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11（2025宿迁）甲、乙两人从同一地点M出发沿同一路线匀速步行前往N处参加活动.甲比乙早出发6 min,两人途中均未休息,先到达N处的人在原地休息等待,直到另一人到达N处.两人之间的路程y(m)与甲行走的时间t(min)的函数图象如图所示.
（1）乙步行的速度为
（2）当$18≤ t≤50$时,求y关于t的函数表达式；
（3）当两人之间的路程为450 m时,甲出发了多长时间？
（1）乙步行的速度为
90
m/min,M,N之间的路程为3 960
m；（2）当$18≤ t≤50$时,求y关于t的函数表达式；
（3）当两人之间的路程为450 m时,甲出发了多长时间？
答案
11. 解:(1) 90 3 960
(2) 由图象可知点 C 的纵坐标为 $ 3\ 960-60× 50=960 $,
所以 $ C(50,960) $,
当 $ 18≤ t≤ 50 $ 时,设 $ y=kt+b $,
把 $ B(18,0),C(50,960) $ 代入,
得 $ \begin{cases} 18k+b=0,\\50k+b=960,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k=30,\\b=-540,\end{cases} $
所以 $ y=30t-540 $,
即 y 关于 t 的函数表达式为 $ y=30t-540(18≤ t≤ 50) $.
(3) 当 $ 18≤ t≤ 50 $ 时,令 $ y=30t-540=450 $,
即 $ 30t=990 $,解得 $ t=33 $;
当 $ t＞50 $ 时,$ 60t=3\ 960-450 $,
即 $ 60t=3\ 510 $,解得 $ t=58.5 $.
综上,当甲出发 33 min 或 58.5 min 时,两人之间的路程为 450 m.
(2) 由图象可知点 C 的纵坐标为 $ 3\ 960-60× 50=960 $,
所以 $ C(50,960) $,
当 $ 18≤ t≤ 50 $ 时,设 $ y=kt+b $,
把 $ B(18,0),C(50,960) $ 代入,
得 $ \begin{cases} 18k+b=0,\\50k+b=960,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k=30,\\b=-540,\end{cases} $
所以 $ y=30t-540 $,
即 y 关于 t 的函数表达式为 $ y=30t-540(18≤ t≤ 50) $.
(3) 当 $ 18≤ t≤ 50 $ 时,令 $ y=30t-540=450 $,
即 $ 30t=990 $,解得 $ t=33 $;
当 $ t＞50 $ 时,$ 60t=3\ 960-450 $,
即 $ 60t=3\ 510 $,解得 $ t=58.5 $.
综上,当甲出发 33 min 或 58.5 min 时,两人之间的路程为 450 m.
解析
【分析】
（1）先从图象获取信息求甲的速度：甲6分钟走了360m，可得甲速为$360÷6=60\ \mathrm{m/min}$；$t=18\ \mathrm{min}$时乙追上甲，此时甲走了18分钟，路程为$60×18=1080\ \mathrm{m}$，乙比甲晚出发6分钟，走这段路用时$18-6=12\ \mathrm{min}$，即可求出乙的速度；$t=50\ \mathrm{min}$时乙到达N地，乙总步行时长为$50-6=44\ \mathrm{min}$，用乙的速度乘步行总时长即可得M、N总路程。
（2）当$18≤ t≤50$时，y是乙追上甲后两人的路程差，先求$t=50$时的y值：总路程减去甲50分钟走的路程，得到C点坐标，已知$B(18,0)$，用待定系数法代入两点即可求出函数表达式。
（3）两人路程差为450m分两种情况：①$18≤ t≤50$时，乙未到终点，用第二问的解析式令$y=450$求解；②$t＞50$时，乙已在终点休息，此时路程差=总路程-甲走的路程，列方程求解即可。
【解析】
(1) 甲的速度：$360÷6=60\ \mathrm{m/min}$。
$t=18\ \mathrm{min}$时乙追上甲，此时甲走的路程：$60×18=1080\ \mathrm{m}$，乙步行时间：$18-6=12\ \mathrm{min}$，乙的速度：$1080÷12=90\ \mathrm{m/min}$。
$t=50\ \mathrm{min}$时乙到达N地，乙总步行时间：$50-6=44\ \mathrm{min}$，M、N总路程：$90×44=3960\ \mathrm{m}$。
(2) $t=50$时，甲走的路程：$60×50=3000\ \mathrm{m}$，两人路程差：$3960-3000=960\ \mathrm{m}$，即$C(50,960)$，已知$B(18,0)$。
设$18≤ t≤50$时，$y=kt+b$，代入两点坐标得：
$\begin{cases} 18k+b=0 \\50k+b=960 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=30 \\b=-540 \end{cases}$
所以函数表达式为$y=30t-540(18≤ t≤50)$。
(3) 分两种情况：
①当$18≤ t≤50$时，令$30t-540=450$，解得$t=33$；
②当$t＞50$时，乙已到终点，列方程$3960-60t=450$，解得$t=58.5$。
综上，甲出发了33min或58.5min。
【答案】
(1) $\boxed{90}$；$\boxed{3960}$
(2) $\boxed{y=30t-540(18≤ t≤50)}$
(3) $\boxed{33\ \mathrm{min}}$或$\boxed{58.5\ \mathrm{min}}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；行程问题
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的实际应用，解题核心是读懂函数图象各段的实际意义，结合路程、速度、时间的关系分析，第三问需要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）先从图象获取信息求甲的速度：甲6分钟走了360m，可得甲速为$360÷6=60\ \mathrm{m/min}$；$t=18\ \mathrm{min}$时乙追上甲，此时甲走了18分钟，路程为$60×18=1080\ \mathrm{m}$，乙比甲晚出发6分钟，走这段路用时$18-6=12\ \mathrm{min}$，即可求出乙的速度；$t=50\ \mathrm{min}$时乙到达N地，乙总步行时长为$50-6=44\ \mathrm{min}$，用乙的速度乘步行总时长即可得M、N总路程。
（2）当$18≤ t≤50$时，y是乙追上甲后两人的路程差，先求$t=50$时的y值：总路程减去甲50分钟走的路程，得到C点坐标，已知$B(18,0)$，用待定系数法代入两点即可求出函数表达式。
（3）两人路程差为450m分两种情况：①$18≤ t≤50$时，乙未到终点，用第二问的解析式令$y=450$求解；②$t＞50$时，乙已在终点休息，此时路程差=总路程-甲走的路程，列方程求解即可。
【解析】
(1) 甲的速度：$360÷6=60\ \mathrm{m/min}$。
$t=18\ \mathrm{min}$时乙追上甲，此时甲走的路程：$60×18=1080\ \mathrm{m}$，乙步行时间：$18-6=12\ \mathrm{min}$，乙的速度：$1080÷12=90\ \mathrm{m/min}$。
$t=50\ \mathrm{min}$时乙到达N地，乙总步行时间：$50-6=44\ \mathrm{min}$，M、N总路程：$90×44=3960\ \mathrm{m}$。
(2) $t=50$时，甲走的路程：$60×50=3000\ \mathrm{m}$，两人路程差：$3960-3000=960\ \mathrm{m}$，即$C(50,960)$，已知$B(18,0)$。
设$18≤ t≤50$时，$y=kt+b$，代入两点坐标得：
$\begin{cases} 18k+b=0 \\50k+b=960 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=30 \\b=-540 \end{cases}$
所以函数表达式为$y=30t-540(18≤ t≤50)$。
(3) 分两种情况：
①当$18≤ t≤50$时，令$30t-540=450$，解得$t=33$；
②当$t＞50$时，乙已到终点，列方程$3960-60t=450$，解得$t=58.5$。
综上，甲出发了33min或58.5min。
【答案】
(1) $\boxed{90}$；$\boxed{3960}$
(2) $\boxed{y=30t-540(18≤ t≤50)}$
(3) $\boxed{33\ \mathrm{min}}$或$\boxed{58.5\ \mathrm{min}}$
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；行程问题
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的实际应用，解题核心是读懂函数图象各段的实际意义，结合路程、速度、时间的关系分析，第三问需要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
12（2025南京浦口模拟）若A,B两地相距240 km，一辆快车和一辆慢车分别从A,B两地同时出发相向而行，相遇后两车继续行驶。快车到达B地后立即按原路原速返回，慢车到达A地后停止。快、慢两车离A地的距离$y_1,y_2$(km)与出发时间$x$(h)之间的函数关系如图所示。
（1）补全$y_1$与$x$之间的函数图象；
（2）若慢车的速度为30 km/h.
①点$P$的坐标为
②快车到达A地前，两车何时相距30 km？
（3）若慢车在快车返回A地后的0.5 h内到达，则慢车速度$v$的范围是
（1）补全$y_1$与$x$之间的函数图象；
（2）若慢车的速度为30 km/h.
①点$P$的坐标为
(2,180)
；②快车到达A地前，两车何时相距30 km？
（3）若慢车在快车返回A地后的0.5 h内到达，则慢车速度$v$的范围是
$\dfrac{288}{7}＜v＜45$
。答案
12. 解:(1) 补全 $ y_1 $ 与 x 之间的函数图象,如图所示.
(2) ① $(2,180)$
②由题意,得 $ y_2=240-30x $.
当 $ 0≤ x≤ \dfrac{8}{3} $ 时,$ y_1=90x $.
因为两车相距 30 km,
所以 $ |240-30x-90x|=30 $,
解得 $ x=\dfrac{7}{4} $ 或 $ x=\dfrac{9}{4} $;
当 $ \dfrac{8}{3}＜x≤ \dfrac{16}{3} $ 时,$ y_1=240-90( x-\dfrac{8}{3}) =-90x+480 $.
因为两车相距 30 km,
所以 $ |240-30x-(-90x+480)|=30 $,
解得 $ x=\dfrac{9}{2} $ 或 $ x=\dfrac{7}{2} $.
综上,当 $ x=\dfrac{7}{4} $ 或 $ x=\dfrac{9}{4} $ 或 $ x=\dfrac{9}{2} $ 或 $ x=\dfrac{7}{2} $ 时,两车相距 30 km.
(3) $ \dfrac{288}{7}＜v＜45 $
解析
【分析】
本题是一次函数在行程问题中的应用，解题思路如下：1. 补全快车离A地距离的函数图象：先求快车速度，可得快车从B地返回A地的时间和去时相同，因此图象终点为$(\frac{16}{3},0)$；2. 求P点坐标：P为两车相向而行的相遇点，先算出快车速度，再根据相遇时两车路程和为240km算出相遇时间，代入快车的函数式即可得到P点坐标；3. 求两车相距30km的时间：分快车驶向B地、快车从B地返回A地两个阶段，分别写出两车离A地距离的函数表达式，根据距离差的绝对值为30列方程求解；4. 求慢车速度范围：根据慢车到达A地的时间介于快车返回A地的时间和该时间加0.5小时之间，列不等式求解即可。
【解析】
(1) 快车速度为$240÷ \dfrac{8}{3}=90\mathrm{km/h}$，因此快车从B地原路返回A地也需要$\dfrac{8}{3}\mathrm{h}$，总行驶时间为$\dfrac{8}{3}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}\mathrm{h}$，此时离A地距离为0，因此补全图象终点为$(\dfrac{16}{3},0)$。
(2) ① 慢车速度为30km/h，两车相向而行，相遇时总路程为240km，设相遇时间为$x$h，可得：
$90x+30x=240$，解得$x=2$。
此时快车离A地的距离为$90× 2=180\mathrm{km}$，因此点P坐标为$(2,180)$。
② 由题意，慢车离A地的距离$y_2=240-30x$，慢车到达A地总时间为$240÷30=8\mathrm{h}$，快车到达A地前$x≤ \dfrac{16}{3}＜8$，因此$y_2$始终成立。
分两种情况讨论：
情况1：$0≤ x≤ \dfrac{8}{3}$，快车驶向B地，$y_1=90x$。
两车相距30km即$|y_1-y_2|=30$，代入得$|90x-(240-30x)|=30$，即$|120x-240|=30$，
化简得$120x-240=\pm30$，解得$x=\dfrac{7}{4}$或$x=\dfrac{9}{4}$，均满足$0≤ x≤ \dfrac{8}{3}$。
情况2：$\dfrac{8}{3}＜x≤ \dfrac{16}{3}$，快车从B地返回A地，$y_1=240-90(x-\dfrac{8}{3})=-90x+480$。
两车相距30km即$|(-90x+480)-(240-30x)|=30$，即$|-60x+240|=30$，
化简得$-60x+240=\pm30$，解得$x=\dfrac{7}{2}$或$x=\dfrac{9}{2}$，均满足$\dfrac{8}{3}＜x≤ \dfrac{16}{3}$。
综上即可得到两车相距30km的所有时间。
(3) 快车返回A地的时间为$\dfrac{16}{3}\mathrm{h}$，慢车在快车返回A地后0.5h内到达，即慢车走完全程的时间$t$满足：
$\dfrac{16}{3}＜\dfrac{240}{v}＜\dfrac{16}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{35}{6}$
不等式三边均为正数，取倒数得$\dfrac{6}{35}＜\dfrac{v}{240}＜\dfrac{3}{16}$，
三边同乘240计算即可得到$v$的取值范围。
【答案】
(1) 补全$y_1$与x之间的函数图象,如图所示.
(2) ① $\boldsymbol{(2,180)}$
② 当出发$\dfrac{7}{4}\mathrm{h}$、$\dfrac{9}{4}\mathrm{h}$、$\dfrac{7}{2}\mathrm{h}$、$\dfrac{9}{2}\mathrm{h}$时，两车相距30km；
(3) $\boldsymbol{\dfrac{288}{7}＜v＜45}$
【知识点】
一次函数的实际应用；行程问题；不等式求解
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的应用，解题关键是明确图象中各线段的实际意义，分阶段讨论函数表达式，结合行程的数量关系列方程或不等式求解，注意自变量的取值范围要符合实际情况。
【难度系数】
0.65
本题是一次函数在行程问题中的应用，解题思路如下：1. 补全快车离A地距离的函数图象：先求快车速度，可得快车从B地返回A地的时间和去时相同，因此图象终点为$(\frac{16}{3},0)$；2. 求P点坐标：P为两车相向而行的相遇点，先算出快车速度，再根据相遇时两车路程和为240km算出相遇时间，代入快车的函数式即可得到P点坐标；3. 求两车相距30km的时间：分快车驶向B地、快车从B地返回A地两个阶段，分别写出两车离A地距离的函数表达式，根据距离差的绝对值为30列方程求解；4. 求慢车速度范围：根据慢车到达A地的时间介于快车返回A地的时间和该时间加0.5小时之间，列不等式求解即可。
【解析】
(1) 快车速度为$240÷ \dfrac{8}{3}=90\mathrm{km/h}$，因此快车从B地原路返回A地也需要$\dfrac{8}{3}\mathrm{h}$，总行驶时间为$\dfrac{8}{3}+\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}\mathrm{h}$，此时离A地距离为0，因此补全图象终点为$(\dfrac{16}{3},0)$。
(2) ① 慢车速度为30km/h，两车相向而行，相遇时总路程为240km，设相遇时间为$x$h，可得：
$90x+30x=240$，解得$x=2$。
此时快车离A地的距离为$90× 2=180\mathrm{km}$，因此点P坐标为$(2,180)$。
② 由题意，慢车离A地的距离$y_2=240-30x$，慢车到达A地总时间为$240÷30=8\mathrm{h}$，快车到达A地前$x≤ \dfrac{16}{3}＜8$，因此$y_2$始终成立。
分两种情况讨论：
情况1：$0≤ x≤ \dfrac{8}{3}$，快车驶向B地，$y_1=90x$。
两车相距30km即$|y_1-y_2|=30$，代入得$|90x-(240-30x)|=30$，即$|120x-240|=30$，
化简得$120x-240=\pm30$，解得$x=\dfrac{7}{4}$或$x=\dfrac{9}{4}$，均满足$0≤ x≤ \dfrac{8}{3}$。
情况2：$\dfrac{8}{3}＜x≤ \dfrac{16}{3}$，快车从B地返回A地，$y_1=240-90(x-\dfrac{8}{3})=-90x+480$。
两车相距30km即$|(-90x+480)-(240-30x)|=30$，即$|-60x+240|=30$，
化简得$-60x+240=\pm30$，解得$x=\dfrac{7}{2}$或$x=\dfrac{9}{2}$，均满足$\dfrac{8}{3}＜x≤ \dfrac{16}{3}$。
综上即可得到两车相距30km的所有时间。
(3) 快车返回A地的时间为$\dfrac{16}{3}\mathrm{h}$，慢车在快车返回A地后0.5h内到达，即慢车走完全程的时间$t$满足：
$\dfrac{16}{3}＜\dfrac{240}{v}＜\dfrac{16}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{35}{6}$
不等式三边均为正数，取倒数得$\dfrac{6}{35}＜\dfrac{v}{240}＜\dfrac{3}{16}$，
三边同乘240计算即可得到$v$的取值范围。
【答案】
(1) 补全$y_1$与x之间的函数图象,如图所示.
(2) ① $\boldsymbol{(2,180)}$
② 当出发$\dfrac{7}{4}\mathrm{h}$、$\dfrac{9}{4}\mathrm{h}$、$\dfrac{7}{2}\mathrm{h}$、$\dfrac{9}{2}\mathrm{h}$时，两车相距30km；
(3) $\boldsymbol{\dfrac{288}{7}＜v＜45}$
【知识点】
一次函数的实际应用；行程问题；不等式求解
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的应用，解题关键是明确图象中各线段的实际意义，分阶段讨论函数表达式，结合行程的数量关系列方程或不等式求解，注意自变量的取值范围要符合实际情况。
【难度系数】
0.65
