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27. (14分)大课间活动时,数学兴趣小组运用不同的方法探究校园内几个圆形花坛半径的大小,因受限于场地和工具,花坛半径不能直接测量,兴趣小组对不同花坛分别测量了一些数据(单位:米),根据所学知识计算花坛半径.相关花坛的图形及数据见下表,请完成下列问题.
| 名称 | 花坛Ⅰ | 花坛Ⅱ | 花坛Ⅲ | 花坛Ⅳ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 图形 |
| | | |
| 条件 | $∠ BAC=90°$，$AB=4$，$AC=3$ | $AM=BM$，$MN ⊥ AB$，$AB=4$，$MN=1$ | $MN ⊥ AB$，$BM=5AM=MN=1$ | $MN ⊥ AB$，$MN=n$，$AM=2n$，$BM=3n$，$n$为正数 |
说明:图中点$A$，$B$，$C$都在圆上，$N$在$AB$上，$NM ⊥ AB$，垂足为$M$.
（1）问题解决：
① 花坛Ⅰ的半径为
② 计算花坛Ⅱ的半径；
③ 计算花坛Ⅲ的半径；
④ 请用含$n$的代数式表示花坛Ⅳ的半径.
（2）问题拓展：
兴趣小组在活动中遇到下面问题:如图，$A$，$B$，$N$在同一个圆上，$N$是$\overset{\frown}{AB}$上一动点，经测量$∠ ANB=135°$，$NM ⊥ AB$，垂足为$M$，$MN=2$，则$△ ANB$面积最小值为
| 名称 | 花坛Ⅰ | 花坛Ⅱ | 花坛Ⅲ | 花坛Ⅳ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 图形 |
| | | || 条件 | $∠ BAC=90°$，$AB=4$，$AC=3$ | $AM=BM$，$MN ⊥ AB$，$AB=4$，$MN=1$ | $MN ⊥ AB$，$BM=5AM=MN=1$ | $MN ⊥ AB$，$MN=n$，$AM=2n$，$BM=3n$，$n$为正数 |
说明:图中点$A$，$B$，$C$都在圆上，$N$在$AB$上，$NM ⊥ AB$，垂足为$M$.
（1）问题解决：
① 花坛Ⅰ的半径为
2.5
米；(直接写出答案)② 计算花坛Ⅱ的半径；
③ 计算花坛Ⅲ的半径；
④ 请用含$n$的代数式表示花坛Ⅳ的半径.
（2）问题拓展：
兴趣小组在活动中遇到下面问题:如图，$A$，$B$，$N$在同一个圆上，$N$是$\overset{\frown}{AB}$上一动点，经测量$∠ ANB=135°$，$NM ⊥ AB$，垂足为$M$，$MN=2$，则$△ ANB$面积最小值为
$(4\sqrt{2}+4)$
米².答案
27. (1) ① 2.5；
② 设半径为$r$米,记圆心为$O$,连接$AO,OM$,如图2所示,
$\because MN⊥AB,AM=BM$,$\therefore ON⊥AB,AM=\frac{1}{2}AB=2$米,在$\mathrm{Rt}△ AOM$中,$AO^2=AM^2+OM^2$,即$r^2=4+(r-1)^2$,解得$r=2.5$；
③ 延长$NM$交$\odot O$于点$Q$,连接$QB$,过点$O$分别作$OD⊥NQ$,作$OC⊥AB$,连接$OB,AN$,如图3所示,
$\because MN⊥AB,AM=MN=1$米,$\therefore △ ANM$是等腰三角形.
$\because \overset{\frown}{BN}=\overset{\frown}{BN}$,$\therefore ∠ MQB=∠ NAM=45°$.
$\because MN⊥AB$,延长$NM$交$\odot O$于点$Q$,$\therefore ∠ QMB=90°$,则$△ BQM$是等腰三角形.$\therefore QM=BM=5$米.
$\because OC⊥AB,OD⊥NQ$,$\therefore$ 四边形$DMCO$是矩形,$OC=DM$,则$BC=\frac{1}{2}(AM+MB)=3$米,$DN=\frac{1}{2}(QM+MN)=3$米.
$\because AM=MN=1$米,$\therefore OC=DM=3-1=2$(米),则$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{13}$米；
④ 依题意,$MN⊥AB,MN=n$米,$AM=2n$米,$BM=3n$米,$n$为正数.可构造网格(如图),过点$B$作$BF⊥AN$的延长线上,根据小正方形网格(边长为$n$)特征,则$NF=BF=\sqrt{n^2+(2n)^2}=\sqrt{5}n$米,易得等腰直角三角形$BNF$,如图4,即$∠ BNF=45°$,$\therefore ∠ ANB=135°$,记该圆心为点$O$,以劣弧$AB$所对的圆周角为$∠ E$,如图5所示,则$∠ E=180°-∠ ANB=45°$,则$∠ AOB=90°$.在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$AO^2+BO^2=AB^2=(AM+BM)^2$,解得$AO=BO=\frac{5\sqrt{2}}{2}n$米.故半径为$\frac{5\sqrt{2}}{2}n$米；
(2) $(4\sqrt{2}+4)$
记该圆的圆心为点$O$,连接$AO,BO,NO,MO$,且$NO$交$AB$于点$D$,如图6,
$\because MN⊥AB,MN=2$米,$\therefore S_{△ ABN}=\frac{1}{2}MN× AB=AB$,要使$△ ANB$面积最小值,即$AB$取最小值,
$\because ∠ ANB=135°$,$\therefore ∠ AOB=2×(180°-135°)=90°$,则$△ AOB$是等腰直角三角形,$\therefore AB=\sqrt{2}AO=\sqrt{2}BO$,设半径为$r$米,则$NO≤ MO+MN$,当点$N,M,O$三点共线时,即点$D_1$与点$M$重合,如图7所示,则$NO=D_1O+MN=ND_1+D_1N$,此时半径最小,
$\because △ AOB$是等腰直角三角形,则$∠ OAB=45°$,$\therefore AD_1=OD_1=(r-2)$米,那么$AO^2=AD_1^2+OD_1^2$,$\therefore r^2=(r-2)^2+(r-2)^2$,解得$r_1=2\sqrt{2}+4,r_2=-2\sqrt{2}+4＜2$(舍去),
$\because AB=\sqrt{2}AO=\sqrt{2}BO$,则$AB=\sqrt{2}×(2\sqrt{2}+4)=(4\sqrt{2}+4)$米,$\therefore △ ANB$面积最小值为$(4\sqrt{2}+4)$米².
解析
【分析】
① 花坛Ⅰ中，90°的圆周角所对的弦是直径，因此BC为圆的直径，先利用勾股定理求出BC的长度，再除以2即可得到半径。
② 花坛Ⅱ中，由MN垂直平分AB可知圆心在MN所在直线上，设半径为r，连接OA，在Rt△AOM中结合勾股定理列方程求解即可。
③ 花坛Ⅲ中，先根据已知线段相等得到∠NAM=45°，再由圆周角定理得∠MQB=45°，推出QM=BM；之后过圆心作弦的垂线，结合垂径定理、矩形的性质得到直角三角形的边长，最后用勾股定理求半径。
④ 花坛Ⅳ中，先通过构造图形得到∠ANB=135°，进而推出劣弧AB所对的圆心角为90°，△AOB为等腰直角三角形，结合AB的长度用勾股定理求出半径。
(2) 问题拓展中，△ANB的面积可表示为$\frac{1}{2}AB· MN$，MN为定值2，因此面积最小等价于AB最小；由∠ANB=135°可得圆心角∠AOB=90°，△AOB为等腰直角三角形，当N、M、O三点共线时半径最小，对应的AB最小，列方程求出半径后即可得到AB的最小值，进而得到最小面积。
【解析】
(1) ①
∵∠BAC=90°，
∴BC是圆的直径，在Rt△ABC中，$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，因此半径为$5÷2=2.5$米。
② 设半径为$r$米，记圆心为$O$，连接$AO,OM$，
∵$MN⊥AB,AM=BM$，
∴$ON$过圆心且垂直平分$AB$，$AM=\frac{1}{2}AB=2$米，$OM=r-MN=r-1$，
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，$AO^2=AM^2+OM^2$，即$r^2=2^2+(r-1)^2$，
解得$r=2.5$，即花坛Ⅱ的半径为2.5米。
③ 延长$NM$交$\odot O$于点$Q$，连接$QB$，过点$O$分别作$OD⊥NQ$，作$OC⊥AB$，连接$OB$，
∵$MN⊥AB,AM=MN=1$米，
∴$△ ANM$是等腰直角三角形，$∠NAM=45°$，
∵$\overset{\frown}{BN}=\overset{\frown}{BN}$，
∴$∠ MQB=∠ NAM=45°$，
∵$∠ QMB=90°$，
∴$△ BQM$是等腰直角三角形，$QM=BM=5$米，
∵$OC⊥AB,OD⊥NQ$，
∴四边形$DMCO$是矩形，$OC=DM$，
由垂径定理得：$BC=\frac{1}{2}(AM+MB)=\frac{1}{2}×(1+5)=3$米，$DN=\frac{1}{2}(QM+MN)=\frac{1}{2}×(5+1)=3$米，
∴$OC=DM=DN-MN=3-1=2$米，
在$\mathrm{Rt}△OBC$中，$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$米，即花坛Ⅲ的半径为$\sqrt{13}$米。
④ 依题意，$MN⊥AB,MN=n$米，$AM=2n$米，$BM=3n$米，$n$为正数，
构造网格可得$∠BNF=45°$，即$∠ ANB=135°$，记圆心为点$O$，劣弧$AB$所对的圆周角为$∠ E$，则$∠ E=180°-∠ ANB=45°$，
∴圆心角$∠ AOB=2∠E=90°$，$△AOB$为等腰直角三角形，
$AB=AM+BM=2n+3n=5n$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$AO^2+BO^2=AB^2$，即$2AO^2=(5n)^2$，
解得$AO=\frac{5\sqrt{2}}{2}n$米，即花坛Ⅳ的半径为$\frac{5\sqrt{2}}{2}n$米。
(2) 记该圆的圆心为点$O$，连接$AO,BO,NO$，
∵$MN⊥AB,MN=2$米，
∴$S_{△ ABN}=\frac{1}{2}MN· AB=AB$，要使$△ ANB$面积最小值，即$AB$取最小值，
∵$∠ ANB=135°$，
∴劣弧AB所对的圆周角为$180°-135°=45°$，则$∠ AOB=2×45°=90°$，$△ AOB$是等腰直角三角形，$AB=\sqrt{2}AO$，
设半径为$r$米，当点$N,M,O$三点共线时，$AB$取得最小值，此时圆心O到AB的距离$OD=r-MN=r-2$，
在等腰直角$△AOB$中，$AO^2=2OD^2$，即$r^2=2(r-2)^2$，解得$r_1=4+2\sqrt{2},r_2=4-2\sqrt{2}＜2$（舍去），
则$AB=\sqrt{2}r=\sqrt{2}×(4+2\sqrt{2})=4\sqrt{2}+4$米，即$△ ANB$面积最小值为$(4\sqrt{2}+4)$米²。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{2.5}$；② $\boldsymbol{2.5}$米；③ $\boldsymbol{\sqrt{13}}$米；④ $\boldsymbol{\frac{5\sqrt{2}}{2}n}$米；
(2) $\boldsymbol{4\sqrt{2}+4}$
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题结合实际测量场景，综合考查圆的相关性质、勾股定理及方程思想的应用，需要学生灵活构造辅助线，将实际问题转化为几何模型求解，对知识的综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
① 花坛Ⅰ中，90°的圆周角所对的弦是直径，因此BC为圆的直径，先利用勾股定理求出BC的长度，再除以2即可得到半径。
② 花坛Ⅱ中，由MN垂直平分AB可知圆心在MN所在直线上，设半径为r，连接OA，在Rt△AOM中结合勾股定理列方程求解即可。
③ 花坛Ⅲ中，先根据已知线段相等得到∠NAM=45°，再由圆周角定理得∠MQB=45°，推出QM=BM；之后过圆心作弦的垂线，结合垂径定理、矩形的性质得到直角三角形的边长，最后用勾股定理求半径。
④ 花坛Ⅳ中，先通过构造图形得到∠ANB=135°，进而推出劣弧AB所对的圆心角为90°，△AOB为等腰直角三角形，结合AB的长度用勾股定理求出半径。
(2) 问题拓展中，△ANB的面积可表示为$\frac{1}{2}AB· MN$，MN为定值2，因此面积最小等价于AB最小；由∠ANB=135°可得圆心角∠AOB=90°，△AOB为等腰直角三角形，当N、M、O三点共线时半径最小，对应的AB最小，列方程求出半径后即可得到AB的最小值，进而得到最小面积。
【解析】
(1) ①
∵∠BAC=90°，
∴BC是圆的直径，在Rt△ABC中，$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，因此半径为$5÷2=2.5$米。
② 设半径为$r$米，记圆心为$O$，连接$AO,OM$，
∵$MN⊥AB,AM=BM$，
∴$ON$过圆心且垂直平分$AB$，$AM=\frac{1}{2}AB=2$米，$OM=r-MN=r-1$，
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，$AO^2=AM^2+OM^2$，即$r^2=2^2+(r-1)^2$，
解得$r=2.5$，即花坛Ⅱ的半径为2.5米。
③ 延长$NM$交$\odot O$于点$Q$，连接$QB$，过点$O$分别作$OD⊥NQ$，作$OC⊥AB$，连接$OB$，
∵$MN⊥AB,AM=MN=1$米，
∴$△ ANM$是等腰直角三角形，$∠NAM=45°$，
∵$\overset{\frown}{BN}=\overset{\frown}{BN}$，
∴$∠ MQB=∠ NAM=45°$，
∵$∠ QMB=90°$，
∴$△ BQM$是等腰直角三角形，$QM=BM=5$米，
∵$OC⊥AB,OD⊥NQ$，
∴四边形$DMCO$是矩形，$OC=DM$，
由垂径定理得：$BC=\frac{1}{2}(AM+MB)=\frac{1}{2}×(1+5)=3$米，$DN=\frac{1}{2}(QM+MN)=\frac{1}{2}×(5+1)=3$米，
∴$OC=DM=DN-MN=3-1=2$米，
在$\mathrm{Rt}△OBC$中，$OB=\sqrt{OC^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$米，即花坛Ⅲ的半径为$\sqrt{13}$米。
④ 依题意，$MN⊥AB,MN=n$米，$AM=2n$米，$BM=3n$米，$n$为正数，
构造网格可得$∠BNF=45°$，即$∠ ANB=135°$，记圆心为点$O$，劣弧$AB$所对的圆周角为$∠ E$，则$∠ E=180°-∠ ANB=45°$，
∴圆心角$∠ AOB=2∠E=90°$，$△AOB$为等腰直角三角形，
$AB=AM+BM=2n+3n=5n$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$AO^2+BO^2=AB^2$，即$2AO^2=(5n)^2$，
解得$AO=\frac{5\sqrt{2}}{2}n$米，即花坛Ⅳ的半径为$\frac{5\sqrt{2}}{2}n$米。
(2) 记该圆的圆心为点$O$，连接$AO,BO,NO$，
∵$MN⊥AB,MN=2$米，
∴$S_{△ ABN}=\frac{1}{2}MN· AB=AB$，要使$△ ANB$面积最小值，即$AB$取最小值，
∵$∠ ANB=135°$，
∴劣弧AB所对的圆周角为$180°-135°=45°$，则$∠ AOB=2×45°=90°$，$△ AOB$是等腰直角三角形，$AB=\sqrt{2}AO$，
设半径为$r$米，当点$N,M,O$三点共线时，$AB$取得最小值，此时圆心O到AB的距离$OD=r-MN=r-2$，
在等腰直角$△AOB$中，$AO^2=2OD^2$，即$r^2=2(r-2)^2$，解得$r_1=4+2\sqrt{2},r_2=4-2\sqrt{2}＜2$（舍去），
则$AB=\sqrt{2}r=\sqrt{2}×(4+2\sqrt{2})=4\sqrt{2}+4$米，即$△ ANB$面积最小值为$(4\sqrt{2}+4)$米²。
【答案】
(1) ① $\boldsymbol{2.5}$；② $\boldsymbol{2.5}$米；③ $\boldsymbol{\sqrt{13}}$米；④ $\boldsymbol{\frac{5\sqrt{2}}{2}n}$米；
(2) $\boldsymbol{4\sqrt{2}+4}$
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题结合实际测量场景，综合考查圆的相关性质、勾股定理及方程思想的应用，需要学生灵活构造辅助线，将实际问题转化为几何模型求解，对知识的综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
