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1 [2025泗洪期中]工人师傅常借助“角尺”这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质.如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OC=OD，适当摆放角尺(图中的∠CED)，使其两边分别经过点C，D，且点C，D处的刻度相同，这时经过角尺顶点E的射线OE就是∠AOB的平分线.这里判定两个三角形全等的依据是 (
A.SAS
B.SSS
C.AAS
D.ASA
（第1题）
B
)A.SAS
B.SSS
C.AAS
D.ASA
（第1题）答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先明确要判定全等的两个三角形是△OCE和△ODE，先从题目已知条件中提取边的相等关系：首先题目明确给出OC=OD，再结合角尺的特点，C、D处刻度相同说明CE=DE，最后两个三角形有公共边OE=OE，三组对应边均相等，即可根据SSS判定两个三角形全等，进而得到对应角相等，说明OE是角平分线。
【解析】
我们需要判定△OCE和△ODE全等：
1. 由题可知，在∠AOB两边取OC=OD；
2. 角尺在C、D处刻度相同，因此CE=DE；
3. OE是△OCE和△ODE的公共边，故OE=OE。
综上，△OCE和△ODE的三组对应边分别相等，根据“三边分别相等的两个三角形全等（SSS）”，可判定△OCE≌△ODE，全等后对应角∠COE=∠DOE，因此OE是∠AOB的平分线，判定全等的依据为SSS。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形判定；SSS判定定理；公共边性质
【点评】
本题结合生活中的工具考查全等三角形的判定，解题的关键是结合题意和图形找到两个三角形三组对应边相等的关系，属于对基础知识点的考查，容易得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确要判定全等的两个三角形是△OCE和△ODE，先从题目已知条件中提取边的相等关系：首先题目明确给出OC=OD，再结合角尺的特点，C、D处刻度相同说明CE=DE，最后两个三角形有公共边OE=OE，三组对应边均相等，即可根据SSS判定两个三角形全等，进而得到对应角相等，说明OE是角平分线。
【解析】
我们需要判定△OCE和△ODE全等：
1. 由题可知，在∠AOB两边取OC=OD；
2. 角尺在C、D处刻度相同，因此CE=DE；
3. OE是△OCE和△ODE的公共边，故OE=OE。
综上，△OCE和△ODE的三组对应边分别相等，根据“三边分别相等的两个三角形全等（SSS）”，可判定△OCE≌△ODE，全等后对应角∠COE=∠DOE，因此OE是∠AOB的平分线，判定全等的依据为SSS。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形判定；SSS判定定理；公共边性质
【点评】
本题结合生活中的工具考查全等三角形的判定，解题的关键是结合题意和图形找到两个三角形三组对应边相等的关系，属于对基础知识点的考查，容易得分。
【难度系数】
0.8
2 如图,在四边形ABCD中,AB=DC,AC=DB,AC,BD相交于点O,则图中的全等三角形共有
(
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
(
B
)A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先从已知的两组边相等的条件入手，优先寻找包含公共边的三角形，用SSS判定大三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质，结合对顶角相等的条件，判定交叉形成的小三角形全等，最后统计全等三角形的对数即可。
【解析】
我们逐对找出全等三角形：
1. 证$△ ABC ≌ △ DCB$：
在$△ ABC$和$△ DCB$中，
$\begin{cases}AB = DC(\mathrm{已知}) \\AC = DB(\mathrm{已知}) \\BC = CB(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DCB(\mathrm{SSS})$。
2. 证$△ ABD ≌ △ DCA$：
在$△ ABD$和$△ DCA$中，
$\begin{cases}AB = DC(\mathrm{已知}) \\BD = CA(\mathrm{已知}) \\AD = DA(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ DCA(\mathrm{SSS})$。
3. 证$△ ABO ≌ △ DCO$：
由$△ ABD ≌ △ DCA$，可得$∠ BAO = ∠ CDO$（全等三角形对应角相等）。
在$△ ABO$和$△ DCO$中，
$\begin{cases}∠ AOB = ∠ DOC(\mathrm{对顶角相等}) \\∠ BAO = ∠ CDO(\mathrm{已证}) \\AB = DC(\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ABO ≌ △ DCO(\mathrm{AAS})$。
综上，图中共有3对全等三角形，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
SSS判定全等；AAS判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题时要按照从大到小的顺序找全等三角形，避免漏数或多数，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的两组边相等的条件入手，优先寻找包含公共边的三角形，用SSS判定大三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质，结合对顶角相等的条件，判定交叉形成的小三角形全等，最后统计全等三角形的对数即可。
【解析】
我们逐对找出全等三角形：
1. 证$△ ABC ≌ △ DCB$：
在$△ ABC$和$△ DCB$中，
$\begin{cases}AB = DC(\mathrm{已知}) \\AC = DB(\mathrm{已知}) \\BC = CB(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DCB(\mathrm{SSS})$。
2. 证$△ ABD ≌ △ DCA$：
在$△ ABD$和$△ DCA$中，
$\begin{cases}AB = DC(\mathrm{已知}) \\BD = CA(\mathrm{已知}) \\AD = DA(\mathrm{公共边})\end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ DCA(\mathrm{SSS})$。
3. 证$△ ABO ≌ △ DCO$：
由$△ ABD ≌ △ DCA$，可得$∠ BAO = ∠ CDO$（全等三角形对应角相等）。
在$△ ABO$和$△ DCO$中，
$\begin{cases}∠ AOB = ∠ DOC(\mathrm{对顶角相等}) \\∠ BAO = ∠ CDO(\mathrm{已证}) \\AB = DC(\mathrm{已知})\end{cases}$
$\therefore △ ABO ≌ △ DCO(\mathrm{AAS})$。
综上，图中共有3对全等三角形，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
SSS判定全等；AAS判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题时要按照从大到小的顺序找全等三角形，避免漏数或多数，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3 新情境 生活实际 木工师傅在做完门框后为了防止变形，常用如图所示的方法钉上两根斜拉的木条，这样做的数学依据是
三角形具有稳定性
。答案
3. 三角形具有稳定性
解析
【分析】
解题时先分析结构特征：门框原本是四边形结构，四边形具有不稳定性，容易发生形变；钉上两根斜拉木条后，木条会和门框的边共同围成三角形结构，结合三角形的特有性质即可推导出对应的数学依据。
【解析】
门框本身属于四边形结构，四边形具有不稳定性，使用过程中易变形。钉上斜拉木条后，斜拉木条与门框的边共同构成了三角形，而三角形具有稳定性，可使门框结构保持固定、不易变形，因此该做法的数学依据是三角形具有稳定性。
【答案】
三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【点评】
本题是数学知识在生活中的实际应用，解题关键是能将实际的结构转化为对应的几何图形，结合图形的基本性质分析即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时先分析结构特征：门框原本是四边形结构，四边形具有不稳定性，容易发生形变；钉上两根斜拉木条后，木条会和门框的边共同围成三角形结构，结合三角形的特有性质即可推导出对应的数学依据。
【解析】
门框本身属于四边形结构，四边形具有不稳定性，使用过程中易变形。钉上斜拉木条后，斜拉木条与门框的边共同构成了三角形，而三角形具有稳定性，可使门框结构保持固定、不易变形，因此该做法的数学依据是三角形具有稳定性。
【答案】
三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性；四边形的不稳定性
【点评】
本题是数学知识在生活中的实际应用，解题关键是能将实际的结构转化为对应的几何图形，结合图形的基本性质分析即可，难度较低。
【难度系数】
0.9
4 如图,在四边形ABCE中,AB=AC,AD=AE,BD=CE,且B,D,E三点在同一条直线上.若$∠ 1=31°,∠ 2=66°$,则$∠ 3$的大小为
35°
.答案
4. 35°
解析
【分析】
解题时先观察已知条件给出了三组边对应相等，首先利用“边边边（SSS）”判定定理证明△ABD和△ACE全等，得到对应角相等，再结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可推导求出∠3的度数。
【解析】
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\AD=AE\\BD=CE\end{array} $
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ BAD=∠ 1=31°$，$∠ ABD=∠ 3$
$\because ∠ 2$是$△ ABD$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
$\therefore ∠ 2=∠ BAD+∠ ABD$
$\therefore ∠ ABD=∠ 2-∠ BAD=66°-31°=35°$
$\therefore ∠ 3=∠ ABD=35°$
【答案】
$35°$
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是先通过已知的边相等条件证明三角形全等，将待求角转化为三角形的内角，再结合外角性质完成计算，能有效考查学生对全等判定和三角形外角性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件给出了三组边对应相等，首先利用“边边边（SSS）”判定定理证明△ABD和△ACE全等，得到对应角相等，再结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可推导求出∠3的度数。
【解析】
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC\\AD=AE\\BD=CE\end{array} $
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ BAD=∠ 1=31°$，$∠ ABD=∠ 3$
$\because ∠ 2$是$△ ABD$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
$\therefore ∠ 2=∠ BAD+∠ ABD$
$\therefore ∠ ABD=∠ 2-∠ BAD=66°-31°=35°$
$\therefore ∠ 3=∠ ABD=35°$
【答案】
$35°$
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是先通过已知的边相等条件证明三角形全等，将待求角转化为三角形的内角，再结合外角性质完成计算，能有效考查学生对全等判定和三角形外角性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
5 如图，$AB=DE$，$AC=DC$，$CE=CB$。求证：$∠ 1=∠ 2$。
答案
在△ABC 和△DEC 中，$\begin{cases} AB=DE, \\ AC=DC, \\ CB=CE, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DEC(SSS),
∴ ∠ACB = ∠DCE,
∴ ∠ACB − ∠ACE=∠DCE−∠ACE,
∴ ∠1=∠2
∴ △ABC≌△DEC(SSS),
∴ ∠ACB = ∠DCE,
∴ ∠ACB − ∠ACE=∠DCE−∠ACE,
∴ ∠1=∠2
解析
【分析】
要证明∠1=∠2，首先观察已知条件给出了三组对应边分别相等，符合“边边边（SSS）”判定三角形全等的条件，因此第一步先证明△ABC和△DEC全等，根据全等三角形的性质可得到对应角∠ACB=∠DCE，再观察这两个角都包含公共部分∠ACE，将两个角同时减去∠ACE，即可推出∠1=∠2。
【解析】
在△ABC 和△DEC 中，
$\begin{cases} AB=DE, \\ AC=DC, \\ CB=CE, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DEC(SSS),
∴ ∠ACB = ∠DCE,
∴ ∠ACB − ∠ACE=∠DCE−∠ACE,
∴ ∠1=∠2。
【答案】
∠1=∠2
【知识点】
SSS判定全等，全等三角形的性质，角的和差运算
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是从已知的三组边相等的条件出发，先证全等得到对应角相等，再通过角的和差转化即可得到待证结论，解题思路清晰，逻辑连贯。
【难度系数】
0.8
要证明∠1=∠2，首先观察已知条件给出了三组对应边分别相等，符合“边边边（SSS）”判定三角形全等的条件，因此第一步先证明△ABC和△DEC全等，根据全等三角形的性质可得到对应角∠ACB=∠DCE，再观察这两个角都包含公共部分∠ACE，将两个角同时减去∠ACE，即可推出∠1=∠2。
【解析】
在△ABC 和△DEC 中，
$\begin{cases} AB=DE, \\ AC=DC, \\ CB=CE, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DEC(SSS),
∴ ∠ACB = ∠DCE,
∴ ∠ACB − ∠ACE=∠DCE−∠ACE,
∴ ∠1=∠2。
【答案】
∠1=∠2
【知识点】
SSS判定全等，全等三角形的性质，角的和差运算
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是从已知的三组边相等的条件出发，先证全等得到对应角相等，再通过角的和差转化即可得到待证结论，解题思路清晰，逻辑连贯。
【难度系数】
0.8
6 如图,在△ACD 和△BCE 中,AD 与BE 相交于点P.若AC=BC,AD=BE,CD=CE,∠ACE=55°,∠BCD=155°,则∠BPD 的大小为 （
A.110°
B.125°
C.130°
D.155°
C
）A.110°
B.125°
C.130°
D.155°
答案
6. C
解析
【分析】
首先观察题目给出的三组边相等的条件，优先考虑用SSS判定三角形全等，得到对应角相等；再通过角的和差关系推导中间角∠ACB的度数；最后结合对顶角相等、三角形内角和与邻补角的性质，求出∠BPD的大小。
【解析】
1. 证明△ACD≌△BCE
在△ACD和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}AC=BC\\AD=BE\\CD=CE\end{array} $
∴△ACD≌△BCE（SSS）
可得∠A=∠B，∠ACD=∠BCE。
2. 计算∠ACB的度数
∵∠ACD=∠ACB+∠ACE，∠BCE=∠ACE+∠ECD，且∠ACD=∠BCE
∴∠ACB=∠ECD
已知∠BCD=∠ACB+∠ACE+∠ECD=155°，∠ACE=55°，代入得：
$2∠ ACB + 55°=155°$
解得$∠ ACB=50°$。
3. 计算∠BPD的度数
设AD交BC于点O，在△AOC和△BOP中：
∠A=∠B，∠AOC=∠BOP（对顶角相等）
根据三角形内角和为180°，可得$∠ APB=∠ ACB=50°$
∵∠APB和∠BPD互为邻补角，和为180°
∴$∠ BPD=180° - 50°=130°$
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定（SSS），全等三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形应用的典型题型，解题核心是先通过边边边判定全等得到对应角相等，再结合角的和差、三角形内角和等性质推导所求角，能够很好地考查学生对全等相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的三组边相等的条件，优先考虑用SSS判定三角形全等，得到对应角相等；再通过角的和差关系推导中间角∠ACB的度数；最后结合对顶角相等、三角形内角和与邻补角的性质，求出∠BPD的大小。
【解析】
1. 证明△ACD≌△BCE
在△ACD和△BCE中：
$\{\begin{array}{l}AC=BC\\AD=BE\\CD=CE\end{array} $
∴△ACD≌△BCE（SSS）
可得∠A=∠B，∠ACD=∠BCE。
2. 计算∠ACB的度数
∵∠ACD=∠ACB+∠ACE，∠BCE=∠ACE+∠ECD，且∠ACD=∠BCE
∴∠ACB=∠ECD
已知∠BCD=∠ACB+∠ACE+∠ECD=155°，∠ACE=55°，代入得：
$2∠ ACB + 55°=155°$
解得$∠ ACB=50°$。
3. 计算∠BPD的度数
设AD交BC于点O，在△AOC和△BOP中：
∠A=∠B，∠AOC=∠BOP（对顶角相等）
根据三角形内角和为180°，可得$∠ APB=∠ ACB=50°$
∵∠APB和∠BPD互为邻补角，和为180°
∴$∠ BPD=180° - 50°=130°$
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定（SSS），全等三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形应用的典型题型，解题核心是先通过边边边判定全等得到对应角相等，再结合角的和差、三角形内角和等性质推导所求角，能够很好地考查学生对全等相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7 (易错题) 如图, 在$△ ABC$中,$AB=AC$,$E$,$D$,$F$ 是 $BC$ 的四等分点,$AE=AF$,则图中的全等三角形共有
4
对,分别是$△ ABE≌△ ACF,△ AED≌△ AFD,△ ABD≌△ ACD,△ ABF≌△ ACE$
.答案
7. 4 $△ ABE≌△ ACF,△ AED≌△ AFD,△ ABD≌△ ACD,△ ABF≌△ ACE$
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：①$AB=AC$，②$E、D、F$是$BC$的四等分点，可得$BE=ED=DF=FC$，可进一步推出$BD=DC$、$BF=CE$等相等线段，③$AE=AF$。本题可根据全等三角形的SSS判定定理，结合公共边条件，按从小到大、不重不漏的原则逐一查找全等三角形：先找小三角形，再找组合后的大三角形，逐一验证三边是否对应相等即可。
【解析】
解：
∵$E、D、F$是$BC$的四等分点，
∴$BE=ED=DF=FC$，
∴$BD=BE+ED=DF+FC=DC$，$BF=BE+ED+DF=ED+DF+FC=CE$。
1. 判定$△ ABD≌△ ACD$：
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC(\mathrm{已知})\\BD=DC(\mathrm{已证})\\AD=AD(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴$△ ABD≌△ ACD(\mathrm{SSS})$。
2. 判定$△ ABE≌△ ACF$：
在$△ ABE$和$△ ACF$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC(\mathrm{已知})\\BE=FC(\mathrm{已证})\\AE=AF(\mathrm{已知})\end{array} $
∴$△ ABE≌△ ACF(\mathrm{SSS})$。
3. 判定$△ AED≌△ AFD$：
在$△ AED$和$△ AFD$中，
$\{\begin{array}{l}AE=AF(\mathrm{已知})\\ED=DF(\mathrm{已证})\\AD=AD(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴$△ AED≌△ AFD(\mathrm{SSS})$。
4. 判定$△ ABF≌△ ACE$：
在$△ ABF$和$△ ACE$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC(\mathrm{已知})\\BF=CE(\mathrm{已证})\\AF=AE(\mathrm{已知})\end{array} $
∴$△ ABF≌△ ACE(\mathrm{SSS})$。
综上，全等三角形共4对。
【答案】
4；$△ ABE≌△ ACF,△ AED≌△ AFD,△ ABD≌△ ACD,△ ABF≌△ ACE$
【知识点】
SSS判定全等，线段等分性质，公共边性质
【点评】
本题是全等三角形判定的常见易错题，解题的关键是先根据线段等分关系推导所有可用的相等线段，再按照顺序排查全等三角形，避免出现漏数或重复计数的问题，同时要熟练掌握SSS全等判定的应用条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理已知条件：①$AB=AC$，②$E、D、F$是$BC$的四等分点，可得$BE=ED=DF=FC$，可进一步推出$BD=DC$、$BF=CE$等相等线段，③$AE=AF$。本题可根据全等三角形的SSS判定定理，结合公共边条件，按从小到大、不重不漏的原则逐一查找全等三角形：先找小三角形，再找组合后的大三角形，逐一验证三边是否对应相等即可。
【解析】
解：
∵$E、D、F$是$BC$的四等分点，
∴$BE=ED=DF=FC$，
∴$BD=BE+ED=DF+FC=DC$，$BF=BE+ED+DF=ED+DF+FC=CE$。
1. 判定$△ ABD≌△ ACD$：
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC(\mathrm{已知})\\BD=DC(\mathrm{已证})\\AD=AD(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴$△ ABD≌△ ACD(\mathrm{SSS})$。
2. 判定$△ ABE≌△ ACF$：
在$△ ABE$和$△ ACF$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC(\mathrm{已知})\\BE=FC(\mathrm{已证})\\AE=AF(\mathrm{已知})\end{array} $
∴$△ ABE≌△ ACF(\mathrm{SSS})$。
3. 判定$△ AED≌△ AFD$：
在$△ AED$和$△ AFD$中，
$\{\begin{array}{l}AE=AF(\mathrm{已知})\\ED=DF(\mathrm{已证})\\AD=AD(\mathrm{公共边})\end{array} $
∴$△ AED≌△ AFD(\mathrm{SSS})$。
4. 判定$△ ABF≌△ ACE$：
在$△ ABF$和$△ ACE$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC(\mathrm{已知})\\BF=CE(\mathrm{已证})\\AF=AE(\mathrm{已知})\end{array} $
∴$△ ABF≌△ ACE(\mathrm{SSS})$。
综上，全等三角形共4对。
【答案】
4；$△ ABE≌△ ACF,△ AED≌△ AFD,△ ABD≌△ ACD,△ ABF≌△ ACE$
【知识点】
SSS判定全等，线段等分性质，公共边性质
【点评】
本题是全等三角形判定的常见易错题，解题的关键是先根据线段等分关系推导所有可用的相等线段，再按照顺序排查全等三角形，避免出现漏数或重复计数的问题，同时要熟练掌握SSS全等判定的应用条件。
【难度系数】
0.7
