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1.小华利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入 1 2 3 4 5 …
输出 $\frac{1}{2}$ $\frac{2}{5}$
$\frac{4}{17}$ $\frac{5}{26}$ …
当输入的数据是8时，输出的数据是
（
A.$\frac{8}{61}$
B.$\frac{8}{63}$
C.$\frac{8}{65}$
D.$\frac{8}{67}$
输入 1 2 3 4 5 …
输出 $\frac{1}{2}$ $\frac{2}{5}$
$\frac{4}{17}$ $\frac{5}{26}$ …当输入的数据是8时，输出的数据是
（
C
）A.$\frac{8}{61}$
B.$\frac{8}{63}$
C.$\frac{8}{65}$
D.$\frac{8}{67}$
答案
1.C
解析
【分析】
首先分别观察输出数据的分子、分母与输入数据的对应关系，分步找规律：第一步看分子，输入1对应分子1，输入2对应分子2，可发现分子与输入的数完全相等；第二步看分母，输入1时分母为2=1²+1，输入2时分母为5=2²+1，输入3时分母为10=3²+1，逐一验证所有给出的数据，可得出分母为输入数的平方加1。最后将输入值8代入找到的规律，即可算出输出结果。
【解析】
设输入的正整数为$n$，我们推导输出数据的规律：
1. 分子规律：对比输入值和对应输出的分子，可得输入$n$时，输出的分子为$n$；
2. 分母规律：
当$n=1$时，分母$2=1^2+1$；
当$n=2$时，分母$5=2^2+1$；
当$n=3$时，分母$10=3^2+1$；
当$n=4$时，分母$17=4^2+1$；
当$n=5$时，分母$26=5^2+1$；
所有数据均符合规律，即输入$n$时，输出的分母为$n^2+1$。
因此输入$n$时，输出的数据为$\frac{n}{n^2+1}$。
当输入$n=8$时，代入得：$\frac{8}{8^2+1}=\frac{8}{64+1}=\frac{8}{65}$。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，解题的核心是将输出的分数拆分为分子、分母两部分，分别寻找和输入值的对应关系，找到规律后要先验证是否符合所有已知数据，再代入计算，避免出现规律错误。
【难度系数】
0.7
首先分别观察输出数据的分子、分母与输入数据的对应关系，分步找规律：第一步看分子，输入1对应分子1，输入2对应分子2，可发现分子与输入的数完全相等；第二步看分母，输入1时分母为2=1²+1，输入2时分母为5=2²+1，输入3时分母为10=3²+1，逐一验证所有给出的数据，可得出分母为输入数的平方加1。最后将输入值8代入找到的规律，即可算出输出结果。
【解析】
设输入的正整数为$n$，我们推导输出数据的规律：
1. 分子规律：对比输入值和对应输出的分子，可得输入$n$时，输出的分子为$n$；
2. 分母规律：
当$n=1$时，分母$2=1^2+1$；
当$n=2$时，分母$5=2^2+1$；
当$n=3$时，分母$10=3^2+1$；
当$n=4$时，分母$17=4^2+1$；
当$n=5$时，分母$26=5^2+1$；
所有数据均符合规律，即输入$n$时，输出的分母为$n^2+1$。
因此输入$n$时，输出的数据为$\frac{n}{n^2+1}$。
当输入$n=8$时，代入得：$\frac{8}{8^2+1}=\frac{8}{64+1}=\frac{8}{65}$。
【答案】
C
【知识点】
数字规律探究
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，解题的核心是将输出的分数拆分为分子、分母两部分，分别寻找和输入值的对应关系，找到规律后要先验证是否符合所有已知数据，再代入计算，避免出现规律错误。
【难度系数】
0.7
2.一个长方形的周长为 12 cm,一边长为x cm,则它的邻边长 y(cm)关于x(cm)的函数关系用图象表示为 (
D
) 答案
2.D
解析
【分析】
首先利用长方形周长公式推导y与x的函数关系式，再结合“边长为正数”的实际意义确定自变量x的取值范围，最后根据函数式的截距和端点特征匹配对应图像。第一步：由周长公式$2(x+y)=12$化简得到$y=-x+6$；第二步：根据$x＞0$且$y＞0$，解得$0＜x＜6$，因此函数图像端点为空心；第三步：观察选项，只有y轴截距为6、x轴截距为6且端点为空心的图像符合要求。
【解析】
1. 推导函数关系式：根据长方形周长公式$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，代入已知条件得$2(x+y)=12$，整理得$y = -x + 6$。
2. 确定自变量取值范围：长方形边长必须为正数，因此$x＞0$，且邻边长$y=-x+6＞0$，解得$0＜x＜6$。
3. 匹配图像：函数$y=-x+6$的图像是斜率为-1的直线，结合$0＜x＜6$的取值范围，图像为第一象限内连接$(0,6)$和$(6,0)$的线段，且两个端点取不到，需用空心圆圈表示，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的实际应用；自变量取值范围；一次函数图像
【点评】
本题是一次函数与几何实际结合的基础题，解题关键是先推导正确的函数表达式，再结合实际意义确定自变量的取值范围，注意端点是否可取是此类题的易错点，避免忽略实际限制误选实心端点或截距错误的选项。
【难度系数】
0.7
首先利用长方形周长公式推导y与x的函数关系式，再结合“边长为正数”的实际意义确定自变量x的取值范围，最后根据函数式的截距和端点特征匹配对应图像。第一步：由周长公式$2(x+y)=12$化简得到$y=-x+6$；第二步：根据$x＞0$且$y＞0$，解得$0＜x＜6$，因此函数图像端点为空心；第三步：观察选项，只有y轴截距为6、x轴截距为6且端点为空心的图像符合要求。
【解析】
1. 推导函数关系式：根据长方形周长公式$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，代入已知条件得$2(x+y)=12$，整理得$y = -x + 6$。
2. 确定自变量取值范围：长方形边长必须为正数，因此$x＞0$，且邻边长$y=-x+6＞0$，解得$0＜x＜6$。
3. 匹配图像：函数$y=-x+6$的图像是斜率为-1的直线，结合$0＜x＜6$的取值范围，图像为第一象限内连接$(0,6)$和$(6,0)$的线段，且两个端点取不到，需用空心圆圈表示，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的实际应用；自变量取值范围；一次函数图像
【点评】
本题是一次函数与几何实际结合的基础题，解题关键是先推导正确的函数表达式，再结合实际意义确定自变量的取值范围，注意端点是否可取是此类题的易错点，避免忽略实际限制误选实心端点或截距错误的选项。
【难度系数】
0.7
3.如图1是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的函数图象. 
下列说法中：
①销售2件时，甲、乙两家售价一样；
②买1件时，乙家的合算；
③买3件时，甲家的合算；
④乙家的1件售价约为3元.
正确的是
下列说法中：
①销售2件时，甲、乙两家售价一样；
②买1件时，乙家的合算；
③买3件时，甲家的合算；
④乙家的1件售价约为3元.
正确的是
①②③
.(填序号)答案
3.①②③
解析
【分析】
解题时首先明确图象的横轴x代表销售量，纵轴y代表销售价：两条直线的交点表示对应销售量下两家售价相同；判断哪家更合算，只需比较相同销售量x下，谁的销售价y更低（即图象位置更靠下）。我们可以先求出甲、乙的函数解析式，再逐个验证4个说法的正误。
【解析】
1. 求甲的销售价函数：观察甲的图象过点(0,2)和(2,4)，设$ y_甲 = k_1x + b_1 $，代入点坐标：
当x=0时，$ 2 = b_1 $；代入(2,4)得$ 4 = 2k_1 + 2 $，解得$ k_1=1 $，因此$ y_甲 = x + 2 $。
2. 求乙的销售价函数：观察乙的图象过x轴上(0.5,0)和交点(2,4)，设$ y_乙 = k_2x + b_2 $，代入两点：
$\begin{cases}0 = 0.5k_2 + b_2 \\4 = 2k_2 + b_2 \end{cases}$，解得$ k_2=\frac{8}{3}，b_2=-\frac{4}{3} $，因此$ y_乙 = \frac{8}{3}x - \frac{4}{3} $。
3. 逐个判断说法：
① 当x=2时，$ y_甲=2+2=4 $，$ y_乙=\frac{8}{3}×2 - \frac{4}{3}=4 $，售价相同，①正确；
② 当x=1时，$ y_甲=1+2=3 $，$ y_乙=\frac{8}{3}×1 - \frac{4}{3}\approx1.33 $，乙售价更低更合算，②正确；
③ 当x=3时，$ y_甲=3+2=5 $，$ y_乙=\frac{8}{3}×3 - \frac{4}{3}\approx6.67 $，甲售价更低更合算，③正确；
④ 由②可知乙家1件售价约为1.33元，不是3元，④错误。
综上，正确的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
一次函数图象应用，函数交点意义，方案比较
【点评】
本题结合销售场景考查一次函数的实际应用，解题核心是理解函数图象各部分、交点的实际含义，通过比较相同销售量下的售价判断方案优劣，能有效考查学生的读图能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确图象的横轴x代表销售量，纵轴y代表销售价：两条直线的交点表示对应销售量下两家售价相同；判断哪家更合算，只需比较相同销售量x下，谁的销售价y更低（即图象位置更靠下）。我们可以先求出甲、乙的函数解析式，再逐个验证4个说法的正误。
【解析】
1. 求甲的销售价函数：观察甲的图象过点(0,2)和(2,4)，设$ y_甲 = k_1x + b_1 $，代入点坐标：
当x=0时，$ 2 = b_1 $；代入(2,4)得$ 4 = 2k_1 + 2 $，解得$ k_1=1 $，因此$ y_甲 = x + 2 $。
2. 求乙的销售价函数：观察乙的图象过x轴上(0.5,0)和交点(2,4)，设$ y_乙 = k_2x + b_2 $，代入两点：
$\begin{cases}0 = 0.5k_2 + b_2 \\4 = 2k_2 + b_2 \end{cases}$，解得$ k_2=\frac{8}{3}，b_2=-\frac{4}{3} $，因此$ y_乙 = \frac{8}{3}x - \frac{4}{3} $。
3. 逐个判断说法：
① 当x=2时，$ y_甲=2+2=4 $，$ y_乙=\frac{8}{3}×2 - \frac{4}{3}=4 $，售价相同，①正确；
② 当x=1时，$ y_甲=1+2=3 $，$ y_乙=\frac{8}{3}×1 - \frac{4}{3}\approx1.33 $，乙售价更低更合算，②正确；
③ 当x=3时，$ y_甲=3+2=5 $，$ y_乙=\frac{8}{3}×3 - \frac{4}{3}\approx6.67 $，甲售价更低更合算，③正确；
④ 由②可知乙家1件售价约为1.33元，不是3元，④错误。
综上，正确的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
一次函数图象应用，函数交点意义，方案比较
【点评】
本题结合销售场景考查一次函数的实际应用，解题核心是理解函数图象各部分、交点的实际含义，通过比较相同销售量下的售价判断方案优劣，能有效考查学生的读图能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.8
4.八年级二班同学对泥茶壶和塑料壶盛水散热情况进行了对比实验.在同等情况下,把稍高于室温(22.5 ℃)的水放入两壶中,每隔一小时同时测出两壶水温,所得数据如下表:
(1)塑料壶水温变化曲线如图2所示,请在同一个坐标系中,画出泥茶壶水温变化曲线;
(2)比较泥茶壶和塑料壶水温变化情况的不同点.
(1)塑料壶水温变化曲线如图2所示,请在同一个坐标系中,画出泥茶壶水温变化曲线;
(2)比较泥茶壶和塑料壶水温变化情况的不同点.
答案
解：
(1) 在给定坐标系中依次描出坐标点$(0,34)$、$(1,27)$、$(2,25)$、$(3,23.5)$、$(4,23.0)$、$(5,22.5)$、$(6,22.5)$、$(7,22.5)$，用平滑曲线顺次连接所有点，将得到的曲线标注为“泥茶壶水温变化曲线”即可。
(2) 泥茶壶的水温下降速度比塑料壶更快：在水温降到室温前，同一时刻泥茶壶中的水温均低于塑料壶中的水温，泥茶壶的水温更早降至室温$22.5°\mathrm{C}$，泥茶壶的散热效果优于塑料壶。
(1) 在给定坐标系中依次描出坐标点$(0,34)$、$(1,27)$、$(2,25)$、$(3,23.5)$、$(4,23.0)$、$(5,22.5)$、$(6,22.5)$、$(7,22.5)$，用平滑曲线顺次连接所有点，将得到的曲线标注为“泥茶壶水温变化曲线”即可。
(2) 泥茶壶的水温下降速度比塑料壶更快：在水温降到室温前，同一时刻泥茶壶中的水温均低于塑料壶中的水温，泥茶壶的水温更早降至室温$22.5°\mathrm{C}$，泥茶壶的散热效果优于塑料壶。
解析
【分析】
对于第(1)问，绘制水温变化曲线属于函数图像绘制类问题，首先明确坐标系横轴为时间、纵轴为水温，先从实验数据中提取泥茶壶各测量时间对应的水温得到坐标点，依次描点后用平滑曲线连接，最后标注曲线名称即可。
对于第(2)问，对比两者水温变化的不同点，可分别从降温速度、相同时刻的水温高低、降至室温的先后顺序等角度分析，总结出二者的差异即可。
【解析】
(1) 首先提取泥茶壶的实验数据，得到对应坐标点依次为$(0,34)$、$(1,27)$、$(2,25)$、$(3,23.5)$、$(4,23.0)$、$(5,22.5)$、$(6,22.5)$、$(7,22.5)$；在给定坐标系中依次描出上述坐标点，用平滑曲线顺次连接所有点，最后将曲线标注为“泥茶壶水温变化曲线”。
(2) 对比两条水温变化曲线：先看降温速度，泥茶壶水温下降更快；再看相同时间的水温，降温到室温前同一时刻泥茶壶内水温更低；最后看达到室温的时间，泥茶壶更早降到22.5℃，说明泥茶壶散热效果更好。
【答案】
(1) 在给定坐标系中依次描出坐标点$(0,34)$、$(1,27)$、$(2,25)$、$(3,23.5)$、$(4,23.0)$、$(5,22.5)$、$(6,22.5)$、$(7,22.5)$，用平滑曲线顺次连接所有点，将得到的曲线标注为“泥茶壶水温变化曲线”即可。
(2) 泥茶壶的水温下降速度比塑料壶更快：在水温降到室温前，同一时刻泥茶壶中的水温均低于塑料壶中的水温，泥茶壶的水温更早降至室温$22.5°\mathrm{C}$，泥茶壶的散热效果优于塑料壶。
【知识点】
函数图像绘制；数据对比分析
【点评】
本题结合生活中的散热实验设置问题，既考查了绘制函数图像的基础操作能力，又考查了从数据、图像中提取信息、归纳差异的分析能力，与生活实际联系紧密，实用性较强。
【难度系数】
0.8
对于第(1)问，绘制水温变化曲线属于函数图像绘制类问题，首先明确坐标系横轴为时间、纵轴为水温，先从实验数据中提取泥茶壶各测量时间对应的水温得到坐标点，依次描点后用平滑曲线连接，最后标注曲线名称即可。
对于第(2)问，对比两者水温变化的不同点，可分别从降温速度、相同时刻的水温高低、降至室温的先后顺序等角度分析，总结出二者的差异即可。
【解析】
(1) 首先提取泥茶壶的实验数据，得到对应坐标点依次为$(0,34)$、$(1,27)$、$(2,25)$、$(3,23.5)$、$(4,23.0)$、$(5,22.5)$、$(6,22.5)$、$(7,22.5)$；在给定坐标系中依次描出上述坐标点，用平滑曲线顺次连接所有点，最后将曲线标注为“泥茶壶水温变化曲线”。
(2) 对比两条水温变化曲线：先看降温速度，泥茶壶水温下降更快；再看相同时间的水温，降温到室温前同一时刻泥茶壶内水温更低；最后看达到室温的时间，泥茶壶更早降到22.5℃，说明泥茶壶散热效果更好。
【答案】
(1) 在给定坐标系中依次描出坐标点$(0,34)$、$(1,27)$、$(2,25)$、$(3,23.5)$、$(4,23.0)$、$(5,22.5)$、$(6,22.5)$、$(7,22.5)$，用平滑曲线顺次连接所有点，将得到的曲线标注为“泥茶壶水温变化曲线”即可。
(2) 泥茶壶的水温下降速度比塑料壶更快：在水温降到室温前，同一时刻泥茶壶中的水温均低于塑料壶中的水温，泥茶壶的水温更早降至室温$22.5°\mathrm{C}$，泥茶壶的散热效果优于塑料壶。
【知识点】
函数图像绘制；数据对比分析
【点评】
本题结合生活中的散热实验设置问题，既考查了绘制函数图像的基础操作能力，又考查了从数据、图像中提取信息、归纳差异的分析能力，与生活实际联系紧密，实用性较强。
【难度系数】
0.8
