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1（2025扬州江都模拟）若以关于$x,y$的二元一次方程$x - 2y + b = 0$的解为坐标的点$(x,y)$都在直线$y = \frac{1}{2}x + b - 1$上，则常数$b$的值为（
A.0
B.$-1$
C.2
D.1
C
）A.0
B.$-1$
C.2
D.1
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二元一次方程和对应一次函数的关系：如果二元一次方程的所有解对应的点都在某条直线上，说明将二元一次方程变形为用x表示y的形式后，和给定直线的表达式完全相同。解题步骤为：先把给出的二元一次方程变形为$y=kx+c$的形式，再和已知直线的表达式对比，利用常数项相等列方程即可求出b的值。
【解析】
首先对二元一次方程$x - 2y + b = 0$进行变形，用含$x$的式子表示$y$：
移项得：$-2y = -x - b$
两边同时除以$-2$得：$y = \frac{1}{2}x + \frac{b}{2}$
因为以方程$x - 2y + b = 0$的解为坐标的点都在直线$y = \frac{1}{2}x + b - 1$上，说明两个表达式对应同一条直线，一次项系数已经相等，因此常数项也相等，可得：
$\frac{b}{2} = b - 1$
解这个一元一次方程：
移项得：$b - \frac{b}{2} = 1$
合并同类项得：$\frac{b}{2} = 1$
解得：$b = 2$
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程的关系
2. 解一元一次方程
3. 等式的性质
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程的内在联系，解题核心是理解“方程的所有解对应的点都在直线上”等价于两个表达式完全一致，只需对比常数项列方程求解即可，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确二元一次方程和对应一次函数的关系：如果二元一次方程的所有解对应的点都在某条直线上，说明将二元一次方程变形为用x表示y的形式后，和给定直线的表达式完全相同。解题步骤为：先把给出的二元一次方程变形为$y=kx+c$的形式，再和已知直线的表达式对比，利用常数项相等列方程即可求出b的值。
【解析】
首先对二元一次方程$x - 2y + b = 0$进行变形，用含$x$的式子表示$y$：
移项得：$-2y = -x - b$
两边同时除以$-2$得：$y = \frac{1}{2}x + \frac{b}{2}$
因为以方程$x - 2y + b = 0$的解为坐标的点都在直线$y = \frac{1}{2}x + b - 1$上，说明两个表达式对应同一条直线，一次项系数已经相等，因此常数项也相等，可得：
$\frac{b}{2} = b - 1$
解这个一元一次方程：
移项得：$b - \frac{b}{2} = 1$
合并同类项得：$\frac{b}{2} = 1$
解得：$b = 2$
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程的关系
2. 解一元一次方程
3. 等式的性质
【点评】
本题考查一次函数与二元一次方程的内在联系，解题核心是理解“方程的所有解对应的点都在直线上”等价于两个表达式完全一致，只需对比常数项列方程求解即可，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
2 下列四条直线中，直线上每个点的坐标都是二元一次方程$2x - y = 2$的解的是（
B
）答案
2. B
解析
【分析】
要判断哪条直线上的点都是方程$2x-y=2$的解，首先可将二元一次方程转化为一次函数形式，满足方程的所有解对应的点组成的图象就是该一次函数的图象。我们可以先求出该一次函数与x轴、y轴的交点坐标，再和选项中的图象比对即可得到答案：求与y轴交点时令x=0计算对应y值，求与x轴交点时令y=0计算对应x值，最后看哪个选项的直线经过这两个交点即可。
【解析】
首先将方程$2x - y = 2$变形为一次函数形式：移项可得$y = 2x - 2$。
1. 求直线与y轴的交点：令$x=0$，代入函数式得$y=2×0 - 2 = -2$，即直线过点$(0,-2)$；
2. 求直线与x轴的交点：令$y=0$，代入函数式得$0 = 2x - 2$，解得$x=1$，即直线过点$(1,0)$。
观察四个选项的图象，只有选项B的直线同时经过点$(1,0)$和$(0,-2)$，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系、一次函数交点求解
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程关联的基础考查题型，解题核心是掌握二元一次方程和对应一次函数图象的对应关系，通过求坐标轴交点即可快速定位对应图象，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断哪条直线上的点都是方程$2x-y=2$的解，首先可将二元一次方程转化为一次函数形式，满足方程的所有解对应的点组成的图象就是该一次函数的图象。我们可以先求出该一次函数与x轴、y轴的交点坐标，再和选项中的图象比对即可得到答案：求与y轴交点时令x=0计算对应y值，求与x轴交点时令y=0计算对应x值，最后看哪个选项的直线经过这两个交点即可。
【解析】
首先将方程$2x - y = 2$变形为一次函数形式：移项可得$y = 2x - 2$。
1. 求直线与y轴的交点：令$x=0$，代入函数式得$y=2×0 - 2 = -2$，即直线过点$(0,-2)$；
2. 求直线与x轴的交点：令$y=0$，代入函数式得$0 = 2x - 2$，解得$x=1$，即直线过点$(1,0)$。
观察四个选项的图象，只有选项B的直线同时经过点$(1,0)$和$(0,-2)$，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系、一次函数交点求解
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程关联的基础考查题型，解题核心是掌握二元一次方程和对应一次函数图象的对应关系，通过求坐标轴交点即可快速定位对应图象，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
3（2024扬州）如图，已知一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象分别与$x$轴，$y$轴交于$A$，$B$两点.若$OA=2$，$OB=1$，则关于$x$的方程$kx+b=0$的解为
x=-2
.答案
3. $x=-2$
解析
【分析】
要解关于x的方程kx+b=0，首先明确一次函数与一元一次方程的关系：方程kx+b=0的解就是一次函数y=kx+b的函数值为0时对应的x的值，也就是一次函数图象与x轴交点的横坐标。接下来结合已知条件OA=2，且点A在x轴的负半轴，确定A点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
根据一次函数与一元一次方程的关系，关于x的方程kx+b=0的解是一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标。
由图可知，点A在x轴负半轴，已知OA=2，因此点A的坐标为(-2, 0)，即当x=-2时，y=kx+b=0。
因此方程kx+b=0的解为x=-2。
【答案】
x=-2
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系；一次函数图象与坐标轴交点
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握一次函数与对应的一元一次方程的联系，结合图象中给出的线段长度确定交点坐标即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
要解关于x的方程kx+b=0，首先明确一次函数与一元一次方程的关系：方程kx+b=0的解就是一次函数y=kx+b的函数值为0时对应的x的值，也就是一次函数图象与x轴交点的横坐标。接下来结合已知条件OA=2，且点A在x轴的负半轴，确定A点的横坐标即可得到方程的解。
【解析】
根据一次函数与一元一次方程的关系，关于x的方程kx+b=0的解是一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标。
由图可知，点A在x轴负半轴，已知OA=2，因此点A的坐标为(-2, 0)，即当x=-2时，y=kx+b=0。
因此方程kx+b=0的解为x=-2。
【答案】
x=-2
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系；一次函数图象与坐标轴交点
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握一次函数与对应的一元一次方程的联系，结合图象中给出的线段长度确定交点坐标即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
4 (2025 宁夏)如图,直线 $ l_1: y = k_1x + b_1 $ 与直线 $ l_2: y = k_2x + b_2 $ 交于点A,则关于x,y的方程组$\begin{cases}y = k_1x + b_1, \\ y = k_2x + b_2\end{cases}$的解是 ______ .
答案
4. $\begin{cases} x=4, \\ y=6 \end{cases}$
解析
【分析】
解题的核心是明确二元一次方程组的解的几何意义：方程组的解需要同时满足两个方程，对应到函数图象上，就是既在直线$l_1$上、又在直线$l_2$上的点，也就是两条直线的交点坐标。因此我们只需从图中读出交点A的横、纵坐标，就能得到方程组的解。
【解析】
根据一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解。
由图象可知，直线$l_1$与$l_2$的交点A的坐标为$(4,6)$，因此方程组$\begin{cases}y = k_1x + b_1\\ y = k_2x + b_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=4\\y=6\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases}x=4\\y=6\end{cases}$
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 函数图象交点的含义
【点评】
本题属于基础题，主要考查一次函数和二元一次方程组的对应关系，掌握“两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解”这一规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题的核心是明确二元一次方程组的解的几何意义：方程组的解需要同时满足两个方程，对应到函数图象上，就是既在直线$l_1$上、又在直线$l_2$上的点，也就是两条直线的交点坐标。因此我们只需从图中读出交点A的横、纵坐标，就能得到方程组的解。
【解析】
根据一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解。
由图象可知，直线$l_1$与$l_2$的交点A的坐标为$(4,6)$，因此方程组$\begin{cases}y = k_1x + b_1\\ y = k_2x + b_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=4\\y=6\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases}x=4\\y=6\end{cases}$
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程组的关系
2. 函数图象交点的含义
【点评】
本题属于基础题，主要考查一次函数和二元一次方程组的对应关系，掌握“两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解”这一规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5 教材P170例·变式 如图，一次函数$y=kx+b$与$y=-x+6$的图象相交于点$P$.若点$P$的纵坐标为2，则关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}y=kx+b, \\ y=-x+6\end{cases}$的解为 ______ .
答案
5. $\begin{cases} x=4, \\ y=2 \end{cases}$
解析
【分析】
要解决本题首先明确核心规律：两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。已知交点P的纵坐标为2，且点P在直线$y=-x+6$上，因此先将$y=2$代入$y=-x+6$求出点P的横坐标，即可得到交点坐标，也就是方程组的解。
【解析】
解：二元一次方程组$\begin{cases}y=kx+b \\ y=-x+6\end{cases}$的解对应一次函数$y=kx+b$与$y=-x+6$图象交点$P$的坐标。
∵ 点$P$在直线$y=-x+6$上，且纵坐标为2，
将$y=2$代入$y=-x+6$，得：
$2=-x+6$
解得$x=4$
∴ 点$P$的坐标为$(4,2)$，即方程组的解为$\begin{cases}x=4 \\ y=2\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=4, \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是理解一次函数交点和对应二元一次方程组解的对应关系，结合已知条件代入计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决本题首先明确核心规律：两个一次函数图象的交点坐标，就是这两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。已知交点P的纵坐标为2，且点P在直线$y=-x+6$上，因此先将$y=2$代入$y=-x+6$求出点P的横坐标，即可得到交点坐标，也就是方程组的解。
【解析】
解：二元一次方程组$\begin{cases}y=kx+b \\ y=-x+6\end{cases}$的解对应一次函数$y=kx+b$与$y=-x+6$图象交点$P$的坐标。
∵ 点$P$在直线$y=-x+6$上，且纵坐标为2，
将$y=2$代入$y=-x+6$，得：
$2=-x+6$
解得$x=4$
∴ 点$P$的坐标为$(4,2)$，即方程组的解为$\begin{cases}x=4 \\ y=2\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=4, \\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是理解一次函数交点和对应二元一次方程组解的对应关系，结合已知条件代入计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
6 用图象法解二元一次方程组$\begin{cases} x - y = -5, \\ x + 2y = -2. \end{cases}$
答案
6. 解:由 $x-y=-5$,得 $y=x+5$.
由 $x+2y=-2$,得 $y=-\dfrac{1}{2}x-1$.
如图,在同一平面直角坐标系中,画出一次函数 $y=x+5$,
$y=-\dfrac{1}{2}x-1$ 的图象,它们的交点坐标是$(-4,1)$.
故二元一次方程组 $\begin{cases} x-y=-5, \\ x+2y=-2 \end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x=-4, \\ y=1. \end{cases}$
解析
【分析】
用图象法解二元一次方程组的核心逻辑是：二元一次方程组的解对应组内两个方程转化成的一次函数图象的交点坐标。解题时首先要把方程组中的两个二元一次方程都变形为y=kx+b（k≠0）的一次函数形式，再观察两个一次函数的图象找到交点，交点的横坐标就是方程组中x的解，纵坐标就是y的解。
【解析】
1. 将方程组中的方程转化为一次函数形式：
对$x - y = -5$移项，可得$y = x + 5$；
对$x + 2y = -2$移项得$2y = -x -2$，两边同除以2，可得$y = -\dfrac{1}{2}x - 1$。
2. 观察给出的两个一次函数的图象，可得$y=x+5$和$y=-\dfrac{1}{2}x - 1$的交点坐标为$(-4,1)$。
根据一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解。
【答案】
解:由 $x-y=-5$,得 $y=x+5$.
由 $x+2y=-2$,得 $y=-\dfrac{1}{2}x-1$.
如图,在同一平面直角坐标系中,画出一次函数 $y=x+5$,
$y=-\dfrac{1}{2}x-1$ 的图象,它们的交点坐标是$(-4,1)$.
故二元一次方程组 $\begin{cases} x-y=-5, \\ x+2y=-2 \end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x=-4, \\ y=1. \end{cases}$
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程的关系
2. 二元一次方程组的图象解法
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程组结合的基础题，解题关键是熟练掌握二元一次方程到一次函数表达式的转化，理解两个一次函数图象的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，掌握图象法解方程组的基本步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
用图象法解二元一次方程组的核心逻辑是：二元一次方程组的解对应组内两个方程转化成的一次函数图象的交点坐标。解题时首先要把方程组中的两个二元一次方程都变形为y=kx+b（k≠0）的一次函数形式，再观察两个一次函数的图象找到交点，交点的横坐标就是方程组中x的解，纵坐标就是y的解。
【解析】
1. 将方程组中的方程转化为一次函数形式：
对$x - y = -5$移项，可得$y = x + 5$；
对$x + 2y = -2$移项得$2y = -x -2$，两边同除以2，可得$y = -\dfrac{1}{2}x - 1$。
2. 观察给出的两个一次函数的图象，可得$y=x+5$和$y=-\dfrac{1}{2}x - 1$的交点坐标为$(-4,1)$。
根据一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解。
【答案】
解:由 $x-y=-5$,得 $y=x+5$.
由 $x+2y=-2$,得 $y=-\dfrac{1}{2}x-1$.
如图,在同一平面直角坐标系中,画出一次函数 $y=x+5$,
$y=-\dfrac{1}{2}x-1$ 的图象,它们的交点坐标是$(-4,1)$.
故二元一次方程组 $\begin{cases} x-y=-5, \\ x+2y=-2 \end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x=-4, \\ y=1. \end{cases}$
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程的关系
2. 二元一次方程组的图象解法
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程组结合的基础题，解题关键是熟练掌握二元一次方程到一次函数表达式的转化，理解两个一次函数图象的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，掌握图象法解方程组的基本步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
