登录
【例】(2025—2026 丰城期中)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加利润,该商店采取了降价措施,在保障每件商品的利润不少于30元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.
(1)若该商店每天要获得销售利润1 050元,则每件商品应降价多少元?
(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
【点拨】(1)设每件商品降价$y$元,则每件盈利$(40-y)$元,平均每天可售出$(20+2y)$件,依题意得$(40-y)(20+2y)=1050$,解出$y$的值,即可作答.(2)设每件商品降价$m$元,商店可获得的利润为$w$元,根据题意得$w=-2(m-15)^2+1250$.因为$-2＜0,0＜m≤10$,当$m=10$时,$w$有最大值,最大值为1 200.
【解】(1)设每件商品降价$y$元,则每件盈利$(40-y)$元,平均每天可售出$(20+2y)$件,
$\therefore (40-y)(20+2y)=1050$,
$\therefore y^2 -30y +125=0$,
$\therefore y_1=5,y_2=25$.
$\because 40-y≥30,\therefore 0＜y≤10,\therefore y=5$.
答:当每件商品降价5元时,该商店每天的销售利润为1 050元.
(2)设每件商品降价$m$元,商店可获得的利润为$w$元,$\therefore w=(40-m)(20+2m)=-2m^2+60m+800=-2(m-15)^2+1250$.
$\because -2＜0,0＜m≤10$,
$\therefore$当$m=10$时,$w$有最大值,最大值为1 200.
答:当每件商品降价10元时,商店可获得最大利润,最大利润为1 200元.
(1)若该商店每天要获得销售利润1 050元,则每件商品应降价多少元?
(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天的销售利润最大?最大利润为多少元?
【点拨】(1)设每件商品降价$y$元,则每件盈利$(40-y)$元,平均每天可售出$(20+2y)$件,依题意得$(40-y)(20+2y)=1050$,解出$y$的值,即可作答.(2)设每件商品降价$m$元,商店可获得的利润为$w$元,根据题意得$w=-2(m-15)^2+1250$.因为$-2＜0,0＜m≤10$,当$m=10$时,$w$有最大值,最大值为1 200.
【解】(1)设每件商品降价$y$元,则每件盈利$(40-y)$元,平均每天可售出$(20+2y)$件,
$\therefore (40-y)(20+2y)=1050$,
$\therefore y^2 -30y +125=0$,
$\therefore y_1=5,y_2=25$.
$\because 40-y≥30,\therefore 0＜y≤10,\therefore y=5$.
答:当每件商品降价5元时,该商店每天的销售利润为1 050元.
(2)设每件商品降价$m$元,商店可获得的利润为$w$元,$\therefore w=(40-m)(20+2m)=-2m^2+60m+800=-2(m-15)^2+1250$.
$\because -2＜0,0＜m≤10$,
$\therefore$当$m=10$时,$w$有最大值,最大值为1 200.
答:当每件商品降价10元时,商店可获得最大利润,最大利润为1 200元.
答案
解：(1)设每件商品降价$y$元，则每件盈利$(40-y)$元，平均每天可售出$(20+2y)$件。
根据题意得：
$(40-y)(20+2y)=1050$
整理得：
$y^2 - 30y + 125 = 0$
解得：
$y_1=5,\ y_2=25$
由题意每件商品的利润不少于30元，得$40-y\ge30$，即$y\le10$，
$\therefore y=25$不符合要求，舍去，故$y=5$。
答：每件商品应降价5元。
(2)设每件商品降价$m$元，商店每天的销售利润为$w$元，根据题意得：
$\begin{aligned}w&=(40-m)(20+2m)\\&=-2m^2+60m+800\\&=-2(m-15)^2+1250\end{aligned}$
由$40-m\ge30$，得$0＜m\le10$。
$\because -2＜0$，抛物线开口向下，在对称轴$m=15$左侧，$w$随$m$的增大而增大，
$\therefore$当$m=10$时，$w$取得最大值，最大值为$1200$。
答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润最大，最大利润为1200元。
根据题意得：
$(40-y)(20+2y)=1050$
整理得：
$y^2 - 30y + 125 = 0$
解得：
$y_1=5,\ y_2=25$
由题意每件商品的利润不少于30元，得$40-y\ge30$，即$y\le10$，
$\therefore y=25$不符合要求，舍去，故$y=5$。
答：每件商品应降价5元。
(2)设每件商品降价$m$元，商店每天的销售利润为$w$元，根据题意得：
$\begin{aligned}w&=(40-m)(20+2m)\\&=-2m^2+60m+800\\&=-2(m-15)^2+1250\end{aligned}$
由$40-m\ge30$，得$0＜m\le10$。
$\because -2＜0$，抛物线开口向下，在对称轴$m=15$左侧，$w$随$m$的增大而增大，
$\therefore$当$m=10$时，$w$取得最大值，最大值为$1200$。
答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润最大，最大利润为1200元。
解析
【分析】
(1) 本题核心等量关系为“总销售利润=单件商品利润×日销售量”。首先设每件商品降价y元，单件利润为原盈利减去降价金额，即(40-y)元；日销售量为原销量加上降价后多售出的数量，即(20+2y)件。结合总利润1050元列一元二次方程求解，最后根据“每件利润不少于30元”的限制条件筛选符合题意的解即可。
(2) 求最大利润需构建二次函数模型，设降价m元时总利润为w元，根据利润等量关系列出w关于m的函数关系式，整理为顶点式后，结合m的取值范围，利用二次函数的增减性即可求出最大值。
【解析】
(1) 设每件商品降价$y$元，则每件盈利$(40-y)$元，平均每天可售出$(20+2y)$件。
根据题意得：
$(40-y)(20+2y)=1050$
整理得：
$y^2 - 30y + 125 = 0$
解得：
$y_1=5,\ y_2=25$
由题意每件商品的利润不少于30元，得$40-y\ge30$，即$y\le10$，
$\therefore y=25$不符合要求，舍去，故$y=5$。
(2) 设每件商品降价$m$元，商店每天的销售利润为$w$元，根据题意得：
$\begin{aligned}w&=(40-m)(20+2m)\\&=-2m^2+60m+800\\&=-2(m-15)^2+1250\end{aligned}$
由$40-m\ge30$，得$0＜m\le10$。
$\because -2＜0$，抛物线开口向下，在对称轴$m=15$左侧，$w$随$m$的增大而增大，
$\therefore$当$m=10$时，$w$取得最大值，最大值为$1200$。
【答案】
(1) 每件商品应降价5元；
(2) 当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润最大，最大利润为1200元。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的应用；二次函数的性质
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，既考查了列方程求解具体利润对应的降价金额，也考查了利用二次函数性质求最值，解题时需格外注意题目给出的自变量取值限制，避免忽略条件得出错误结果。
【难度系数】
0.6
(1) 本题核心等量关系为“总销售利润=单件商品利润×日销售量”。首先设每件商品降价y元，单件利润为原盈利减去降价金额，即(40-y)元；日销售量为原销量加上降价后多售出的数量，即(20+2y)件。结合总利润1050元列一元二次方程求解，最后根据“每件利润不少于30元”的限制条件筛选符合题意的解即可。
(2) 求最大利润需构建二次函数模型，设降价m元时总利润为w元，根据利润等量关系列出w关于m的函数关系式，整理为顶点式后，结合m的取值范围，利用二次函数的增减性即可求出最大值。
【解析】
(1) 设每件商品降价$y$元，则每件盈利$(40-y)$元，平均每天可售出$(20+2y)$件。
根据题意得：
$(40-y)(20+2y)=1050$
整理得：
$y^2 - 30y + 125 = 0$
解得：
$y_1=5,\ y_2=25$
由题意每件商品的利润不少于30元，得$40-y\ge30$，即$y\le10$，
$\therefore y=25$不符合要求，舍去，故$y=5$。
(2) 设每件商品降价$m$元，商店每天的销售利润为$w$元，根据题意得：
$\begin{aligned}w&=(40-m)(20+2m)\\&=-2m^2+60m+800\\&=-2(m-15)^2+1250\end{aligned}$
由$40-m\ge30$，得$0＜m\le10$。
$\because -2＜0$，抛物线开口向下，在对称轴$m=15$左侧，$w$随$m$的增大而增大，
$\therefore$当$m=10$时，$w$取得最大值，最大值为$1200$。
【答案】
(1) 每件商品应降价5元；
(2) 当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润最大，最大利润为1200元。
【知识点】
一元二次方程的应用；二次函数的应用；二次函数的性质
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，既考查了列方程求解具体利润对应的降价金额，也考查了利用二次函数性质求最值，解题时需格外注意题目给出的自变量取值限制，避免忽略条件得出错误结果。
【难度系数】
0.6
1.某鞋帽专卖店销售一种绒帽.若这种绒帽每天获利$y$(单位:元)与销售单价$x$(单位:元)满足关系$y=-x^2+70x-800$，要想获得最大利润，则销售单价为（
A.30元
B.35元
C.40元
D.45元
B
）A.30元
B.35元
C.40元
D.45元
答案
1.B
解析
【分析】
本题是二次函数在销售利润问题中的应用，要求获得最大利润时的销售单价，本质是求二次函数取最大值时自变量x的值。首先观察二次函数解析式的二次项系数，a=-1＜0，说明抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，因此只需利用二次函数顶点横坐标公式计算即可得到对应的销售单价。
【解析】
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a≠0$），当$a＜0$时，抛物线开口向下，函数在$x=-\frac{b}{2a}$处取得最大值。
在本题的利润解析式$y=-x^2+70x-800$中，$a=-1$，$b=70$，代入顶点横坐标公式得：
$x = -\frac{70}{2×(-1)} = 35$
即销售单价为35元时，可获得最大利润。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数的最值 2.二次函数的实际应用
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，解题关键是将求最大利润对应单价的问题转化为求二次函数顶点横坐标的问题，熟练掌握二次函数最值的求法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题是二次函数在销售利润问题中的应用，要求获得最大利润时的销售单价，本质是求二次函数取最大值时自变量x的值。首先观察二次函数解析式的二次项系数，a=-1＜0，说明抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值，因此只需利用二次函数顶点横坐标公式计算即可得到对应的销售单价。
【解析】
对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$（$a≠0$），当$a＜0$时，抛物线开口向下，函数在$x=-\frac{b}{2a}$处取得最大值。
在本题的利润解析式$y=-x^2+70x-800$中，$a=-1$，$b=70$，代入顶点横坐标公式得：
$x = -\frac{70}{2×(-1)} = 35$
即销售单价为35元时，可获得最大利润。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数的最值 2.二次函数的实际应用
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，解题关键是将求最大利润对应单价的问题转化为求二次函数顶点横坐标的问题，熟练掌握二次函数最值的求法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2. 便民商店经营一种商品，在销售过程中发现该商品一周的利润$y$(单位:元)与售价$x$(单位:元/件)之间的关系满足$y=-2(x-20)^2+1558$。由于某种原因，售价$x$要满足$15≤ x≤19$，那么销售该商品一周可获得的最大利润是 (
A.1554元
B.1556元
C.1558元
D.1560元
B
)A.1554元
B.1556元
C.1558元
D.1560元
答案
2.B
解析
【分析】
本题是二次函数求实际最值的问题，解题思路如下：首先观察二次函数的解析式，判断开口方向和对称轴；再结合题目给出的售价x的取值范围，判断该范围在对称轴的哪一侧，根据二次函数的单调性确定取得最大利润时对应的x值；最后将x值代入解析式计算即可得到最大利润。注意不能直接取顶点的利润值，要考虑自变量的取值限制。
【解析】
对于二次函数$y=-2(x-20)^2+1558$：
1. 二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=20$；
2. 当$x＜20$时，$y$随$x$的增大而增大，题目给出售价范围为$15≤ x≤19$，该区间全部在对称轴左侧，因此当$x$取区间最大值19时，$y$取得最大值；
3. 将$x=19$代入解析式：
$y=-2×(19-20)^2+1558=-2×1+1558=1556$（元）
因此最大利润为1556元，选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数最值求解；利润实际应用
【点评】
本题易直接代入顶点横坐标$x=20$计算得到1558元而错选C，解题时要注意结合实际问题中自变量的取值范围，根据二次函数的单调性确定最值点，不能忽略限制条件直接取顶点最值。
【难度系数】
0.7
本题是二次函数求实际最值的问题，解题思路如下：首先观察二次函数的解析式，判断开口方向和对称轴；再结合题目给出的售价x的取值范围，判断该范围在对称轴的哪一侧，根据二次函数的单调性确定取得最大利润时对应的x值；最后将x值代入解析式计算即可得到最大利润。注意不能直接取顶点的利润值，要考虑自变量的取值限制。
【解析】
对于二次函数$y=-2(x-20)^2+1558$：
1. 二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=20$；
2. 当$x＜20$时，$y$随$x$的增大而增大，题目给出售价范围为$15≤ x≤19$，该区间全部在对称轴左侧，因此当$x$取区间最大值19时，$y$取得最大值；
3. 将$x=19$代入解析式：
$y=-2×(19-20)^2+1558=-2×1+1558=1556$（元）
因此最大利润为1556元，选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；二次函数最值求解；利润实际应用
【点评】
本题易直接代入顶点横坐标$x=20$计算得到1558元而错选C，解题时要注意结合实际问题中自变量的取值范围，根据二次函数的单调性确定最值点，不能忽略限制条件直接取顶点最值。
【难度系数】
0.7
