (1) 如图①,过点$C$作$CH ⊥ y$轴,垂足为$H$,则$∠ AHC=90°$.$\because$ 点$C$的纵坐标为$y$,$\therefore OH=y$.$\because$ 点$A$的坐标是$(0,1)$,$\therefore OA=1$.$\because △ ABC$是以$AB$为边的等腰直角三角形,$\therefore AC=BA$.$\because ∠ BAC=90°$,$\therefore ∠ HAC+∠ OAB=90°$.$\because ∠ BOA=90°$,$\therefore ∠ OBA+∠ OAB=90°$,$\therefore ∠ HAC=∠ OBA$. 在$△ HAC$ 和 $△ OBA$ 中, $\begin{cases} ∠ AHC=∠ BOA,\\ ∠ HAC=∠ OBA,\\ AC=BA, \end{cases}$ $\therefore △ HAC ≌ △ OBA(\mathrm{AAS})$,$\therefore AH=BO$.$\because$ 点$B$的横坐标为$x$,$\therefore AH=BO=x$,$\therefore OH=OA+AH=1+x$,$\therefore y=x+1$.$\because B$是$x$轴正半轴上的一个动点,$\therefore$ 自变量$x$的取值范围是$x＞0$
(2) 如图②所示 【解析】不妨取点$(0,1),(1,2)$画图.画图时,注意自变量的取值范围.