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1[中]先化简,再求值:$-3a^2b + (4ab^2 - a^2b) - 2(2ab^2 - a^2b)$,其中$a=1,b=-1.$
答案
【解】$-3a^2b + (4ab^2 - a^2b) - 2(2ab^2 - a^2b) = -3a^2b +4ab^2 -a^2b -4ab^2 +2a^2b = -2a^2b$. 当 $a=1,b=-1$ 时,原式 $= -2 × 1 × (-1) = 2$.
2[中]先化简,再求值:$2x^2 - [ 3( -\dfrac{5}{3}x^2 + \dfrac{2}{3}xy ) - (xy - 3x^2) ] + 2xy$,其中x是最小的正整数,y是2的相反数.
答案
【解】因为 $x$ 是最小的正整数,$y$ 是 2 的相反数,所以 $x=1,y=-2$,所以 $2x^2 - [ 3( -\dfrac{5}{3}x^2 + \dfrac{2}{3}xy ) - (xy - 3x^2) ] + 2xy = 2x^2 - (-5x^2 + 2xy - xy + 3x^2) + 2xy = 2x^2 +5x^2 -2xy +xy -3x^2 +2xy = 4x^2 +xy = 4 + (-2) = 2$.
3 [2025 湖北荆门期末,中]已知 $A=2a^2+3ab-2a-1,B=-a^2+ab+2.$
(1)化简:$3A-(2A-2B);$
(2)若 $(a+5)^2+|b-2|=0$,求(1)中代数式的值.
(1)化简:$3A-(2A-2B);$
(2)若 $(a+5)^2+|b-2|=0$,求(1)中代数式的值.
答案
【解】(1) 因为 $A=2a^2+3ab-2a-1,B=-a^2+ab+2$,所以 $3A-(2A-2B) = 3A -2A +2B = A + 2B = (2a^2+3ab-2a-1) + 2(-a^2+ab+2) = 2a^2+3ab-2a-1 -2a^2 +2ab +4 = 5ab -2a +3$.
(2) 因为 $(a+5)^2 + |b-2| = 0$,所以 $a+5=0,b-2=0$,所以 $a=-5,b=2$,所以 $3A-(2A-2B) = 5ab -2a +3 = 5 × (-5) × 2 -2 × (-5) +3 = -37$.
(2) 因为 $(a+5)^2 + |b-2| = 0$,所以 $a+5=0,b-2=0$,所以 $a=-5,b=2$,所以 $3A-(2A-2B) = 5ab -2a +3 = 5 × (-5) × 2 -2 × (-5) +3 = -37$.
4[中]阅读:小颖同学善于总结反思,她发现在代数式求值问题中整体思想的运用非常广泛.如:已知$5a+3b=-4$,求代数式$2(a+b)+4(2a+b)$的值.
小颖同学提出了一种解法如下:
原式$=2a+2b+8a+4b=10a+6b=2(5a+3b)$,所以当$5a+3b=-4$时,原式$=2×(-4)=-8$.
仿照小颖同学的解题方法,解答下面的问题:
(1)若$a+b=2$,则$a+b+1=$
(2)已知$a-b=-2$,求$3(a-b)-2a+2b+5$的值;
(3)已知$a^2+2ab=-2$,$ab-b^2=-4$,求$4a^2+7ab+b^2$的值.
小颖同学提出了一种解法如下:
原式$=2a+2b+8a+4b=10a+6b=2(5a+3b)$,所以当$5a+3b=-4$时,原式$=2×(-4)=-8$.
仿照小颖同学的解题方法,解答下面的问题:
(1)若$a+b=2$,则$a+b+1=$
3
;(2)已知$a-b=-2$,求$3(a-b)-2a+2b+5$的值;
(3)已知$a^2+2ab=-2$,$ab-b^2=-4$,求$4a^2+7ab+b^2$的值.
答案
【解】(1) 因为 $a+b+1 = (a+b)+1$,所以当 $a+b=2$ 时,原式 $= 2+1=3$. 故答案为 3.
(2) 因为 $3(a-b)-2a+2b+5 = 3(a-b) -2(a-b) +5$,所以当 $a-b=-2$ 时,原式 $= 3 × (-2) -2 × (-2) +5 = -6+4+5=3$.
(3) 因为 $4a^2+7ab+b^2 = (4a^2+8ab) + (-ab +b^2) = 4(a^2+2ab) - (ab -b^2)$,所以当 $a^2+2ab=-2$,$ab-b^2=-4$ 时,原式 $= 4 × (-2) - (-4) = -8+4 = -4$.
(2) 因为 $3(a-b)-2a+2b+5 = 3(a-b) -2(a-b) +5$,所以当 $a-b=-2$ 时,原式 $= 3 × (-2) -2 × (-2) +5 = -6+4+5=3$.
(3) 因为 $4a^2+7ab+b^2 = (4a^2+8ab) + (-ab +b^2) = 4(a^2+2ab) - (ab -b^2)$,所以当 $a^2+2ab=-2$,$ab-b^2=-4$ 时,原式 $= 4 × (-2) - (-4) = -8+4 = -4$.
5[中]【阅读理解】若代数式$x^2+x+3$的值为7,求代数式$2x^2+2x-3$的值.
小明采用的方法如下:
由题意得$x^2+x+3=7$,则有$x^2+x=4$,
$2x^2+2x-3=2(x^2+x)-3=2×4-3=5$.
所以代数式$2x^2+2x-3$的值为5.
【方法运用】
(1)若代数式$x^2+x+1$的值为10,求代数式$-2x^2-2x+3$的值.
(2)当$x=2$时,代数式$ax^3+bx+4$的值为9,当$x=-2$时,求代数式$ax^3+bx+3$的值.
【拓展应用】
若$a^2-ab=26$,$ab-b^2=-16$,则代数式$a^2-2ab+b^2$的值为
小明采用的方法如下:
由题意得$x^2+x+3=7$,则有$x^2+x=4$,
$2x^2+2x-3=2(x^2+x)-3=2×4-3=5$.
所以代数式$2x^2+2x-3$的值为5.
【方法运用】
(1)若代数式$x^2+x+1$的值为10,求代数式$-2x^2-2x+3$的值.
(2)当$x=2$时,代数式$ax^3+bx+4$的值为9,当$x=-2$时,求代数式$ax^3+bx+3$的值.
【拓展应用】
若$a^2-ab=26$,$ab-b^2=-16$,则代数式$a^2-2ab+b^2$的值为
42
.答案
【解】【方法运用】(1) 由题意,得 $x^2+x+1=10$,则 $x^2+x=9$,所以 $-2x^2-2x+3 = -2(x^2+x) +3 = -2 ×9 +3 = -15$.
(2) 当 $x=2$ 时, $ax^3+bx+4=9$,所以 $8a+2b+4=9$,所以 $8a+2b=5$.
当 $x=-2$ 时, $ax^3+bx+3 = (-2)^3a -2b +3 = -8a -2b +3 = -(8a+2b) +3 = -5+3 = -2$.
【拓展应用】因为 $a^2-ab=26$,$ab-b^2=-16$,所以 $a^2-2ab+b^2 = (a^2-ab) - (ab-b^2) = 26 - (-16) = 42$. 故答案为 42.
(2) 当 $x=2$ 时, $ax^3+bx+4=9$,所以 $8a+2b+4=9$,所以 $8a+2b=5$.
当 $x=-2$ 时, $ax^3+bx+3 = (-2)^3a -2b +3 = -8a -2b +3 = -(8a+2b) +3 = -5+3 = -2$.
【拓展应用】因为 $a^2-ab=26$,$ab-b^2=-16$,所以 $a^2-2ab+b^2 = (a^2-ab) - (ab-b^2) = 26 - (-16) = 42$. 故答案为 42.
