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3.跨物理学科 根据物理学规律,如果不考虑空气阻力,以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间的函数关系是$h=-5t^2+20t$,则小球运动中的最大高度是
20
m.答案
3.20
解析
【分析】
本题考查二次函数在实际问题中的最值求解。首先观察给出的高度h与时间t的函数关系，这是一个二次函数，且二次项系数为-5＜0，因此函数图象开口向下，对应的h存在最大值，最大值即为二次函数顶点的纵坐标，我们可以通过配方法或者二次函数顶点纵坐标公式计算得到结果。
【解析】
方法一：配方法
对函数$h=-5t^2+20t$进行配方：
$h=-5(t^2-4t)$
$=-5(t^2-4t+4 - 4)$
$=-5(t-2)^2 + 20$
因为$(t-2)^2≥0$，所以$-5(t-2)^2≤0$，当$t=2$时，$-5(t-2)^2=0$，此时h取得最大值。
方法二：顶点公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其顶点的纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，a＜0时该值即为函数的最大值。
本题中$a=-5$，$b=20$，$c=0$，代入得：
$h_{max}=\frac{4×(-5)×0 - 20^2}{4×(-5)}=\frac{-400}{-20}=20$
【答案】
20
【知识点】
二次函数的最值、二次函数的实际应用
【点评】
本题结合物理运动场景考查二次函数的最值应用，解题核心是掌握二次函数开口方向与最值的对应关系，熟练运用配方法或顶点公式求解最值即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数在实际问题中的最值求解。首先观察给出的高度h与时间t的函数关系，这是一个二次函数，且二次项系数为-5＜0，因此函数图象开口向下，对应的h存在最大值，最大值即为二次函数顶点的纵坐标，我们可以通过配方法或者二次函数顶点纵坐标公式计算得到结果。
【解析】
方法一：配方法
对函数$h=-5t^2+20t$进行配方：
$h=-5(t^2-4t)$
$=-5(t^2-4t+4 - 4)$
$=-5(t-2)^2 + 20$
因为$(t-2)^2≥0$，所以$-5(t-2)^2≤0$，当$t=2$时，$-5(t-2)^2=0$，此时h取得最大值。
方法二：顶点公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，其顶点的纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，a＜0时该值即为函数的最大值。
本题中$a=-5$，$b=20$，$c=0$，代入得：
$h_{max}=\frac{4×(-5)×0 - 20^2}{4×(-5)}=\frac{-400}{-20}=20$
【答案】
20
【知识点】
二次函数的最值、二次函数的实际应用
【点评】
本题结合物理运动场景考查二次函数的最值应用，解题核心是掌握二次函数开口方向与最值的对应关系，熟练运用配方法或顶点公式求解最值即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
4. 数形结合思想 如下图,某高尔夫球手击出一个球,球的高度$h$(单位:m)和经过的水平距离$d$(单位:m)可用公式$h = d - 0.01d^2$来估计.
(1)球上升的最大高度是多少?
(2)若在击球点A正东方向101 m处有一球洞B,判断此高尔夫球手这一杆能否把球从点A直接打入球洞B,并说明理由.
(1)球上升的最大高度是多少?
(2)若在击球点A正东方向101 m处有一球洞B,判断此高尔夫球手这一杆能否把球从点A直接打入球洞B,并说明理由.
答案
4.解:(1)
∵$h=d-0.01d^2=-0.01(d-50)^2+25$,
∴当$d=50$时,$h$有最大值,最大值为25,
∴球上升的最大高度是25 m.
(2)不能.理由如下:
依题意,得$d-0.01d^2=0$,解得$d_1=100,d_2=0$(舍去).
∵$100≠101$,
∴此高尔夫球手这一杆不能把球从点A直接打入球洞B.
∵$h=d-0.01d^2=-0.01(d-50)^2+25$,
∴当$d=50$时,$h$有最大值,最大值为25,
∴球上升的最大高度是25 m.
(2)不能.理由如下:
依题意,得$d-0.01d^2=0$,解得$d_1=100,d_2=0$(舍去).
∵$100≠101$,
∴此高尔夫球手这一杆不能把球从点A直接打入球洞B.
解析
【分析】
(1) 要求球的最大上升高度，本质是求二次函数$h=d-0.01d^2$的最大值，该函数二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点处的函数值即为最大值，可通过配方法将函数转化为顶点式求解。
(2) 判断能否直接打入球洞，需先求出球落地时的水平距离：球落地时高度$h=0$，代入函数解一元二次方程得到球飞行的最大水平距离，再与101m比较即可得出结论，注意舍去不符合实际意义的解。
【解析】
(1) 对高度公式变形配方：
$h = d - 0.01d^2 = -0.01(d^2 - 100d) = -0.01(d^2 - 100d + 2500 - 2500) = -0.01(d-50)^2 + 25$
∵二次项系数$-0.01＜0$，
∴当$d=50$时，$h$取得最大值，最大值为25m。
(2) 当球落地时高度$h=0$，代入公式得：
$d - 0.01d^2 = 0$
因式分解得$d(1 - 0.01d)=0$，
解得$d_1=0$（为击球点，不符合题意，舍去），$d_2=100$。
即球飞行的最大水平距离为100m，$100≠101$，因此不能直接打入球洞B。
【答案】
(1) 25 m；
(2) 不能。
【知识点】
二次函数最值、二次函数实际应用、二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的实际应用，解题关键是把实际问题转化为二次函数的最值求解、解方程问题，同时要注意结合实际意义对方程的解进行筛选，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
(1) 要求球的最大上升高度，本质是求二次函数$h=d-0.01d^2$的最大值，该函数二次项系数小于0，抛物线开口向下，顶点处的函数值即为最大值，可通过配方法将函数转化为顶点式求解。
(2) 判断能否直接打入球洞，需先求出球落地时的水平距离：球落地时高度$h=0$，代入函数解一元二次方程得到球飞行的最大水平距离，再与101m比较即可得出结论，注意舍去不符合实际意义的解。
【解析】
(1) 对高度公式变形配方：
$h = d - 0.01d^2 = -0.01(d^2 - 100d) = -0.01(d^2 - 100d + 2500 - 2500) = -0.01(d-50)^2 + 25$
∵二次项系数$-0.01＜0$，
∴当$d=50$时，$h$取得最大值，最大值为25m。
(2) 当球落地时高度$h=0$，代入公式得：
$d - 0.01d^2 = 0$
因式分解得$d(1 - 0.01d)=0$，
解得$d_1=0$（为击球点，不符合题意，舍去），$d_2=100$。
即球飞行的最大水平距离为100m，$100≠101$，因此不能直接打入球洞B。
【答案】
(1) 25 m；
(2) 不能。
【知识点】
二次函数最值、二次函数实际应用、二次函数与一元二次方程
【点评】
本题结合体育运动场景考查二次函数的实际应用，解题关键是把实际问题转化为二次函数的最值求解、解方程问题，同时要注意结合实际意义对方程的解进行筛选，整体难度较低。
【难度系数】
0.8
5.已知一个直角三角形的两直角边长之和为20 cm,则这个直角三角形的面积最大为（
A.25 cm²
B.50 cm²
C.100 cm²
D.不确定
B
）A.25 cm²
B.50 cm²
C.100 cm²
D.不确定
答案
5.B
解析
【分析】
要求直角三角形的最大面积，首先我们可以用变量表示两条直角边的长度，结合直角三角形面积公式得到面积关于边长的函数关系，再利用二次函数的性质求最大值即可。具体思路：①设其中一条直角边长为x cm，根据两直角边之和为20 cm，可得另一条直角边长为(20-x) cm，注意边长为正，所以x的取值范围是0＜x＜20；②根据直角三角形面积公式写出面积S的表达式，整理为二次函数的一般形式；③结合二次函数开口方向和顶点坐标公式，求出最大值。
【解析】
设该直角三角形的一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为(20 - x) cm，其中0 ＜ x ＜ 20。
根据直角三角形面积公式，可得面积：
$ S = \frac{1}{2}x(20 - x) $
整理为二次函数一般形式：
$ S = -\frac{1}{2}x^2 + 10x $
该二次函数的二次项系数$ a = -\frac{1}{2} ＜ 0 $，图像开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$ x = -\frac{b}{2a} $，代入a=-1/2，b=10，得：
$ x = -\frac{10}{2×(-\frac{1}{2})} = 10 $，10在0＜x＜20的取值范围内，符合实际意义。
将x=10代入面积公式，得最大面积：
$ S_{max} = \frac{1}{2} × 10 × (20 - 10) = 50\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
B
【知识点】
直角三角形面积计算，二次函数最值，二次函数实际应用
【点评】
本题是几何最值与二次函数结合的基础题型，解题核心是将几何中的面积问题转化为二次函数的最值问题，求解时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，验证最值点是否符合要求。
【难度系数】
0.7
要求直角三角形的最大面积，首先我们可以用变量表示两条直角边的长度，结合直角三角形面积公式得到面积关于边长的函数关系，再利用二次函数的性质求最大值即可。具体思路：①设其中一条直角边长为x cm，根据两直角边之和为20 cm，可得另一条直角边长为(20-x) cm，注意边长为正，所以x的取值范围是0＜x＜20；②根据直角三角形面积公式写出面积S的表达式，整理为二次函数的一般形式；③结合二次函数开口方向和顶点坐标公式，求出最大值。
【解析】
设该直角三角形的一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为(20 - x) cm，其中0 ＜ x ＜ 20。
根据直角三角形面积公式，可得面积：
$ S = \frac{1}{2}x(20 - x) $
整理为二次函数一般形式：
$ S = -\frac{1}{2}x^2 + 10x $
该二次函数的二次项系数$ a = -\frac{1}{2} ＜ 0 $，图像开口向下，存在最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$ x = -\frac{b}{2a} $，代入a=-1/2，b=10，得：
$ x = -\frac{10}{2×(-\frac{1}{2})} = 10 $，10在0＜x＜20的取值范围内，符合实际意义。
将x=10代入面积公式，得最大面积：
$ S_{max} = \frac{1}{2} × 10 × (20 - 10) = 50\ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
B
【知识点】
直角三角形面积计算，二次函数最值，二次函数实际应用
【点评】
本题是几何最值与二次函数结合的基础题型，解题核心是将几何中的面积问题转化为二次函数的最值问题，求解时要注意结合实际意义确定自变量的取值范围，验证最值点是否符合要求。
【难度系数】
0.7
6.(教材变式)如图，四边形ABCD的两条对角线互相垂直，AC+BD=16，则四边形ABCD面积的最大值是（
A.16
B.32
C.36
D.64
B
）A.16
B.32
C.36
D.64
答案
6.B
解析
【分析】
解决本题首先回忆对角线互相垂直的四边形的面积计算公式：面积等于两条对角线乘积的一半。已知两对角线的和为16，要求面积最大值，只需先将面积表示为关于其中一条对角线长度的函数，再利用二次函数的最值性质求解即可。具体思路为：①设AC的长度为x，用x表示出BD的长度；②代入面积公式得到面积关于x的二次函数；③求二次函数的最大值即为四边形面积的最大值。
【解析】
设AC=x，由AC+BD=16可得BD=16-x。
∵四边形ABCD的对角线AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积$ S=\frac{1}{2}AC· BD $，
将AC=x，BD=16-x代入得：
$ S=\frac{1}{2}x(16-x)=-\frac{1}{2}x^2+8x $，
这是一个开口向下的二次函数，其中$ a=-\frac{1}{2}＜0 $，存在最大值，
当$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2×(-\frac{1}{2})}=8 $时，S取得最大值，
将x=8代入得：$ S_{最大值}=-\frac{1}{2}×8^2+8×8=32 $。
【答案】
B
【知识点】
对角线垂直的四边形面积计算；二次函数的最值应用
【点评】
本题属于几何与代数结合的最值问题，解题的关键是熟练掌握对角线垂直的四边形面积公式，能正确列出面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，是二次函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解决本题首先回忆对角线互相垂直的四边形的面积计算公式：面积等于两条对角线乘积的一半。已知两对角线的和为16，要求面积最大值，只需先将面积表示为关于其中一条对角线长度的函数，再利用二次函数的最值性质求解即可。具体思路为：①设AC的长度为x，用x表示出BD的长度；②代入面积公式得到面积关于x的二次函数；③求二次函数的最大值即为四边形面积的最大值。
【解析】
设AC=x，由AC+BD=16可得BD=16-x。
∵四边形ABCD的对角线AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积$ S=\frac{1}{2}AC· BD $，
将AC=x，BD=16-x代入得：
$ S=\frac{1}{2}x(16-x)=-\frac{1}{2}x^2+8x $，
这是一个开口向下的二次函数，其中$ a=-\frac{1}{2}＜0 $，存在最大值，
当$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2×(-\frac{1}{2})}=8 $时，S取得最大值，
将x=8代入得：$ S_{最大值}=-\frac{1}{2}×8^2+8×8=32 $。
【答案】
B
【知识点】
对角线垂直的四边形面积计算；二次函数的最值应用
【点评】
本题属于几何与代数结合的最值问题，解题的关键是熟练掌握对角线垂直的四边形面积公式，能正确列出面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求解最值，是二次函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
7.如图，已知$□ ABCD$的周长为8 cm，$∠ B=30°$.若边$AB=x$ cm，$□ ABCD$的面积为$y$ $\mathrm{cm}^2$，则$y$的最大值为
2
.答案
7.2
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据平行四边形的周长公式，用含x的式子表示出BC的长度；再过点A作BC边上的高，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质，用含x的式子表示出高；接着根据平行四边形面积公式写出y关于x的二次函数表达式；最后结合二次函数的性质，求出y的最大值，同时验证x的取值是否符合边长为正的要求。
【解析】
解：
∵ 平行四边形ABCD的周长为8 cm，AB=x cm
∴ 2(AB+BC)=8，即AB+BC=4，可得$BC=(4-x)$ cm
过点A作AE⊥BC于点E
∵ ∠B=30°，在Rt△ABE中，30°角所对直角边等于斜边的一半
∴ $AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}x$ cm
平行四边形面积$y = BC × AE = (4-x) · \frac{1}{2}x$
整理得：$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x$
该函数是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，此处$a=-\frac{1}{2}$，$b=2$
∴ 当$x=-\frac{2}{2×(-\frac{1}{2})}=2$时，y取得最大值
将x=2代入表达式：$y=-\frac{1}{2}×2^2 +2×2=2$
此时x=2＞0，BC=4-2=2＞0，符合边长取值要求。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形的性质，含30°角直角三角形的性质，二次函数最值应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，核心是将几何图形的面积关系转化为二次函数模型，再利用二次函数性质求解最值，解题时要注意自变量的取值要符合实际几何意义。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先根据平行四边形的周长公式，用含x的式子表示出BC的长度；再过点A作BC边上的高，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质，用含x的式子表示出高；接着根据平行四边形面积公式写出y关于x的二次函数表达式；最后结合二次函数的性质，求出y的最大值，同时验证x的取值是否符合边长为正的要求。
【解析】
解：
∵ 平行四边形ABCD的周长为8 cm，AB=x cm
∴ 2(AB+BC)=8，即AB+BC=4，可得$BC=(4-x)$ cm
过点A作AE⊥BC于点E
∵ ∠B=30°，在Rt△ABE中，30°角所对直角边等于斜边的一半
∴ $AE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}x$ cm
平行四边形面积$y = BC × AE = (4-x) · \frac{1}{2}x$
整理得：$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x$
该函数是开口向下的二次函数，在顶点处取得最大值
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，此处$a=-\frac{1}{2}$，$b=2$
∴ 当$x=-\frac{2}{2×(-\frac{1}{2})}=2$时，y取得最大值
将x=2代入表达式：$y=-\frac{1}{2}×2^2 +2×2=2$
此时x=2＞0，BC=4-2=2＞0，符合边长取值要求。
【答案】
2
【知识点】
平行四边形的性质，含30°角直角三角形的性质，二次函数最值应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，核心是将几何图形的面积关系转化为二次函数模型，再利用二次函数性质求解最值，解题时要注意自变量的取值要符合实际几何意义。
【难度系数】
0.7
8. 将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形的面积之和S的最小值为
12.5
$ cm^{2}$。答案
8.12.5
【解析】设其中一段铁丝的长为$x$ cm,则另一段铁丝的长为$(20-x)$cm.做成的两个正方形的面积之和$S=(\frac{x}{4})^2+(\frac{20-x}{4})^2=\frac{1}{8}(x-10)^2+12.5$,
∴当$x=10$时,S取得最小值,最小值为12.5.
【解析】设其中一段铁丝的长为$x$ cm,则另一段铁丝的长为$(20-x)$cm.做成的两个正方形的面积之和$S=(\frac{x}{4})^2+(\frac{20-x}{4})^2=\frac{1}{8}(x-10)^2+12.5$,
∴当$x=10$时,S取得最小值,最小值为12.5.
解析
【分析】
我们可以按照“实际问题转化为函数问题→建立函数关系式→求函数最值”的思路解题：首先设其中一段铁丝的长度为未知数，用含未知数的式子表示另一段铁丝的长度；再结合正方形周长和边长的关系，得到两个正方形的边长，根据正方形面积公式写出面积之和的表达式；最后将表达式整理为二次函数的顶点式，结合二次函数的性质以及自变量的实际取值范围，即可求出面积之和的最小值。
【解析】
设其中一段铁丝的长为$x$ cm，则另一段铁丝的长为$(20-x)$ cm，其中$0＜x＜20$。
两个正方形的边长分别为$\frac{x}{4}$ cm、$\frac{20-x}{4}$ cm，因此面积之和为：
$\begin{aligned}S&=(\frac{x}{4})^2+(\frac{20-x}{4})^2\\&=\frac{x^2}{16}+\frac{400-40x+x^2}{16}\\&=\frac{2x^2-40x+400}{16}\\&=\frac{1}{8}(x-10)^2+12.5\end{aligned}$
$\because$ 二次项系数$\frac{1}{8}＞0$，函数图象开口向上，
$\therefore$ 当$x=10$（满足$0＜x＜20$）时，$S$取得最小值，最小值为$12.5\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
12.5
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；正方形周长与面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何最值问题的常规题型，解题核心是合理设未知数建立面积和的函数表达式，再结合二次函数的性质求解，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
我们可以按照“实际问题转化为函数问题→建立函数关系式→求函数最值”的思路解题：首先设其中一段铁丝的长度为未知数，用含未知数的式子表示另一段铁丝的长度；再结合正方形周长和边长的关系，得到两个正方形的边长，根据正方形面积公式写出面积之和的表达式；最后将表达式整理为二次函数的顶点式，结合二次函数的性质以及自变量的实际取值范围，即可求出面积之和的最小值。
【解析】
设其中一段铁丝的长为$x$ cm，则另一段铁丝的长为$(20-x)$ cm，其中$0＜x＜20$。
两个正方形的边长分别为$\frac{x}{4}$ cm、$\frac{20-x}{4}$ cm，因此面积之和为：
$\begin{aligned}S&=(\frac{x}{4})^2+(\frac{20-x}{4})^2\\&=\frac{x^2}{16}+\frac{400-40x+x^2}{16}\\&=\frac{2x^2-40x+400}{16}\\&=\frac{1}{8}(x-10)^2+12.5\end{aligned}$
$\because$ 二次项系数$\frac{1}{8}＞0$，函数图象开口向上，
$\therefore$ 当$x=10$（满足$0＜x＜20$）时，$S$取得最小值，最小值为$12.5\ \mathrm{cm^2}$。
【答案】
12.5
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；正方形周长与面积计算
【点评】
本题是二次函数解决几何最值问题的常规题型，解题核心是合理设未知数建立面积和的函数表达式，再结合二次函数的性质求解，解题时需注意自变量的取值要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
9.(2025—2026上饶鄱阳检测)如下图,一个矩形养鸡场,一边靠墙(墙长为a m),另外三边用长为48 m的篱笆围成.
(1)①若a=30,求养鸡场的面积的最大值;
②若a=20,求养鸡场的面积的最大值.
(2)若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为270 m²,求a的值.
(1)①若a=30,求养鸡场的面积的最大值;
②若a=20,求养鸡场的面积的最大值.
(2)若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为270 m²,求a的值.
答案
9.解:(1)设矩形养鸡场的长为$x$ m,则宽为$\frac{48-x}{2}$ m.由题意可知$x≤ a$.
设矩形养鸡场的面积为 S,则$S=x· \frac{48-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+24x=-\frac{1}{2}(x-24)^2+288$.
∵$-\frac{1}{2}＜0$,抛物线开口向下,对称轴为直线$x=24$,
∴当$0＜x≤ 24$时,S 随 x 的增大而增大;当$x＞24$时,S 随 x 的增大而减小.
①
∵$a=30,x≤ a$,即$x≤ 30$,
∴当$x=24$时,S 有最大值,最大值为$288\ \mathrm{m}^2$.
②
∵$a=20,x≤ a$,即$x≤ 20$,
∴当$x=20$时,S 有最大值,最大值为$280\ \mathrm{m}^2$.
(2)令$S=270$,得$-\frac{1}{2}(x-24)^2+288=270$,
解得$x_1=18,x_2=30$.
由$x≤ a$可知,当$x=30$时,$a≥ 30$.
由(1)知,此时矩形面积最大值在$x=24$时取得,面积最大值为$288\ \mathrm{m}^2$.
故$x=30$舍去,
∴$a=18$.
设矩形养鸡场的面积为 S,则$S=x· \frac{48-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+24x=-\frac{1}{2}(x-24)^2+288$.
∵$-\frac{1}{2}＜0$,抛物线开口向下,对称轴为直线$x=24$,
∴当$0＜x≤ 24$时,S 随 x 的增大而增大;当$x＞24$时,S 随 x 的增大而减小.
①
∵$a=30,x≤ a$,即$x≤ 30$,
∴当$x=24$时,S 有最大值,最大值为$288\ \mathrm{m}^2$.
②
∵$a=20,x≤ a$,即$x≤ 20$,
∴当$x=20$时,S 有最大值,最大值为$280\ \mathrm{m}^2$.
(2)令$S=270$,得$-\frac{1}{2}(x-24)^2+288=270$,
解得$x_1=18,x_2=30$.
由$x≤ a$可知,当$x=30$时,$a≥ 30$.
由(1)知,此时矩形面积最大值在$x=24$时取得,面积最大值为$288\ \mathrm{m}^2$.
故$x=30$舍去,
∴$a=18$.
解析
【分析】
本题考查二次函数在几何面积最值问题中的应用，解题思路如下：1. 先设与墙平行的边长为x m，用篱笆总长表示出垂直于墙的边长，进而写出面积关于x的二次函数表达式，配方得到顶点式，明确函数的开口方向、对称轴和增减性；2. 注意墙长a是自变量x的上限，即x≤a，需要结合a与对称轴x=24的大小关系，根据二次函数的增减性求最值；3. 第二问已知面积最大值时，先解方程得对应的x值，再结合最值情况判断符合条件的x，即a的值。
【解析】
设与墙平行的矩形养鸡场的长为$x$ m，则垂直于墙的宽为$\frac{48-x}{2}$ m，由题意得$x≤a$。
设矩形面积为$S$，则：
$S=x· \frac{48-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+24x=-\frac{1}{2}(x-24)^2+288$
$\because -\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=24$，
$\therefore$当$0＜x≤24$时，$S$随$x$的增大而增大；当$x＞24$时，$S$随$x$的增大而减小。
(1)①当$a=30$时，$x≤30$，
$\because 24＜30$，$\therefore$当$x=24$时，$S$取得最大值，最大值为$288\ \mathrm{m}^2$。
②当$a=20$时，$x≤20$，
$\because 20＜24$，在$x≤24$的区间内$S$随$x$增大而增大，$\therefore$当$x=20$时，$S$取得最大值，
此时$S=20×\frac{48-20}{2}=20×14=280\ \mathrm{m}^2$。
(2)令$S=270$，则$-\frac{1}{2}(x-24)^2+288=270$，
整理得$(x-24)^2=36$，解得$x_1=18$，$x_2=30$。
若$a≥24$，则面积最大值为顶点处的$288\ \mathrm{m}^2$，与题意最大值为$270\ \mathrm{m}^2$矛盾，故$a＜24$，此时最大值在$x=a$处取得，因此$x=30$不符合要求舍去，得$a=18$。
【答案】
(1)①$\boxed{288\ \mathrm{m}^2}$；②$\boxed{280\ \mathrm{m}^2}$；(2)$\boxed{a=18}$
【知识点】
二次函数的最值，二次函数的增减性，二次函数的实际应用
【点评】
本题易错点是忽略墙长对边长的限制，直接取二次函数顶点值计算最值，解题时要先明确自变量的取值范围，再结合二次函数的增减性判断最值的取值点，考查了结合实际场景分析函数问题的能力。
【难度系数】
0.6
本题考查二次函数在几何面积最值问题中的应用，解题思路如下：1. 先设与墙平行的边长为x m，用篱笆总长表示出垂直于墙的边长，进而写出面积关于x的二次函数表达式，配方得到顶点式，明确函数的开口方向、对称轴和增减性；2. 注意墙长a是自变量x的上限，即x≤a，需要结合a与对称轴x=24的大小关系，根据二次函数的增减性求最值；3. 第二问已知面积最大值时，先解方程得对应的x值，再结合最值情况判断符合条件的x，即a的值。
【解析】
设与墙平行的矩形养鸡场的长为$x$ m，则垂直于墙的宽为$\frac{48-x}{2}$ m，由题意得$x≤a$。
设矩形面积为$S$，则：
$S=x· \frac{48-x}{2}=-\frac{1}{2}x^2+24x=-\frac{1}{2}(x-24)^2+288$
$\because -\frac{1}{2}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=24$，
$\therefore$当$0＜x≤24$时，$S$随$x$的增大而增大；当$x＞24$时，$S$随$x$的增大而减小。
(1)①当$a=30$时，$x≤30$，
$\because 24＜30$，$\therefore$当$x=24$时，$S$取得最大值，最大值为$288\ \mathrm{m}^2$。
②当$a=20$时，$x≤20$，
$\because 20＜24$，在$x≤24$的区间内$S$随$x$增大而增大，$\therefore$当$x=20$时，$S$取得最大值，
此时$S=20×\frac{48-20}{2}=20×14=280\ \mathrm{m}^2$。
(2)令$S=270$，则$-\frac{1}{2}(x-24)^2+288=270$，
整理得$(x-24)^2=36$，解得$x_1=18$，$x_2=30$。
若$a≥24$，则面积最大值为顶点处的$288\ \mathrm{m}^2$，与题意最大值为$270\ \mathrm{m}^2$矛盾，故$a＜24$，此时最大值在$x=a$处取得，因此$x=30$不符合要求舍去，得$a=18$。
【答案】
(1)①$\boxed{288\ \mathrm{m}^2}$；②$\boxed{280\ \mathrm{m}^2}$；(2)$\boxed{a=18}$
【知识点】
二次函数的最值，二次函数的增减性，二次函数的实际应用
【点评】
本题易错点是忽略墙长对边长的限制，直接取二次函数顶点值计算最值，解题时要先明确自变量的取值范围，再结合二次函数的增减性判断最值的取值点，考查了结合实际场景分析函数问题的能力。
【难度系数】
0.6
