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1.(苏州二模)下列说法错误的是 （
A.三角形的三个顶点一定在同一个圆上
B.平行四边形的四个顶点一定在同一个圆上
C.矩形的四个顶点一定在同一个圆上
D.正方形的四边中点一定在同一个圆上
B
）A.三角形的三个顶点一定在同一个圆上
B.平行四边形的四个顶点一定在同一个圆上
C.矩形的四个顶点一定在同一个圆上
D.正方形的四边中点一定在同一个圆上
答案
1.B
解析
【分析】
解题核心是明确共圆的判定条件：若多个点到同一个定点的距离相等，则这些点在同一个圆上。我们结合不同几何图形的性质，逐个分析选项是否满足共圆条件即可：先回忆三角形外心的性质、平行四边形、矩形、正方形的特征，逐一验证即可找到错误说法。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：任意三角形都有外接圆，外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），外心到三角形三个顶点的距离相等，因此三角形三个顶点一定在同一个圆上，该说法正确，不符合题意。
B选项：平行四边形的对角线仅互相平分，不一定相等，因此对角线交点到四个顶点的距离不一定相等，只有对角线相等的特殊平行四边形（如矩形、正方形）的四个顶点才共圆，普通平行四边形的四个顶点不共圆，该说法错误，符合题意。
C选项：矩形的对角线相等且互相平分，对角线交点到四个顶点的距离都等于对角线长度的一半，距离相等，因此矩形四个顶点一定在同一个圆上，该说法正确，不符合题意。
D选项：正方形的四边中点到正方形对角线交点的距离都相等，因此这四个中点一定在以对角线交点为圆心的同一个圆上，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
四点共圆的判定、特殊四边形的性质、三角形外接圆
【点评】
本题属于基础几何概念题，解题关键是掌握“到定点距离相等的点在同一个圆上”的共圆判定规则，结合常见几何图形的性质判断即可，难度不高。
【难度系数】
0.8
解题核心是明确共圆的判定条件：若多个点到同一个定点的距离相等，则这些点在同一个圆上。我们结合不同几何图形的性质，逐个分析选项是否满足共圆条件即可：先回忆三角形外心的性质、平行四边形、矩形、正方形的特征，逐一验证即可找到错误说法。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：任意三角形都有外接圆，外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），外心到三角形三个顶点的距离相等，因此三角形三个顶点一定在同一个圆上，该说法正确，不符合题意。
B选项：平行四边形的对角线仅互相平分，不一定相等，因此对角线交点到四个顶点的距离不一定相等，只有对角线相等的特殊平行四边形（如矩形、正方形）的四个顶点才共圆，普通平行四边形的四个顶点不共圆，该说法错误，符合题意。
C选项：矩形的对角线相等且互相平分，对角线交点到四个顶点的距离都等于对角线长度的一半，距离相等，因此矩形四个顶点一定在同一个圆上，该说法正确，不符合题意。
D选项：正方形的四边中点到正方形对角线交点的距离都相等，因此这四个中点一定在以对角线交点为圆心的同一个圆上，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
四点共圆的判定、特殊四边形的性质、三角形外接圆
【点评】
本题属于基础几何概念题，解题关键是掌握“到定点距离相等的点在同一个圆上”的共圆判定规则，结合常见几何图形的性质判断即可，难度不高。
【难度系数】
0.8
2.已知线段AB，且AB＜6，则经过A，B两点且半径为3的圆有 （
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
2.C
解析
【分析】
要确定经过A、B两点且半径为3的圆的个数，核心是确定符合条件的圆心的个数：① 过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离相等，因此圆心一定在线段AB的垂直平分线上；② 半径为3，因此圆心到A点的距离必须等于3。我们只需要判断AB的垂直平分线上到A点距离为3的点有几个，就能得到对应圆的个数，结合AB＜6的条件，可通过直角三角形的边长关系判断符合要求的点的数量。
【解析】
设经过A、B两点的圆的圆心为点O，取AB的中点为M。
1. 由OA=OB（同圆半径相等），根据线段垂直平分线的性质逆定理，可知点O在线段AB的垂直平分线上。
2. 已知圆的半径为3，因此OA=3。
3. 因为AB＜6，所以$AM=\frac{1}{2}AB ＜ 3$。在$Rt△ OMA$中，由勾股定理得：$OM=\sqrt{OA^2 - AM^2}=\sqrt{9 - AM^2}$，由于AM＜3，因此OM为正实数，且满足条件的点O有2个，分别位于线段AB的两侧。
因此符合条件的圆共有2个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题解题的关键是明确过两点的圆的圆心轨迹是两点连线的垂直平分线，再结合半径要求转化为求垂直平分线上到定点距离为定值的点的个数，考查了几何轨迹的基本应用，做题时要注意区分AB长度不同时对应的圆的个数差异。
【难度系数】
0.7
要确定经过A、B两点且半径为3的圆的个数，核心是确定符合条件的圆心的个数：① 过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离相等，因此圆心一定在线段AB的垂直平分线上；② 半径为3，因此圆心到A点的距离必须等于3。我们只需要判断AB的垂直平分线上到A点距离为3的点有几个，就能得到对应圆的个数，结合AB＜6的条件，可通过直角三角形的边长关系判断符合要求的点的数量。
【解析】
设经过A、B两点的圆的圆心为点O，取AB的中点为M。
1. 由OA=OB（同圆半径相等），根据线段垂直平分线的性质逆定理，可知点O在线段AB的垂直平分线上。
2. 已知圆的半径为3，因此OA=3。
3. 因为AB＜6，所以$AM=\frac{1}{2}AB ＜ 3$。在$Rt△ OMA$中，由勾股定理得：$OM=\sqrt{OA^2 - AM^2}=\sqrt{9 - AM^2}$，由于AM＜3，因此OM为正实数，且满足条件的点O有2个，分别位于线段AB的两侧。
因此符合条件的圆共有2个，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题解题的关键是明确过两点的圆的圆心轨迹是两点连线的垂直平分线，再结合半径要求转化为求垂直平分线上到定点距离为定值的点的个数，考查了几何轨迹的基本应用，做题时要注意区分AB长度不同时对应的圆的个数差异。
【难度系数】
0.7
3.(1)已知$AB=4\ \mathrm{cm}$，经过$A$，$B$两点作圆，则所作的圆的半径最小是
(2)在同一平面内，过已知$A$，$B$，$C$三个点可以作圆的个数为
2
$\mathrm{cm}$。(2)在同一平面内，过已知$A$，$B$，$C$三个点可以作圆的个数为
0或1
。答案
3.(1)2 (2)0或1
解析
【分析】
(1) 思考过A、B两点作圆的圆心位置：所有过A、B的圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上，圆的半径为圆心到A（或B）的距离。要使半径最小，即求垂直平分线上的点到A的最短距离，根据垂线段最短，当圆心为AB中点时，距离最小，半径即为AB长度的一半。
(2) 思考过三个点作圆的情况，需分类讨论：①若三点共线，不存在到三个点距离相等的点，无法作圆；②若三点不共线，根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，可作1个圆，综上即可得到结果。
【解析】
(1) 过A、B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，圆的半径等于圆心到点A的距离。根据垂线段最短的性质，当圆心为线段AB的中点时，圆心到A的距离最小，此时半径$r=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当A、B、C三点在同一条直线上时，不存在同时到三个点距离相等的点，因此不能作圆，即作圆的个数为0；
② 当A、B、C三点不在同一条直线上时，根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，此时可以作1个圆。
综上，过A、B、C三个点可以作圆的个数为0或1。
【答案】
(1)2；(2)0或1
【知识点】
确定圆的条件，线段垂直平分线性质，分类讨论思想
【点评】
本题考查确定圆的条件的应用，第一问需要结合圆心轨迹和垂线段最短的性质求解最小半径，第二问要注意对三点是否共线进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.8
(1) 思考过A、B两点作圆的圆心位置：所有过A、B的圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上，圆的半径为圆心到A（或B）的距离。要使半径最小，即求垂直平分线上的点到A的最短距离，根据垂线段最短，当圆心为AB中点时，距离最小，半径即为AB长度的一半。
(2) 思考过三个点作圆的情况，需分类讨论：①若三点共线，不存在到三个点距离相等的点，无法作圆；②若三点不共线，根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，可作1个圆，综上即可得到结果。
【解析】
(1) 过A、B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，圆的半径等于圆心到点A的距离。根据垂线段最短的性质，当圆心为线段AB的中点时，圆心到A的距离最小，此时半径$r=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当A、B、C三点在同一条直线上时，不存在同时到三个点距离相等的点，因此不能作圆，即作圆的个数为0；
② 当A、B、C三点不在同一条直线上时，根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，此时可以作1个圆。
综上，过A、B、C三个点可以作圆的个数为0或1。
【答案】
(1)2；(2)0或1
【知识点】
确定圆的条件，线段垂直平分线性质，分类讨论思想
【点评】
本题考查确定圆的条件的应用，第一问需要结合圆心轨迹和垂线段最短的性质求解最小半径，第二问要注意对三点是否共线进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.8
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，则这个三角形的外接圆的半径为
2.5
。答案
4.2.5
解析
【分析】
首先明确三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，对于直角三角形而言，斜边的中点到三个顶点的距离相等，因此直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度。解题时先利用勾股定理计算出斜边的长度，再将斜边长除以2即可得到外接圆的半径。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得斜边长$AB$为：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
因为直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，所以该三角形外接圆的半径为：
$R=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
勾股定理；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握直角三角形外接圆的直径等于斜边长这一性质，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先明确三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，对于直角三角形而言，斜边的中点到三个顶点的距离相等，因此直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度。解题时先利用勾股定理计算出斜边的长度，再将斜边长除以2即可得到外接圆的半径。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得斜边长$AB$为：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
因为直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，所以该三角形外接圆的半径为：
$R=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}=2.5$
【答案】
2.5
【知识点】
勾股定理；直角三角形外接圆性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握直角三角形外接圆的直径等于斜边长这一性质，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图,将图中的破损圆形轮子复原,已知弧上三点A,B,C.
(1)画出该轮子的圆心;
(2)若$△ ABC$是等腰三角形,底边$BC=16\ \mathrm{cm}$,腰$AB=10\ \mathrm{cm}$,求该轮子的半径.
(1)画出该轮子的圆心;
(2)若$△ ABC$是等腰三角形,底边$BC=16\ \mathrm{cm}$,腰$AB=10\ \mathrm{cm}$,求该轮子的半径.
答案
5.解:(1)如答图所示,分别作弦AB和AC的垂直平分线,它们的交点O即为所求的圆心.
(2)如答图,连接AO,OB,OA交BC于点D.
∵BC=16 cm,
∴BD=8 cm.
∵AB=10 cm,
∴AD=6 cm.
设该轮子的半径为R cm,则OD=(R-6)cm.
在Rt△BOD中,$R^2=8^2+(R-6)^2$,解得$R=\frac{25}{3}$.
∴该轮子的半径为$\frac{25}{3}$ cm.
解析
【分析】
(1) 要确定破损圆的圆心，依据“不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三角形外接圆的外心，为三边垂直平分线的交点”，只需作出弦AB、AC的垂直平分线，两条线的交点就是所求圆心。
(2) 求半径时，结合等腰三角形三线合一的性质和垂径定理，可得出OA垂直平分BC，先计算出BD、AD的长度，再设半径为R，用R表示OD的长度，最后在Rt△BOD中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 分别作弦AB和AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为所求的圆心，如答图所示。
(2) 连接AO、OB，设OA交BC于点D。
∵△ABC是等腰三角形，底边BC=16 cm，OA是圆的半径，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=8 cm，且AD⊥BC。
在Rt△ABD中，AB=10 cm，BD=8 cm，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$ cm。
设该轮子的半径为R cm，则OB=R cm，OD=(R-6) cm。
在Rt△BOD中，由勾股定理得$OB^2=BD^2+OD^2$，
即$R^2=8^2+(R-6)^2$，
展开整理得12R=100，
解得$R=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1) 圆心O的画法如答图所示；
(2) 该轮子的半径为$\frac{25}{3}$ cm。
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题结合破损圆复原的实际场景，考查了三角形外心的确定方法，以及利用垂径定理和勾股定理求解圆半径的能力，解题时可通过方程思想求解未知量，属于圆的性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定破损圆的圆心，依据“不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三角形外接圆的外心，为三边垂直平分线的交点”，只需作出弦AB、AC的垂直平分线，两条线的交点就是所求圆心。
(2) 求半径时，结合等腰三角形三线合一的性质和垂径定理，可得出OA垂直平分BC，先计算出BD、AD的长度，再设半径为R，用R表示OD的长度，最后在Rt△BOD中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 分别作弦AB和AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点O即为所求的圆心，如答图所示
。(2) 连接AO、OB，设OA交BC于点D。
∵△ABC是等腰三角形，底边BC=16 cm，OA是圆的半径，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=8 cm，且AD⊥BC。
在Rt△ABD中，AB=10 cm，BD=8 cm，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$ cm。
设该轮子的半径为R cm，则OB=R cm，OD=(R-6) cm。
在Rt△BOD中，由勾股定理得$OB^2=BD^2+OD^2$，
即$R^2=8^2+(R-6)^2$，
展开整理得12R=100，
解得$R=\frac{25}{3}$。
【答案】
(1) 圆心O的画法如答图所示
；(2) 该轮子的半径为$\frac{25}{3}$ cm。
【知识点】
确定圆的条件；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题结合破损圆复原的实际场景，考查了三角形外心的确定方法，以及利用垂径定理和勾股定理求解圆半径的能力，解题时可通过方程思想求解未知量，属于圆的性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图,点A,O在网格中小正方形的顶点处,每个小正方形的边长为1,在此网格中找两个格点(即小正方形的顶点)B,C,使点O为△ABC的外心,则BC的长度是 (
A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.4
D.$\sqrt{17}$
A
)A.$3\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.4
D.$\sqrt{17}$
答案
6.A
解析
【分析】
首先回忆三角形外心的性质：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等。解题时第一步先计算点O到点A的距离，得到外心到顶点的距离长度；第二步根据这个长度，在网格中找到所有到点O距离等于该长度的格点；第三步从这些格点中任选两个计算距离，匹配选项即可得到答案。
【解析】
已知每个小正方形的边长为1，先计算OA的长度：
由网格可得，点O与点A的水平距离为1，竖直距离为4，根据勾股定理：
$OA=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$
∵点O是△ABC的外心，
∴$OB=OC=OA=\sqrt{17}$
接下来找网格中到点O的距离为$\sqrt{17}$的格点：设格点到O的水平距离为a，竖直距离为b，则满足$a^2+b^2=17$，整数解为$\begin{cases}a=\pm1\\b=\pm4\end{cases}$或$\begin{cases}a=\pm4\\b=\pm1\end{cases}$，即所有符合条件的格点都是到O水平差1竖直差4、或者水平差4竖直差1的点。
选取其中两个符合要求的格点计算距离：两点的水平差为3，竖直差为3，则$BC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形外心的性质，勾股定理，网格线段长度计算
【点评】
本题解题核心是利用外心到三角形三个顶点距离相等的性质，确定点B、C到点O的距离与OA相等，再结合勾股定理找到符合要求的格点并计算线段长度，考查了数形结合的思想，需要一定的观察和计算能力。
【难度系数】
0.6
首先回忆三角形外心的性质：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等。解题时第一步先计算点O到点A的距离，得到外心到顶点的距离长度；第二步根据这个长度，在网格中找到所有到点O距离等于该长度的格点；第三步从这些格点中任选两个计算距离，匹配选项即可得到答案。
【解析】
已知每个小正方形的边长为1，先计算OA的长度：
由网格可得，点O与点A的水平距离为1，竖直距离为4，根据勾股定理：
$OA=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$
∵点O是△ABC的外心，
∴$OB=OC=OA=\sqrt{17}$
接下来找网格中到点O的距离为$\sqrt{17}$的格点：设格点到O的水平距离为a，竖直距离为b，则满足$a^2+b^2=17$，整数解为$\begin{cases}a=\pm1\\b=\pm4\end{cases}$或$\begin{cases}a=\pm4\\b=\pm1\end{cases}$，即所有符合条件的格点都是到O水平差1竖直差4、或者水平差4竖直差1的点。
选取其中两个符合要求的格点计算距离：两点的水平差为3，竖直差为3，则$BC=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
三角形外心的性质，勾股定理，网格线段长度计算
【点评】
本题解题核心是利用外心到三角形三个顶点距离相等的性质，确定点B、C到点O的距离与OA相等，再结合勾股定理找到符合要求的格点并计算线段长度，考查了数形结合的思想，需要一定的观察和计算能力。
【难度系数】
0.6
7.如图，在平面直角坐标系中，经过A(1,1),B(5,1),C(7,-1)的圆弧所在圆的圆心M的坐标为
(3,-3)
.答案
7.(3,-3)
解析
【分析】
要确定圆弧所在圆的圆心坐标，根据圆心的性质：圆心到圆上任意三点的距离相等，且弦的垂直平分线经过圆心。首先观察A、B两点纵坐标相同，可知AB是水平线段，先求出AB的垂直平分线，即可确定圆心的横坐标，再设出圆心坐标，利用圆心到A、C两点距离相等列方程求解纵坐标即可。
【解析】
∵ 点A(1,1)，B(5,1)的纵坐标相同，
∴ 线段AB是水平线段，AB的垂直平分线为直线$x=\frac{1+5}{2}=3$，
∴ 圆心M的横坐标为3，设M的坐标为$(3,m)$。
根据圆心到圆上各点距离相等，可得$MA=MC$，由两点间距离公式：
$\sqrt{(3-1)^2+(m-1)^2}=\sqrt{(3-7)^2+(m+1)^2}$
两边同时平方得：
$(3-1)^2+(m-1)^2=(3-7)^2+(m+1)^2$
展开计算：
$4+m^2-2m+1=16+m^2+2m+1$
化简得：
$-2m+5=2m+17$
移项解得：$m=-3$
∴ 圆心M的坐标为$(3,-3)$。
【答案】
$(3,-3)$
【知识点】
1. 圆心的性质
2. 垂直平分线性质
3. 两点间距离公式
【点评】
本题是确定圆心的典型题目，解题关键是利用弦的垂直平分线过圆心的性质先缩小圆心坐标的范围，再结合距离相等列方程求解，能有效考查对圆的基础性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.6
要确定圆弧所在圆的圆心坐标，根据圆心的性质：圆心到圆上任意三点的距离相等，且弦的垂直平分线经过圆心。首先观察A、B两点纵坐标相同，可知AB是水平线段，先求出AB的垂直平分线，即可确定圆心的横坐标，再设出圆心坐标，利用圆心到A、C两点距离相等列方程求解纵坐标即可。
【解析】
∵ 点A(1,1)，B(5,1)的纵坐标相同，
∴ 线段AB是水平线段，AB的垂直平分线为直线$x=\frac{1+5}{2}=3$，
∴ 圆心M的横坐标为3，设M的坐标为$(3,m)$。
根据圆心到圆上各点距离相等，可得$MA=MC$，由两点间距离公式：
$\sqrt{(3-1)^2+(m-1)^2}=\sqrt{(3-7)^2+(m+1)^2}$
两边同时平方得：
$(3-1)^2+(m-1)^2=(3-7)^2+(m+1)^2$
展开计算：
$4+m^2-2m+1=16+m^2+2m+1$
化简得：
$-2m+5=2m+17$
移项解得：$m=-3$
∴ 圆心M的坐标为$(3,-3)$。
【答案】
$(3,-3)$
【知识点】
1. 圆心的性质
2. 垂直平分线性质
3. 两点间距离公式
【点评】
本题是确定圆心的典型题目，解题关键是利用弦的垂直平分线过圆心的性质先缩小圆心坐标的范围，再结合距离相等列方程求解，能有效考查对圆的基础性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.6
