7 [2025广州]如图,在平面直角坐标系中,点$A(-3,1),B(-1,1)$.若将直线$y=x$向上平移$d$个单位长度后与线段$AB$有交点,则$d$的取值范围是（）

A.$-3≤ d≤ -1$
B.$1≤ d≤ 3$
C.$-4≤ d≤ -2$
D.$2≤ d≤ 4$

7. D 【解析】把直线$y=x$向上平移$d$个单位长度后得到直线$y=x+d$.若直线过点$A(-3,1)$,则$-3+d=1$,解得$d=4$;若直线过点$B(-1,1)$,则$-1+d=1$,解得$d=2$.$\therefore$ 若将直线$y=x$向上平移$d$个单位长度后与线段$AB$有交点,则$d$的取值范围是$2≤d≤4$.

【分析】
解题时首先回忆一次函数的平移规律：上下平移时，对常数项进行“上加下减”的变化，先写出平移后的直线解析式。观察线段AB可知，线段AB上所有点的纵坐标均为1，横坐标在-3到-1之间。要使平移后的直线与线段AB有交点，只需要求出平移后的直线恰好经过A、B两个端点时对应的d值，两个d值就是d的取值范围的临界值，由此即可得到d的取值范围。
【解析】
将直线$y=x$向上平移$d$个单位长度后，根据平移规律可得新直线的解析式为$y=x+d$。
①当平移后的直线经过点$A(-3,1)$时，将点坐标代入解析式得：
$-3+d=1$，解得$d=4$；
②当平移后的直线经过点$B(-1,1)$时，将点坐标代入解析式得：
$-1+d=1$，解得$d=2$。
因此，当平移后的直线与线段AB有交点时，$d$的取值范围是$2\le d\le 4$，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数平移规律；点在直线上的坐标特征；一次函数交点问题
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，核心是掌握一次函数平移的变化规则，求解直线与线段交点的取值范围时，代入线段的两个端点求出临界值是常用的解题技巧，计算难度较低，解题思路清晰易懂。
【难度系数】
0.8

8 在同一平面直角坐标系中，函数$y=ax$和$y=x+a$（$a$为常数，$a＜0$）的图象可能是（）

8. D

【分析】
解题时先明确两个函数的类型：$y=ax$是过原点的正比例函数，$y=x+a$是斜率为1的一次函数。结合已知条件$a＜0$，先根据正比例函数的系数与图象象限的关系，排除正比例函数经过一、三象限的选项，再根据一次函数的斜率和截距特征，排除不符合的剩余选项，即可得到正确答案。
【解析】
已知$a＜0$，分两步分析两个函数的图象：
1. 分析正比例函数$y=ax$：
当比例系数$a＜0$时，$y=ax$的图象是过原点的直线，经过第二、四象限。
观察选项A、B，过原点的直线均经过第一、三象限，对应$a＞0$，不符合$a＜0$的条件，因此排除A、B。
2. 分析一次函数$y=x+a$：
该函数的一次项系数为$1＞0$，因此图象呈上升趋势（从左下向右上倾斜）；常数项$a＜0$，因此图象与$y$轴的交点在$y$轴负半轴。
观察剩余选项C、D：C中不过原点的直线呈下降趋势，不符合一次函数斜率为正的特征，排除C；D中不过原点的直线上升、与y轴交于负半轴，过原点的直线经过第二、四象限，完全符合条件。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的图象性质，一次函数的图象性质
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，解题核心是掌握一次函数、正比例函数的系数与图象位置的对应关系，采用排除法可以快速得出结果，是一次函数部分的基础常考题。
【难度系数】
0.7

9 [2024广安]如图，直线$y=2x+2$与$x$轴、$y$轴分别相交于点$A$，$B$，将$△ AOB$绕点$A$按逆时针方向旋转$90°$得到$△ ACD$，则点$D$的坐标为。

9. $(-3,1)$

【分析】
解题时首先需要求出直线$y=2x+2$与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到线段OA、OB的长度；再结合旋转的性质，明确旋转前后对应边相等、旋转角为$90°$，确定点C的位置和坐标；最后根据CD与OB的等量关系、CD与AC的垂直关系，推导出点D的坐标。
【解析】
1. 求点A、B的坐标：
对于一次函数$y=2x+2$，
令$y=0$，得$2x+2=0$，解得$x=-1$，
∴点A坐标为$(-1, 0)$，$OA=1$；
令$x=0$，得$y=2$，
∴点B坐标为$(0, 2)$，$OB=2$。
2. 利用旋转性质分析：
$△ AOB$绕点A逆时针旋转$90°$得到$△ ACD$，由旋转性质可得：
$△ ACD≌△ AOB$，
∴$AC=OA=1$，$CD=OB=2$，$∠ ACD=∠ AOB=90°$，且旋转角$∠ OAC=90°$。
3. 求点C、D的坐标：
∵$∠ OAC=90°$，OA在x轴上，
∴$AC⊥x$轴，点C的横坐标与A相同，纵坐标为$0+1=1$，即$C(-1, 1)$。
∵$∠ ACD=90°$，AC竖直向上，
∴CD为水平线段，方向向左，
∴点D的纵坐标与C相同为1，横坐标为$-1-2=-3$，即$D(-3, 1)$。
【答案】
$(-3,1)$
【知识点】
一次函数与坐标轴交点，旋转的性质，平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题是一次函数与图形旋转的综合题，解题核心是先通过一次函数解析式得到线段长度，再利用旋转的性质确定线段的位置和长度关系，即可顺利求出对应点的坐标，是函数与几何结合的基础常考题型。
【难度系数】
0.7

10 已知第一象限内的点 P 在直线 $y=-x+5$ 上，点 A 的坐标为$(4,0)$，设$△ AOP$的面积为 S.
(1) 当点 P 的横坐标为 2 时，求$△ AOP$的面积；
(2) 当$S=4$时，求点 P 的坐标；
(3) 求 S 关于 x 的函数表达式，写出 x 的取值范围，并画出函数图象.

10. (1) 把$x=2$代入$y=-x+5$,得$y=-2+5=3$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(2,3)$.$\because$ 点$A$的坐标为$(4,0)$,$\therefore OA=4$,$\therefore S_{△ AOP}=\frac{1}{2}OA · y_P=\frac{1}{2} × 4 × 3=6$
(2) 当$S=4$时,$\frac{1}{2}OA · |y_P|=4$.$\because$ 点$P$在第一象限内,$A(4,0)$,$\therefore OA=4$,$y_P＞0$,$\therefore y_P=2$.在$y=-x+5$中,令$y=2$,得$x=3$,$\therefore$ 点$P$的坐标为$(3,2)$
(3) 设$P(x,-x+5)$.根据题意,得$S=\frac{1}{2}OA · |y_P|=\frac{1}{2} × 4y_P=2(-x+5)=-2x+10$.$\because$ 点$P$在第一象限,$\therefore \begin{cases} x＞0,\\ -x+5＞0, \end{cases}$ 解得$0＜x＜5$,$\therefore S$关于$x$的函数表达式为$S=-2x+10(0＜x＜5)$,函数图象如图所示

【分析】
1. 第(1)问：已知点P在直线$y=-x+5$上且横坐标已知，先将横坐标代入直线解析式求出P点纵坐标；$△ AOP$的底为OA的长度（A在x轴上，OA长度等于A点横坐标的绝对值），高为P点的纵坐标，代入三角形面积公式即可计算面积。
2. 第(2)问：已知三角形面积，先利用面积公式反推P点的纵坐标，再将纵坐标代入直线解析式求出横坐标，结合P在第一象限的条件验证坐标的合理性。
3. 第(3)问：先设P点坐标为$(x, -x+5)$，用含x的式子表示P点纵坐标，代入面积公式得到S与x的函数关系；再根据P在第一象限的条件（横、纵坐标均大于0），求出x的取值范围；函数图象是取值范围内的线段，端点为空心，因为x取不到边界值。
【解析】
(1) 把$x=2$代入$y=-x+5$，得$y=-2+5=3$，$\therefore$ 点$P$的坐标为$(2,3)$。
$\because$ 点$A$的坐标为$(4,0)$，$\therefore OA=4$，
$\therefore S_{△ AOP}=\frac{1}{2}OA · y_P=\frac{1}{2} × 4 × 3=6$。
(2) 当$S=4$时，$\frac{1}{2}OA · |y_P|=4$。
$\because$ 点$P$在第一象限内，$A(4,0)$，$\therefore OA=4$，$y_P＞0$，
$\therefore \frac{1}{2}×4×y_P=4$，解得$y_P=2$。
在$y=-x+5$中，令$y=2$，得$2=-x+5$，解得$x=3$，
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(3,2)$。
(3) 设点$P$的坐标为$(x,-x+5)$，
根据题意，得$S=\frac{1}{2}OA · |y_P|=\frac{1}{2} × 4×(-x+5)=-2x+10$。
$\because$ 点$P$在第一象限，$\therefore \begin{cases} x＞0 \\ -x+5＞0 \end{cases}$， 解得$0＜x＜5$，
$\therefore S$关于$x$的函数表达式为$S=-2x+10(0＜x＜5)$，函数图象如图所示
【答案】
(1) $\boxed{6}$
(2) $\boxed{(3,2)}$
(3) $S=-2x+10(0＜x＜5)$，函数图象如下
【知识点】
一次函数的应用，三角形面积计算，自变量取值范围
【点评】
本题考查一次函数与几何图形的综合应用，解题时要结合坐标系的特点运用数形结合思想，注意不要遗漏第一象限对坐标取值的限制条件，避免自变量取值范围出错。
【难度系数】
0.7

11 如图①，点A的坐标是(0,1)，B是x轴正半轴上的一个动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使点C在第一象限内，∠BAC=90°。设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y。
（1）求y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）在图②中画出（1）中函数的图象。

11. (1) 如图①,过点$C$作$CH ⊥ y$轴,垂足为$H$,则$∠ AHC=90°$.$\because$ 点$C$的纵坐标为$y$,$\therefore OH=y$.$\because$ 点$A$的坐标是$(0,1)$,$\therefore OA=1$.$\because △ ABC$是以$AB$为边的等腰直角三角形,$\therefore AC=BA$.$\because ∠ BAC=90°$,$\therefore ∠ HAC+∠ OAB=90°$.$\because ∠ BOA=90°$,$\therefore ∠ OBA+∠ OAB=90°$,$\therefore ∠ HAC=∠ OBA$. 在$△ HAC$ 和 $△ OBA$ 中, $\begin{cases} ∠ AHC=∠ BOA,\\ ∠ HAC=∠ OBA,\\ AC=BA, \end{cases}$ $\therefore △ HAC ≌ △ OBA(\mathrm{AAS})$,$\therefore AH=BO$.$\because$ 点$B$的横坐标为$x$,$\therefore AH=BO=x$,$\therefore OH=OA+AH=1+x$,$\therefore y=x+1$.$\because B$是$x$轴正半轴上的一个动点,$\therefore$ 自变量$x$的取值范围是$x＞0$
(2) 如图②所示 【解析】不妨取点$(0,1),(1,2)$画图.画图时,注意自变量的取值范围.

【分析】
（1）要推导y与x的函数关系，可利用等腰直角三角形的性质构造全等三角形建立线段等量关系：过点C作CH垂直y轴于H，可得两个直角三角形，通过同角的余角相等推出对应角相等，结合AC=BA证明△HAC和△OBA全等，得到AH=BO=x，再根据点C的纵坐标等于OH的长度，即可得到y和x的关系式；由于B在x轴正半轴上，因此x的取值范围是x＞0。
（2）绘制函数图象时，结合一次函数性质取点，注意x＞0的限制，(0,1)为取不到的空心端点，再取x=1对应的点(1,2)，连接两点并向第一象限延伸即可得到符合要求的图象。
【解析】
(1) 过点$C$作$CH ⊥ y$轴，垂足为$H$，则$∠ AHC=90°$。
$\because$ 点$C$的纵坐标为$y$，$\therefore OH=y$。
$\because$ 点$A$的坐标是$(0,1)$，$\therefore OA=1$。
$\because △ ABC$是以$AB$为边的等腰直角三角形，$∠ BAC=90°$，$\therefore AC=BA$。
$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ HAC+∠ OAB=90°$。
$\because ∠ BOA=90°$，$\therefore ∠ OBA+∠ OAB=90°$，$\therefore ∠ HAC=∠ OBA$。
在$△ HAC$ 和 $△ OBA$ 中:
$\begin{cases} ∠ AHC=∠ BOA=90°,\\ ∠ HAC=∠ OBA,\\ AC=BA, \end{cases}$
$\therefore △ HAC ≌ △ OBA(\mathrm{AAS})$，$\therefore AH=BO$。
$\because$ 点$B$的横坐标为$x$，$B$在$x$轴正半轴，$\therefore AH=BO=x$。
$\therefore OH=OA+AH=1+x$，即$y=x+1$，自变量$x$的取值范围是$x＞0$。
(2) 对于函数$y=x+1(x＞0)$，取两个参考点：$x=0$时$y=1$（因$x＞0$，此点为空心端点），$x=1$时$y=2$，在坐标系中标出点$(1,2)$，连接空心点$(0,1)$和点$(1,2)$后向右上方延伸，即得到所求函数图象。
【答案】
(1) $y=x+1$（$x＞0$）；
(2) 如图②所示
【知识点】
全等三角形的判定与性质；一次函数解析式；一次函数图象绘制
【点评】
本题是代数几何结合的基础题，既考查了构造辅助线证明三角形全等的几何方法，也考查了一次函数解析式推导和图象绘制的相关知识，解题时要注意自变量取值范围对图象端点虚实的影响，避免出错。
【难度系数】
0.7