1.菱形具有而矩形不一定具有的性质是 （）

A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.邻边互相垂直
D.对角线互相垂直

D

根据菱形和矩形的性质逐一判断：
1. 对角线互相平分是平行四边形的共有性质，菱形和矩形都具备该性质，排除A；
2. 对角线相等是矩形的性质，菱形不一定具备该性质，排除B；
3. 邻边互相垂直是矩形的性质，菱形不一定具备该性质，排除C；
4. 对角线互相垂直是菱形的性质，普通矩形的对角线不垂直，即矩形不一定具备该性质，符合题意。

2. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且$DE=CF$，连接AE，DF，DG平分$∠ ADF$交AB于点G，若$∠ AED=2α$，则$∠ AGD$的度数为 （）

A.$90-α$
B.$90+α$
C.$90+2α$
D.$90-2α$

A

1. 四边形ABCD是正方形，因此$AD=CD$，$∠ ADE=∠ DCF=90°$，$∠ GAD=90°$。
2. 已知$DE=CF$，可证$△ ADE ≌ △ DCF$（SAS），得$∠ DAE=∠ CDF$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ AED=2α$，因此$∠ DAE=90°-2α$，即$∠ CDF=90°-2α$。
4. 计算得$∠ ADF=∠ ADC-∠ CDF=90°-(90°-2α)=2α$。
5. 因为DG平分$∠ ADF$，所以$∠ ADG=\frac{1}{2}∠ ADF=α$。
6. 在$\mathrm{Rt}△ ADG$中，两锐角互余，因此$∠ AGD=90°-∠ ADG=90°-α$。

3.如图，P是矩形ABCD的对角线上一动点，过点P作AC的垂线，分别交边AD，BC于点E，F，连接CE，AF.则下列结论不成立的是 （）

A.四边形AFCE的面积是定值
B.$ AE+CF $ 的值不变
C.$ CE+AF $ 的值不变
D.$ AE^2+CF^2=AF^2+CE^2 $

C

1. 由矩形ABCD性质得AD//BC，∠D=∠B=90°，AD=BC，AB=CD。
2. 可证△AEP∽△ACD，△CFP∽△CAB，推导得$AE = \frac{AC· AP}{AD}$，$CF=\frac{AC· CP}{BC}$，结合BC=AD，得$AE+CF = \frac{AC(AP+CP)}{AD} = \frac{AC^2}{AD}$，AC、AD均为定值，故$AE+CF$的值不变，B成立。
3. 四边形AFCE中AE//CF，属于梯形，其面积$S = \frac{1}{2}·(AE+CF)· AB$，$AE+CF$、AB均为定值，故四边形AFCE面积是定值，A成立。
4. 由EF⊥AC，得$AE^2 - AP^2 = EP^2$，$CE^2 - CP^2 = EP^2$，即$AE^2 - CE^2 = AP^2 - CP^2$；同理$CF^2 - AF^2 = CP^2 - AP^2$，两式相加化简得$AE^2+CF^2=AF^2+CE^2$，D成立。
5. 设AE为变量，由$CE^2=(AD-AE)^2+CD^2$，$AF^2=AB^2+(BC-CF)^2$，结合$AE+CF$为定值，可知CE、AF均随P的位置变化而变化，故$CE+AF$的值不是定值，C不成立。

4.如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F，G，GF=3，则AE=。

解：连接CE。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC，∠ABE=∠CBE=45°。
在△ABE和△CBE中，
$\{\begin{array}{l}AB=BC \\∠ABE=∠CBE \\BE=BE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CBE（SAS），
∴ AE=CE。
∵ EF⊥BC，EG⊥CD，∠C=90°，
∴ 四边形EFCG是矩形，
∴ GF=CE。
∵ GF=3，
∴ AE=3。

5.如图,在菱形ABCD中,AB=13,AC=24,过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,则线段CE的长为.

$\boldsymbol{\frac{120}{13}}$

解：连接BD，交AC于点O。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD，OA = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2} × 24 = 12$。
在Rt△AOB中，AB=13，OA=12，
由勾股定理得：$OB = \sqrt{AB^2 - OA^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$，
∴ BD = 2OB = 10。
∵ 菱形ABCD的面积可表示为$\frac{1}{2} × AC × BD$，也可表示为$AB × CE$，
∴ $\frac{1}{2} × 24 × 10 = 13 × CE$，
解得 $CE = \frac{120}{13}$。
最终

6. 将两张完全相同的矩形纸片ABCD，FBED按如图方式放置，BD为重合的对角线，重叠部分为四边形DHBG.
（1）试判断四边形DHBG为何种特殊的四边形，并说明理由；
（2）若AB=8，AD=4，求四边形DHBG的面积.

解：(1) 四边形DHBG是菱形，理由如下：
∵ 四边形ABCD、FBED都是矩形，
∴ AB//CD，DE//BF，即DH//BG，HB//DG，
∴ 四边形DHBG是平行四边形。
∵ 两张矩形纸片完全相同，
∴ AD = FB，∠A = ∠F = 90°，
又∵ ∠AHD = ∠FHB，
∴ △AHD ≌ △FHB（AAS），
∴ DH = BH，
∴ 平行四边形DHBG是菱形。
(2) 设DH = BH = x，
∵ AB = 8，
∴ AH = AB - BH = 8 - x，
在Rt△ADH中，∠A = 90°，由勾股定理得：
AD² + AH² = DH²，
代入AD=4得：
4² + (8 - x)² = x²，
整理得80 - 16x = 0，
解得x = 5，即BH = 5，
菱形DHBG的面积S = BH · AD = 5×4 = 20。
答：四边形DHBG的面积为20。