1[2025 重庆渝中区期末,中]我们用$x_n$表示一个数列中的第$n$个数,例如:$x_1$表示第一个数,$x_2$表示第二个数,$x_3$表示第三个数,$···$.在某个数列中,若$x_1=3a-3$,$x_2=3-3b$,从第三个数开始,$x_3=x_2-x_1=(3-3b)-(3a-3)=6-3b-3a$,$x_4=x_3-x_2=6-3b-3a-(3-3b)=3-3a$,$x_5=x_4-x_3=3-3a-(6-3b-3a)=-3+3b$,$···$,下列三个说法:
①$x_7=3a-3$;②$x_2+x_{23}=0$;③$x_1+x_2+x_3+···+x_{2024}=3a-3b$,其中说法正确的有 ()

A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

【解析】$x_6 = x_5 - x_4 = (-3+3b)-(3-3a) = 3a+3b-6$,$x_7 = x_6 - x_5 = (3a+3b-6)-(-3+3b) = 3a-3$,故①正确. $x_8 = x_7 - x_6 = (3a-3)-(3a+3b-6) = 3-3b$,由上可知,$x_n$ 每 6 个一循环. 因为 $23 ÷ 6 = 3 ······ 5$,所以 $x_{23} = x_5 = -3+3b$,所以 $x_2 + x_{23} = 3-3b + (-3+3b) = 0$,故②正确. 因为 $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6 = (3a-3)+(3-3b)+(6-3b-3a)+(3-3a)+(-3+3b)+(3a+3b-6) = 0$, $2024 ÷ 6 = 337 ······ 2$,所以 $x_1+x_2+x_3+···+x_{2024} = x_1+x_2 = (3a-3)+(3-3b) = 3a-3b$,故③正确. 综上,正确的有 3 个,故选 D.

2[2026 江苏南通期中, 中]已知多项式$6x^2 - 2mxy - 2y^2 + 4xy -5x +2$化简后的结果中不含$xy$项,则代数式$-m^3 -2m -m +1 -(m^3 +m)+2m^2 +5$的值为.

【解析】$6x^2 - 2mxy - 2y^2 + 4xy -5x +2 = 6x^2 - (2m-4)xy -2y^2 -5x +2$. 因为多项式 $6x^2 - 2mxy - 2y^2 + 4xy -5x +2$ 化简后的结果中不含 $xy$ 项,所以 $2m-4=0$,解得 $m=2$. $-m^3 -2m -m +1 -(m^3 +m) + 2m^2 +5 = -2m^3 + 2m^2 -4m +6$. 当 $m=2$ 时,原式 $= -16 +8 -8 +6 = -10$.

3[2025湖南衡阳期中,中]学习代数式求值时,经常会遇到这样一类题:“代数式$ax - y + 6 + 3x -5y -1$的值与$x$的取值无关,求$a$的值”,通常的解题方法是把$x,y$看作字母,$a$看作系数,合并同类项,即原式$=(a+3)x -6y +5$.因为代数式的值与$x$的取值无关,所以含$x$项的系数为0,所以$a+3=0$,则$a=-3$.
(1)若关于$x$的多项式$(2x -3)m +2m^2 -3x$的值与$x$的取值无关,求$m$的值;
(2)7张如图(1)的小长方形,长为$a$,宽为$b$,按照图(2)的方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内,设大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)中,右上角的面积为$S_1$,左下角的面积为$S_2$,当$AB$的长变化时,$S_1 - S_2$的值始终保持不变,求$a$与$b$的等量关系.

刷素养 走向重高

【解】(1) $(2x-3)m + 2m^2 -3x = 2mx -3m + 2m^2 -3x = (2m-3)x + 2m^2 -3m$. 因为其值与 $x$ 的取值无关,所以 $2m-3=0$,解得 $m=\frac{3}{2}$.
(2) 设 $AB=x$,由题图可知 $S_1 - S_2 = (ax - 3ab) - (2bx -4ab) = (a-2b)x + ab$. 因为当 $AB$ 的长变化时, $S_1 - S_2$ 的值始终保持不变,所以 $S_1 - S_2$ 的值与 $x$ 的取值无关,所以 $a-2b=0$,所以 $a=2b$.

4 核心素养运算能力 [2026 四川遂宁期末,中]求某些整式的加减运算时,可以类比小学时列竖式的方法:只要将参加运算的整式连同字母进行降幂排列,凡缺项则留出空位或添零,然后让常数项对齐(即右对齐)即可.例如,计算$(x^3 -2x^2 -5)+(x-2x^2 -1)$时,我们可以用下列竖式计算:

所以$(x^3 -2x^2 -5)+(x-2x^2 -1)=x^3 -4x^2 +x -6$.
这种方法叫作分离系数法. 请用分离系数法计算:
(1)$(x^2 +4x -3)+(5 -4x +x^2)$;
(2)$(3y^3 -5y^2 -6)-(-y^2 -y -2 +2y^3)$.

【解】(1) $(x^2 +4x -3)+(5 -4x +x^2)$,根据题意列竖式如下：
$\begin{array}{r} 1\ +4\ -3 \\ +)\ \ 1\ -4\ +5 \\ \hline 2\ \ \ 0\ \ \ 2 \end{array}$

所以 $(x^2 +4x -3)+(5 -4x +x^2) = 2x^2 +2$.
(2) $(3y^3 -5y^2 -6)-(-y^2 -y -2 +2y^3)$,根据题意列竖式如下：
$\begin{array}{r} 3\ -5\ +0\ -6 \\ -)\ \ 2\ -1\ +1\ -2 \\ \hline 1\ -4\ +1\ -4 \end{array}$

所以 $(3y^3 -5y^2 -6)-(-y^2 -y -2 +2y^3) = y^3 -4y^2 + y -4$.