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6 大运河畔有一条笔直的健身步道，小明、小亮分别从相距1 500 m的M，N两点同时出发，相向而行。两人离点M的距离s(m)关于时间t(min)的函数关系如图中折线所示。小明跑了一段路之后与小亮相距250 m，休息1 min之后与小亮相距400 m，小明继续跑了4 min后与小亮同时到达各自终点。
（1）图中a的值为
（2）求图中BC所对应的函数表达式；
（3）求小明、小亮相遇的时间。
（1）图中a的值为
10
；（2）求图中BC所对应的函数表达式；
（3）求小明、小亮相遇的时间。
答案
6. 解:(1) 10
(2) 因为 $ 10-4=6(\mathrm{min}) $,
所以 6 min 时小亮与点 N 的距离为 $ 150× 6=900(\mathrm{m}) $,则此时小明与点 M 的距离为 $ 1\ 500-900+400=1\ 000(\mathrm{m}) $,
所以点 $ B(6,1\ 000) $.
设 BC 所对应的函数表达式为 $ s=kt+b $(k,b 为常数,且 $ k≠ 0 $).
将点 $ B(6,1\ 000) $ 和 $ C(10,1\ 500) $ 的坐标分别代入 $ s=kt+b $,
得 $ \begin{cases} 6k+b=1\ 000,\\10k+b=1\ 500,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k=125,\\b=250,\end{cases} $
所以 BC 所对应的函数表达式为 $ s=125t+250(6≤ t≤ 10) $.
(3) 因为点 $ B(6,1\ 000) $,所以点 $ A(5,1\ 000) $,
所以 OA 段小明的速度为 $ 1\ 000÷ 5=200(\mathrm{m/min}) $.
因为 $ 1\ 500÷ (200+150)=\dfrac{30}{7}(\mathrm{min}) $,
所以小明、小亮相遇的时间为 $ \dfrac{30}{7}\ \mathrm{min} $.
(2) 因为 $ 10-4=6(\mathrm{min}) $,
所以 6 min 时小亮与点 N 的距离为 $ 150× 6=900(\mathrm{m}) $,则此时小明与点 M 的距离为 $ 1\ 500-900+400=1\ 000(\mathrm{m}) $,
所以点 $ B(6,1\ 000) $.
设 BC 所对应的函数表达式为 $ s=kt+b $(k,b 为常数,且 $ k≠ 0 $).
将点 $ B(6,1\ 000) $ 和 $ C(10,1\ 500) $ 的坐标分别代入 $ s=kt+b $,
得 $ \begin{cases} 6k+b=1\ 000,\\10k+b=1\ 500,\end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k=125,\\b=250,\end{cases} $
所以 BC 所对应的函数表达式为 $ s=125t+250(6≤ t≤ 10) $.
(3) 因为点 $ B(6,1\ 000) $,所以点 $ A(5,1\ 000) $,
所以 OA 段小明的速度为 $ 1\ 000÷ 5=200(\mathrm{m/min}) $.
因为 $ 1\ 500÷ (200+150)=\dfrac{30}{7}(\mathrm{min}) $,
所以小明、小亮相遇的时间为 $ \dfrac{30}{7}\ \mathrm{min} $.
解析
【分析】
1. 求解第(1)问：先分析运动状态，小明休息1min时位置不变，两人距离从250m变为400m，说明这1min小亮单独走了150m，可得小亮速度为150m/min；小亮走完全程1500m的时间为a，用总路程除以速度即可求出a的值。
2. 求解第(2)问：已知a=10，可得B点对应时间为10-4=6min；先计算6min小亮走的路程，结合此时两人相距400m，算出小明离M点的距离，得到B点坐标；再将B、C两点坐标代入一次函数一般式，用待定系数法求解即可得到BC的函数表达式。
3. 求解第(3)问：小明休息时长为1min，因此A点对应时间为6-1=5min，A点纵坐标和B点相同，可算出小明OA段的速度；相遇时两人路程和为1500m，用总路程除以两人速度和即可得到相遇时间。
【解析】
(1) 小明休息1min时，两人距离从250m变为400m，说明小亮1min行走的路程为$400-250=150(\mathrm{m})$，即小亮的速度为$150\mathrm{m/min}$。
小亮走完全程1500m的时间为a，因此$a=1500÷150=10$。
(2) 小明休息后继续跑4min到达终点，因此B点对应的时间为$10-4=6(\mathrm{min})$。
6min时小亮行走的路程为$150×6=900(\mathrm{m})$，此时小亮离M点的距离为$1500-900=600(\mathrm{m})$，两人相距400m，因此小明离M点的距离为$600+400=1000(\mathrm{m})$，即B点坐标为$(6,1000)$。
设BC对应的函数表达式为$s=kt+b$（$k≠0$），将$B(6,1000)$、$C(10,1500)$代入得：
$\begin{cases} 6k+b=1000 \\ 10k+b=1500 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=125 \\ b=250 \end{cases}$
因此BC对应的函数表达式为$s=125t+250(6≤ t≤10)$。
(3) 小明休息时长为1min，因此A点对应的时间为$6-1=5(\mathrm{min})$，A点坐标为$(5,1000)$，则小明OA段的速度为$1000÷5=200(\mathrm{m/min})$。
两人相向而行，相遇时路程和为1500m，因此相遇时间为$1500÷(200+150)=\dfrac{30}{7}(\mathrm{min})$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $\boxed{s=125t+250(6≤ t≤10)}$
(3) $\boxed{\dfrac{30}{7}\ \mathrm{min}}$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；行程相遇问题
【点评】
本题以行程问题为背景，结合一次函数图象考查信息提取与应用能力，解题核心是从题干和图象中准确获取两人的运动速度、时间节点等关键信息，结合行程公式和一次函数性质逐步求解，对读图能力和逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1. 求解第(1)问：先分析运动状态，小明休息1min时位置不变，两人距离从250m变为400m，说明这1min小亮单独走了150m，可得小亮速度为150m/min；小亮走完全程1500m的时间为a，用总路程除以速度即可求出a的值。
2. 求解第(2)问：已知a=10，可得B点对应时间为10-4=6min；先计算6min小亮走的路程，结合此时两人相距400m，算出小明离M点的距离，得到B点坐标；再将B、C两点坐标代入一次函数一般式，用待定系数法求解即可得到BC的函数表达式。
3. 求解第(3)问：小明休息时长为1min，因此A点对应时间为6-1=5min，A点纵坐标和B点相同，可算出小明OA段的速度；相遇时两人路程和为1500m，用总路程除以两人速度和即可得到相遇时间。
【解析】
(1) 小明休息1min时，两人距离从250m变为400m，说明小亮1min行走的路程为$400-250=150(\mathrm{m})$，即小亮的速度为$150\mathrm{m/min}$。
小亮走完全程1500m的时间为a，因此$a=1500÷150=10$。
(2) 小明休息后继续跑4min到达终点，因此B点对应的时间为$10-4=6(\mathrm{min})$。
6min时小亮行走的路程为$150×6=900(\mathrm{m})$，此时小亮离M点的距离为$1500-900=600(\mathrm{m})$，两人相距400m，因此小明离M点的距离为$600+400=1000(\mathrm{m})$，即B点坐标为$(6,1000)$。
设BC对应的函数表达式为$s=kt+b$（$k≠0$），将$B(6,1000)$、$C(10,1500)$代入得：
$\begin{cases} 6k+b=1000 \\ 10k+b=1500 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=125 \\ b=250 \end{cases}$
因此BC对应的函数表达式为$s=125t+250(6≤ t≤10)$。
(3) 小明休息时长为1min，因此A点对应的时间为$6-1=5(\mathrm{min})$，A点坐标为$(5,1000)$，则小明OA段的速度为$1000÷5=200(\mathrm{m/min})$。
两人相向而行，相遇时路程和为1500m，因此相遇时间为$1500÷(200+150)=\dfrac{30}{7}(\mathrm{min})$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $\boxed{s=125t+250(6≤ t≤10)}$
(3) $\boxed{\dfrac{30}{7}\ \mathrm{min}}$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；行程相遇问题
【点评】
本题以行程问题为背景，结合一次函数图象考查信息提取与应用能力，解题核心是从题干和图象中准确获取两人的运动速度、时间节点等关键信息，结合行程公式和一次函数性质逐步求解，对读图能力和逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
7 甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为20 km. 两人前进路程s(km)与甲的前进时间t(h)之间的对应关系如图所示. 根据图象信息，下列说法中正确的是 (
A.甲比乙晚出发1 h
B.乙全程共用2 h
C.乙比甲早到B地3 h
D.甲的速度是5 km/h
（第7题）（第8题）（第9题）（第10题）
D
)A.甲比乙晚出发1 h
B.乙全程共用2 h
C.乙比甲早到B地3 h
D.甲的速度是5 km/h
（第7题）（第8题）（第9题）（第10题）
答案
7. D
解析
【分析】
解题时首先明确s-t图象的横、纵坐标含义：横坐标表示甲的前进时间t，纵坐标表示前进的路程s。先提取甲、乙的出发时间、到达时间、总路程信息，再结合速度公式$v=\frac{s}{t}$计算相关量，最后逐个判断选项正误即可。
【解析】
结合图象逐个分析选项：
A. 由图象可知，甲在$t=0$时出发，乙在$t=1\mathrm{h}$时出发，因此乙比甲晚出发1h，该选项错误；
B. 乙从$t=1\mathrm{h}$出发，$t=2\mathrm{h}$时到达20km的终点，全程用时$2\mathrm{h}-1\mathrm{h}=1\mathrm{h}$，该选项错误；
C. 甲到达终点的时间是$t=4\mathrm{h}$，乙到达终点的时间是$t=2\mathrm{h}$，因此乙比甲早到$4\mathrm{h}-2\mathrm{h}=2\mathrm{h}$，该选项错误；
D. 甲4h行驶总路程为20km，根据速度公式得甲的速度$v=\frac{s}{t}=\frac{20\mathrm{km}}{4\mathrm{h}}=5\mathrm{km/h}$，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
s-t图象分析，行程问题计算，一次函数应用
【点评】
本题是行程类图象的基础常考题，解题关键是读懂图象中起点、终点对应的实际意义，结合路程、速度、时间的关系计算判断即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确s-t图象的横、纵坐标含义：横坐标表示甲的前进时间t，纵坐标表示前进的路程s。先提取甲、乙的出发时间、到达时间、总路程信息，再结合速度公式$v=\frac{s}{t}$计算相关量，最后逐个判断选项正误即可。
【解析】
结合图象逐个分析选项：
A. 由图象可知，甲在$t=0$时出发，乙在$t=1\mathrm{h}$时出发，因此乙比甲晚出发1h，该选项错误；
B. 乙从$t=1\mathrm{h}$出发，$t=2\mathrm{h}$时到达20km的终点，全程用时$2\mathrm{h}-1\mathrm{h}=1\mathrm{h}$，该选项错误；
C. 甲到达终点的时间是$t=4\mathrm{h}$，乙到达终点的时间是$t=2\mathrm{h}$，因此乙比甲早到$4\mathrm{h}-2\mathrm{h}=2\mathrm{h}$，该选项错误；
D. 甲4h行驶总路程为20km，根据速度公式得甲的速度$v=\frac{s}{t}=\frac{20\mathrm{km}}{4\mathrm{h}}=5\mathrm{km/h}$，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
s-t图象分析，行程问题计算，一次函数应用
【点评】
本题是行程类图象的基础常考题，解题关键是读懂图象中起点、终点对应的实际意义，结合路程、速度、时间的关系计算判断即可。
【难度系数】
0.8
8 易错题（2025无锡江阴月考）已知在一条笔直的道路上顺次有A,B,C三地，且B,C两地之间的距离为360 km，甲、乙两车分别从A地，B地同时出发，沿这条笔直道路前往C地，甲车到达C地后立即以原速沿原路返回，乙车到达C地后停止运动。两车距C地的距离$ y_甲 $（km），$ y_乙 $（km）与甲车行驶的时间$ x $（h）之间的函数图象如图所示，则下列说法中正确的是（
A.$ a=4.5 $
B.$ y_乙=360-30x $
C.去程时$ y_甲=-90x+400 $
D.两车在1 h时第一次相遇
D
）A.$ a=4.5 $
B.$ y_乙=360-30x $
C.去程时$ y_甲=-90x+400 $
D.两车在1 h时第一次相遇
答案
8. D
解析
【分析】
解题先从函数图像提取核心信息：①A、C两地相距400km，B、C两地相距360km；②甲车往返A、C两地总用时10h，乙车从B到C总用时9h。首先计算甲、乙两车的行驶速度，再逐一验证各选项是否正确：
1. 先算甲的速度：甲往返总路程是$400×2=800\mathrm{km}$，总时间10h，可求$v_甲$，进而求甲到C的时间$a$，判断A选项；
2. 算乙的速度：乙走360km用时9h，求$v_乙$，进而写出$y_乙$的函数表达式，判断B选项；
3. 根据甲去程的速度和初始距C的距离，写出去程$y_甲$的表达式，判断C选项；
4. 第一次相遇是甲去程追上乙的过程，初始时甲在A、乙在B，A、B间距为$400-360=40\mathrm{km}$，属于同向追及问题，用路程差÷速度差求相遇时间，判断D选项。
【解析】
步骤1：求甲、乙两车的速度
甲车往返A、C两地总路程为$400×2=800\mathrm{km}$，总用时10h，因此甲的速度$v_甲=800÷10=80\mathrm{km/h}$。
乙车从B到C路程为360km，总用时9h，因此乙的速度$v_乙=360÷9=40\mathrm{km/h}$。
步骤2：逐一判断选项
选项A：甲到C地的时间$a=400÷80=5\mathrm{h}$，$a=5≠4.5$，A错误。
选项B：乙车距C地的距离$y_乙=初始距离-乙行驶的路程=360-40x$（$0≤ x≤9$），不是$360-30x$，B错误。
选项C：去程时甲距C地的距离$y_甲=400-80x=-80x+400$，不是$-90x+400$，C错误。
选项D：顺次A、B、C，因此A、B两地间距为$400-360=40\mathrm{km}$，两车同向行驶，甲追乙，追及时间为$40÷(80-40)=1\mathrm{h}$，即1h时第一次相遇，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数实际应用，行程问题，函数图像分析
【点评】
本题的解题核心是读懂函数图像横纵坐标的含义，准确提取路程、时间信息求出两车速度，结合行程问题公式、一次函数表达式的列法逐一分析选项，要注意区分“距C地的距离”和“行驶路程”的概念，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
解题先从函数图像提取核心信息：①A、C两地相距400km，B、C两地相距360km；②甲车往返A、C两地总用时10h，乙车从B到C总用时9h。首先计算甲、乙两车的行驶速度，再逐一验证各选项是否正确：
1. 先算甲的速度：甲往返总路程是$400×2=800\mathrm{km}$，总时间10h，可求$v_甲$，进而求甲到C的时间$a$，判断A选项；
2. 算乙的速度：乙走360km用时9h，求$v_乙$，进而写出$y_乙$的函数表达式，判断B选项；
3. 根据甲去程的速度和初始距C的距离，写出去程$y_甲$的表达式，判断C选项；
4. 第一次相遇是甲去程追上乙的过程，初始时甲在A、乙在B，A、B间距为$400-360=40\mathrm{km}$，属于同向追及问题，用路程差÷速度差求相遇时间，判断D选项。
【解析】
步骤1：求甲、乙两车的速度
甲车往返A、C两地总路程为$400×2=800\mathrm{km}$，总用时10h，因此甲的速度$v_甲=800÷10=80\mathrm{km/h}$。
乙车从B到C路程为360km，总用时9h，因此乙的速度$v_乙=360÷9=40\mathrm{km/h}$。
步骤2：逐一判断选项
选项A：甲到C地的时间$a=400÷80=5\mathrm{h}$，$a=5≠4.5$，A错误。
选项B：乙车距C地的距离$y_乙=初始距离-乙行驶的路程=360-40x$（$0≤ x≤9$），不是$360-30x$，B错误。
选项C：去程时甲距C地的距离$y_甲=400-80x=-80x+400$，不是$-90x+400$，C错误。
选项D：顺次A、B、C，因此A、B两地间距为$400-360=40\mathrm{km}$，两车同向行驶，甲追乙，追及时间为$40÷(80-40)=1\mathrm{h}$，即1h时第一次相遇，D正确。
【答案】
D
【知识点】
一次函数实际应用，行程问题，函数图像分析
【点评】
本题的解题核心是读懂函数图像横纵坐标的含义，准确提取路程、时间信息求出两车速度，结合行程问题公式、一次函数表达式的列法逐一分析选项，要注意区分“距C地的距离”和“行驶路程”的概念，避免混淆出错。
【难度系数】
0.7
9 若甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，他们距B地的距离s(km)与时间t(h)的关系如图所示，则乙的速度是
3.6
km/h.答案
9. 3.6
解析
【分析】
解题时先理解图像的实际意义：纵轴是距B地的距离，横轴是时间。首先通过甲的图像上的点求出甲的速度，再根据相遇时的时间求出甲行驶的总路程，进而得到相遇时乙行驶的路程，结合乙的出发时间算出乙的行驶时长，最后根据“速度=路程÷时间”计算乙的速度即可。
【解析】
1. 求甲的速度：由图可知A、B两地相距36km，t=2h时甲距B地24km，因此甲2h行驶的路程为$36-24=12\mathrm{km}$，甲的速度为$v_甲=\frac{12}{2}=6\mathrm{km/h}$。
2. 求相遇时甲行驶的路程：t=4.5h时两人相遇，此时甲行驶的总路程为$6×4.5=27\mathrm{km}$。
3. 求相遇时乙行驶的路程：相遇时两人共走完全程36km，因此乙行驶的路程为$36-27=9\mathrm{km}$。
4. 求乙的行驶时间：由图可知乙在t=2h时才出发，因此乙的行驶时长为$4.5-2=2.5\mathrm{h}$。
5. 求乙的速度：$v_乙=\frac{9}{2.5}=3.6\mathrm{km/h}$。
【答案】
3.6
【知识点】
一次函数图像应用，行程问题计算，速度公式应用
【点评】
本题结合一次函数图像考查行程相遇问题，解题的核心是读懂图像中特殊点的实际含义，理清甲、乙的行驶时间和路程的对应关系，再结合行程公式求解即可，易错点是容易忽略乙晚出发2小时的条件。
【难度系数】
0.7
解题时先理解图像的实际意义：纵轴是距B地的距离，横轴是时间。首先通过甲的图像上的点求出甲的速度，再根据相遇时的时间求出甲行驶的总路程，进而得到相遇时乙行驶的路程，结合乙的出发时间算出乙的行驶时长，最后根据“速度=路程÷时间”计算乙的速度即可。
【解析】
1. 求甲的速度：由图可知A、B两地相距36km，t=2h时甲距B地24km，因此甲2h行驶的路程为$36-24=12\mathrm{km}$，甲的速度为$v_甲=\frac{12}{2}=6\mathrm{km/h}$。
2. 求相遇时甲行驶的路程：t=4.5h时两人相遇，此时甲行驶的总路程为$6×4.5=27\mathrm{km}$。
3. 求相遇时乙行驶的路程：相遇时两人共走完全程36km，因此乙行驶的路程为$36-27=9\mathrm{km}$。
4. 求乙的行驶时间：由图可知乙在t=2h时才出发，因此乙的行驶时长为$4.5-2=2.5\mathrm{h}$。
5. 求乙的速度：$v_乙=\frac{9}{2.5}=3.6\mathrm{km/h}$。
【答案】
3.6
【知识点】
一次函数图像应用，行程问题计算，速度公式应用
【点评】
本题结合一次函数图像考查行程相遇问题，解题的核心是读懂图像中特殊点的实际含义，理清甲、乙的行驶时间和路程的对应关系，再结合行程公式求解即可，易错点是容易忽略乙晚出发2小时的条件。
【难度系数】
0.7
10（2025扬州模拟）某快递公司每天上午9:30—10:30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y(件)与时间x(min)之间的函数图象如图所示，则从9:30开始，经过
20
min，两仓库快递件数相同。答案
10. 20
解析
【分析】
要找到两仓库快递件数相同的时间，本质是求甲、乙两个快件数量与时间对应的一次函数图象交点的横坐标。解题步骤为：首先利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库快件数量y关于时间x的一次函数解析式，再令两个解析式的y值相等，解方程即可得到所求时间。
【解析】
1. 求甲仓库的函数解析式：
设甲仓库快件数量y与时间x的函数关系式为$ y_{甲}=k_1x+b_1 $，
由图象可知，函数过点$(0,40)$和$(60,400)$，
将$(0,40)$代入得：$ b_1=40 $，
将$(60,400)$、$ b_1=40 $代入得：$ 400=60k_1+40 $，解得$ k_1=6 $，
因此$ y_{甲}=6x+40 $。
2. 求乙仓库的函数解析式：
设乙仓库快件数量y与时间x的函数关系式为$ y_{乙}=k_2x+b_2 $，
由图象可知，函数过点$(0,240)$和$(60,0)$，
将$(0,240)$代入得：$ b_2=240 $，
将$(60,0)$、$ b_2=240 $代入得：$ 0=60k_2+240 $，解得$ k_2=-4 $，
因此$ y_{乙}=-4x+240 $。
3. 求件数相同时的时间：
当两仓库快递件数相同时，$ y_{甲}=y_{乙} $，即：
$ 6x+40=-4x+240 $
移项合并同类项得：$ 10x=200 $
解得：$ x=20 $。
【答案】
20
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数交点问题；一次函数实际应用
【点评】
本题结合快递揽件派件的实际场景考查一次函数的应用，解题的关键是将“件数相同”的实际问题转化为求两个一次函数交点的数学问题，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的基础，属于一次函数应用的常规题型。
【难度系数】
0.75
要找到两仓库快递件数相同的时间，本质是求甲、乙两个快件数量与时间对应的一次函数图象交点的横坐标。解题步骤为：首先利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库快件数量y关于时间x的一次函数解析式，再令两个解析式的y值相等，解方程即可得到所求时间。
【解析】
1. 求甲仓库的函数解析式：
设甲仓库快件数量y与时间x的函数关系式为$ y_{甲}=k_1x+b_1 $，
由图象可知，函数过点$(0,40)$和$(60,400)$，
将$(0,40)$代入得：$ b_1=40 $，
将$(60,400)$、$ b_1=40 $代入得：$ 400=60k_1+40 $，解得$ k_1=6 $，
因此$ y_{甲}=6x+40 $。
2. 求乙仓库的函数解析式：
设乙仓库快件数量y与时间x的函数关系式为$ y_{乙}=k_2x+b_2 $，
由图象可知，函数过点$(0,240)$和$(60,0)$，
将$(0,240)$代入得：$ b_2=240 $，
将$(60,0)$、$ b_2=240 $代入得：$ 0=60k_2+240 $，解得$ k_2=-4 $，
因此$ y_{乙}=-4x+240 $。
3. 求件数相同时的时间：
当两仓库快递件数相同时，$ y_{甲}=y_{乙} $，即：
$ 6x+40=-4x+240 $
移项合并同类项得：$ 10x=200 $
解得：$ x=20 $。
【答案】
20
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数交点问题；一次函数实际应用
【点评】
本题结合快递揽件派件的实际场景考查一次函数的应用，解题的关键是将“件数相同”的实际问题转化为求两个一次函数交点的数学问题，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的基础，属于一次函数应用的常规题型。
【难度系数】
0.75
