7.已知正方形ABCD的边长为12,点E在边AD上,点F在边DC的延长线上,且AE=CF.

(1)如图1,分别连接BE,BF,EF,则△BEF的形状是;
(2)如图2,连接EF交对角线AC于点M,若AE=4,求DM的长;
(3)如图3,若点G,H分别在AB,CD上,且$GH=4\sqrt{10},$连接EF交GH于点O,当EF与GH的夹角为45°时,求AE的长.

解：
(1) 在正方形ABCD中，AB=BC，∠A=∠BCF=90°，
又AE=CF，∴△ABE≌△CBF(SAS)，
∴BE=BF，∠ABE=∠CBF，
∴∠EBF=∠EBC+∠CBF=∠EBC+∠ABE=∠ABC=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形。
(2) 过点E作EN//DF，交AC于点N。
∵正方形ABCD中，∠EAN=45°，∠AEN=∠D=90°，
∴△AEN为等腰直角三角形，∴AE=EN。
又AE=CF，∴EN=CF。
∵EN//DF，∴∠NEM=∠CFM，∠ENM=∠FCM，
∴△ENM≌△FCM(AAS)，∴EM=FM，即M是EF的中点。
在Rt△EDF中，∠EDF=90°，AE=4，ED=AD-AE=12-4=8，
DF=DC+CF=12+4=16，
由直角三角形斜边中线性质得：
$DM=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}\sqrt{ED^2+DF^2}=\frac{1}{2}\sqrt{8^2+16^2}=4\sqrt{5}$。
(3) 将线段GH沿水平方向向左平移，使点G与点A重合，得到线段AP，点P落在CD边上，
则AP=GH=$4\sqrt{10}$，且AP//GH。
在Rt△ADP中，$DP=\sqrt{AP^2-AD^2}=\sqrt{(4\sqrt{10})^2-12^2}=\sqrt{160-144}=4$。
由(1)知△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=45°，
∵EF与GH的夹角为45°，∴EF与AP的夹角也为45°，可得EF//AP，
∴∠DEF=∠DAP，
∴$\tan∠DEF=\tan∠DAP=\frac{DP}{AD}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
过点F作FQ⊥AD，交AD的延长线于点Q，则FQ=12，EQ=ED+DQ=(12-AE)+CF=12-AE+AE=12？不对，FQ⊥AD，FQ=CD=12，EQ=ED+DQ=(12-AE)+CF=12，不对，$\tan∠QEF=\frac{FQ}{EQ}=\frac{12}{12 - AE + CF}=\frac{12}{12 - AE + AE}=1$不对，重新由EF//AP，得斜率关系：
设AE=x，E(x,0)，F(12,12+x)，A(0,0)，P(12,4)，
EF的斜率$k_{EF}=\frac{12+x-0}{12-x}$，AP的斜率$k_{AP}=\frac{4-0}{12-0}=\frac{1}{3}$，
由两直线夹角为45°，得$\tan45°=\left|\frac{k_{EF}-k_{AP}}{1+k_{EF}· k_{AP}}\right|=1$，
代入化简得：$\left|\frac{12+x}{12-x}-\frac{1}{3}\right|=\left|1+\frac{12+x}{3(12-x)}\right|$，
解得x=4（舍去负根和大于12的根）。
答：AE的长为4。

如图,将一张正方形纸片剪成4个小正方形,称为第一次操作;然后,取其中的一个正方形,再将其剪成4个小正方形,共得到7个小正方形,称为第二次操作;再取其中的一个正方形,将其剪成4个小正方形,共得到10个小正方形,称为第三次操作……

请同学们想一想,如果按照这样剪下去,操作100次可以得到多少个正方形?能不能经过一定次数的操作恰好得到2025个正方形?

解：
由题意可得：
第1次操作后正方形个数为：$4 = 3×1 + 1$
第2次操作后正方形个数为：$7 = 3×2 + 1$
第3次操作后正方形个数为：$10 = 3×3 + 1$
由此归纳得：操作$n$次后，得到的正方形总数为$3n+1$。
当$n=100$时，正方形总数为：
$3×100 + 1 = 301$
假设经过$k$次操作可以恰好得到2025个正方形，列方程得：
$3k + 1 = 2025$
解得：$k=\frac{2024}{3}$
因为操作次数$k$必须是正整数，$\frac{2024}{3}$不是正整数，因此不存在符合要求的操作次数。
答：操作100次可以得到301个正方形，不能经过一定次数的操作恰好得到2025个正方形。