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26. (12分)在期中复习课里,小晨对九年级数学教材习题进行了再研究.
第26题
【原题再现】
(1) 如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,经过点A,B,D三点作$\odot O$,点C在$\odot O$上吗? 试说明理由.
小晨解答如下:
如图1,过A,B,D三点作$\odot O$,连接AO,BO,CO,DO.
$\because \odot O$中,$∠ BAD=90°$,
…
请你帮他完成后面的解答.
【深入探究】
(2) 小晨在完成此题解答后,他在图1上连接AC,得到图2,当$AB=AD$时,他发现CA平分$∠ BCD$.他的发现正确吗? 试说明理由.
(3) 在(2)的条件下,小晨通过测量发现CD,CB,CA这三条线段之间存在着一定的数量关系,经过探究,他得到了结论:$CD+CB=\sqrt{2}CA$,请证明这个结论.
【应用实践】
(4) 根据小晨同学的研究,张老师提出一个问题:如图3,$\odot O$内接四边形ABCD中,BD为$\odot O$的直径,$AB=AD$,作点C关于AD的对称点P,连接PA,PB,PD,若$PD=6$,$PA=5\sqrt{2}$,请直接写出PB的长为
第26题【原题再现】
(1) 如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,经过点A,B,D三点作$\odot O$,点C在$\odot O$上吗? 试说明理由.
小晨解答如下:
如图1,过A,B,D三点作$\odot O$,连接AO,BO,CO,DO.
$\because \odot O$中,$∠ BAD=90°$,
…
请你帮他完成后面的解答.
【深入探究】
(2) 小晨在完成此题解答后,他在图1上连接AC,得到图2,当$AB=AD$时,他发现CA平分$∠ BCD$.他的发现正确吗? 试说明理由.
(3) 在(2)的条件下,小晨通过测量发现CD,CB,CA这三条线段之间存在着一定的数量关系,经过探究,他得到了结论:$CD+CB=\sqrt{2}CA$,请证明这个结论.
【应用实践】
(4) 根据小晨同学的研究,张老师提出一个问题:如图3,$\odot O$内接四边形ABCD中,BD为$\odot O$的直径,$AB=AD$,作点C关于AD的对称点P,连接PA,PB,PD,若$PD=6$,$PA=5\sqrt{2}$,请直接写出PB的长为
$2\sqrt{34}$
.答案
26. (1) 点$C$在$\odot O$上,理由如下:如图1,过$A,B,D$三点作$\odot O$,连接$AO,BO,CO,DO$.
$\because \odot O$中,$∠ BAD=90°$,$\therefore BD$是直径,$\therefore OA=OB=OD$.
$\because ∠ BCD=90°$,$\therefore OC=\frac{1}{2}BD=OB$,$\therefore$ 点$C$在$\odot O$上；
(2) 他的发现正确,理由如下:$\because △ ABD$中,$∠ BAD=90°$,$AB=AD$,$\therefore ∠ ABD=∠ ADB=45°$.
$\because \odot O$中,$∠ ABD=∠ ACD$,$∠ ADB=∠ ACB$,$\therefore ∠ ACD=∠ ACB$,$\therefore CA$平分$∠ BCD$,$\therefore$ 他的发现正确；
(3) 如图2,延长$CB$至$C'$,使$BC'=CD$,连接$AC'$.
$\because$ 四边形$ABCD$是$\odot O$内接四边形,$\therefore ∠ ADC+∠ ABC=180°$.
$\because ∠ ABC'+∠ ABC=180°$,$\therefore ∠ ADC=∠ ABC'$,又$\because CD=C'B$,$AD=AB$,$\therefore △ ADC≌△ ABC'(\mathrm{SAS})$,
$\therefore CA=C'A$,$∠ DAC=∠ BAC'$,$\therefore ∠ CAC'=∠ CAB+∠ BAC'=∠ CAB+∠ DAC=90°$,$\therefore CC'^2=CA^2+C'A^2=2CA^2$,$\therefore CC'=\sqrt{2}CA$.
$\because CC'=CB+C'B$,$C'B=CD$,$\therefore CD+CB=\sqrt{2}CA$；
(4) $2\sqrt{34}$
解析
【分析】
(1) 要判断点C是否在$\odot O$上，需依据点与圆的位置关系判定：若点到圆心的距离等于半径，则点在圆上。已知$∠ BAD=90°$，由90°的圆周角所对的弦是直径，可得BD是$\odot O$的直径，即半径为BD的一半；再结合$∠ BCD=90°$，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可证$OC=\frac{1}{2}BD=$半径，即可得到结论。
(2) 要证CA平分$∠ BCD$，即证$∠ ACD=∠ ACB$。先由$AB=AD$、$∠ BAD=90°$得$△ ABD$是等腰直角三角形，$∠ ABD=∠ ADB=45°$；再根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ ACD$与$∠ ABD$相等，$∠ ACB$与$∠ ADB$相等，等量代换即可得角相等，证明结论。
(3) 要证$CD+CB=\sqrt{2}CA$，属于线段和的证明，且含$\sqrt{2}$的倍数关系，联想到等腰直角三角形斜边是直角边的$\sqrt{2}$倍，因此采用补短法构造全等：延长CB至$C'$，使$BC'=CD$，证明$△ ADC≌△ ABC'$，可得$AC=AC'$，且$∠ CAC'=90°$，即$△ CAC'$是等腰直角三角形，因此$CC'=\sqrt{2}CA$，再结合$CC'=CB+BC'=CB+CD$即可得证。
(4) 首先利用对称性质得$PD=CD=6$，$PA=AC=5\sqrt{2}$，代入(3)的结论可求出CB的长；再由BD是直径得$∠ BCD=90°$，结合旋转法构造等腰直角三角形和直角三角形，用勾股定理即可求得PB的长。
【解析】
(1) 点$C$在$\odot O$上，理由如下：
如图1，过$A,B,D$三点作$\odot O$，连接$AO,BO,CO,DO$。
$\because \odot O$中，$∠ BAD=90°$，
$\therefore BD$是$\odot O$的直径，
$\therefore OA=OB=OD=\frac{1}{2}BD$。
$\because ∠ BCD=90°$，$O$为$BD$中点，
$\therefore OC=\frac{1}{2}BD=OB$，
$\therefore$ 点$C$在$\odot O$上。
(2) 他的发现正确，理由如下：
$\because △ ABD$中，$∠ BAD=90°$，$AB=AD$，
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB=45°$。
$\because \odot O$中，$∠ ACD$与$∠ ABD$都对应弧$AD$，$∠ ADB$与$∠ ACB$都对应弧$AB$，
$\therefore ∠ ACD=∠ ABD$，$∠ ADB=∠ ACB$，
$\therefore ∠ ACD=∠ ACB$，即$CA$平分$∠ BCD$，
$\therefore$ 他的发现正确。
(3) 证明：如图2，延长$CB$至$C'$，使$BC'=CD$，连接$AC'$。
$\because$ 四边形$ABCD$是$\odot O$内接四边形，
$\therefore ∠ ADC+∠ ABC=180°$。
$\because ∠ ABC'+∠ ABC=180°$，
$\therefore ∠ ADC=∠ ABC'$，
又$\because CD=C'B$，$AD=AB$，
$\therefore △ ADC≌△ ABC'(\mathrm{SAS})$，
$\therefore CA=C'A$，$∠ DAC=∠ BAC'$，
$\therefore ∠ CAC'=∠ CAB+∠ BAC'=∠ CAB+∠ DAC=∠ BAD=90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ CAC'$中，$CC'^2=CA^2+C'A^2=2CA^2$，
$\therefore CC'=\sqrt{2}CA$。
$\because CC'=CB+C'B$，$C'B=CD$，
$\therefore CD+CB=\sqrt{2}CA$。
(4) $\because$ 点$P$是点$C$关于$AD$的对称点，
$\therefore PD=CD=6$，$PA=AC=5\sqrt{2}$。
代入$CD+CB=\sqrt{2}CA$得：$6+CB=\sqrt{2}×5\sqrt{2}=10$，解得$CB=4$。
将$△ ABP$绕点$A$逆时针旋转$90°$，使$AB$与$AD$重合，得到$△ ADP'$，连接$PP'$，
则$AP'=AP=5\sqrt{2}$，$∠ PAP'=90°$，$P'D=PB$，
$\therefore △ PAP'$为等腰直角三角形，$PP'=\sqrt{2}PA=10$，$∠ APP'=45°$。
由对称和圆周角性质得$∠ APD=∠ ACD=45°$，
$\therefore ∠ P'PD=∠ APP'+∠ APD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ P'PD$中，$P'D^2=PP'^2+PD^2=10^2+6^2=136$，
$\therefore P'D=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$，即$PB=2\sqrt{34}$。
【答案】
(1) 点$C$在$\odot O$上，理由见解析；
(2) 发现正确，理由见解析；
(3) 证明见解析；
(4) $\boldsymbol{2\sqrt{34}}$
【知识点】
圆周角定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质
【点评】
本题是圆的综合探究题，从基础的点与圆位置关系判定出发，逐步深入探究角平分线性质、线段和差关系，最后拓展应用结论解决问题，层层递进。解题时要注意前后设问的关联性，合理运用已证结论简化后续推导，同时要熟练掌握构造全等、旋转等常用几何辅助线方法。
【难度系数】
0.3
(1) 要判断点C是否在$\odot O$上，需依据点与圆的位置关系判定：若点到圆心的距离等于半径，则点在圆上。已知$∠ BAD=90°$，由90°的圆周角所对的弦是直径，可得BD是$\odot O$的直径，即半径为BD的一半；再结合$∠ BCD=90°$，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可证$OC=\frac{1}{2}BD=$半径，即可得到结论。
(2) 要证CA平分$∠ BCD$，即证$∠ ACD=∠ ACB$。先由$AB=AD$、$∠ BAD=90°$得$△ ABD$是等腰直角三角形，$∠ ABD=∠ ADB=45°$；再根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠ ACD$与$∠ ABD$相等，$∠ ACB$与$∠ ADB$相等，等量代换即可得角相等，证明结论。
(3) 要证$CD+CB=\sqrt{2}CA$，属于线段和的证明，且含$\sqrt{2}$的倍数关系，联想到等腰直角三角形斜边是直角边的$\sqrt{2}$倍，因此采用补短法构造全等：延长CB至$C'$，使$BC'=CD$，证明$△ ADC≌△ ABC'$，可得$AC=AC'$，且$∠ CAC'=90°$，即$△ CAC'$是等腰直角三角形，因此$CC'=\sqrt{2}CA$，再结合$CC'=CB+BC'=CB+CD$即可得证。
(4) 首先利用对称性质得$PD=CD=6$，$PA=AC=5\sqrt{2}$，代入(3)的结论可求出CB的长；再由BD是直径得$∠ BCD=90°$，结合旋转法构造等腰直角三角形和直角三角形，用勾股定理即可求得PB的长。
【解析】
(1) 点$C$在$\odot O$上，理由如下：
如图1，过$A,B,D$三点作$\odot O$，连接$AO,BO,CO,DO$。
$\because \odot O$中，$∠ BAD=90°$，
$\therefore BD$是$\odot O$的直径，
$\therefore OA=OB=OD=\frac{1}{2}BD$。
$\because ∠ BCD=90°$，$O$为$BD$中点，
$\therefore OC=\frac{1}{2}BD=OB$，
$\therefore$ 点$C$在$\odot O$上。
(2) 他的发现正确，理由如下：
$\because △ ABD$中，$∠ BAD=90°$，$AB=AD$，
$\therefore ∠ ABD=∠ ADB=45°$。
$\because \odot O$中，$∠ ACD$与$∠ ABD$都对应弧$AD$，$∠ ADB$与$∠ ACB$都对应弧$AB$，
$\therefore ∠ ACD=∠ ABD$，$∠ ADB=∠ ACB$，
$\therefore ∠ ACD=∠ ACB$，即$CA$平分$∠ BCD$，
$\therefore$ 他的发现正确。
(3) 证明：如图2，延长$CB$至$C'$，使$BC'=CD$，连接$AC'$。
$\because$ 四边形$ABCD$是$\odot O$内接四边形，
$\therefore ∠ ADC+∠ ABC=180°$。
$\because ∠ ABC'+∠ ABC=180°$，
$\therefore ∠ ADC=∠ ABC'$，
又$\because CD=C'B$，$AD=AB$，
$\therefore △ ADC≌△ ABC'(\mathrm{SAS})$，
$\therefore CA=C'A$，$∠ DAC=∠ BAC'$，
$\therefore ∠ CAC'=∠ CAB+∠ BAC'=∠ CAB+∠ DAC=∠ BAD=90°$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ CAC'$中，$CC'^2=CA^2+C'A^2=2CA^2$，
$\therefore CC'=\sqrt{2}CA$。
$\because CC'=CB+C'B$，$C'B=CD$，
$\therefore CD+CB=\sqrt{2}CA$。
(4) $\because$ 点$P$是点$C$关于$AD$的对称点，
$\therefore PD=CD=6$，$PA=AC=5\sqrt{2}$。
代入$CD+CB=\sqrt{2}CA$得：$6+CB=\sqrt{2}×5\sqrt{2}=10$，解得$CB=4$。
将$△ ABP$绕点$A$逆时针旋转$90°$，使$AB$与$AD$重合，得到$△ ADP'$，连接$PP'$，
则$AP'=AP=5\sqrt{2}$，$∠ PAP'=90°$，$P'D=PB$，
$\therefore △ PAP'$为等腰直角三角形，$PP'=\sqrt{2}PA=10$，$∠ APP'=45°$。
由对称和圆周角性质得$∠ APD=∠ ACD=45°$，
$\therefore ∠ P'PD=∠ APP'+∠ APD=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ P'PD$中，$P'D^2=PP'^2+PD^2=10^2+6^2=136$，
$\therefore P'D=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$，即$PB=2\sqrt{34}$。
【答案】
(1) 点$C$在$\odot O$上，理由见解析；
(2) 发现正确，理由见解析；
(3) 证明见解析；
(4) $\boldsymbol{2\sqrt{34}}$
【知识点】
圆周角定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质
【点评】
本题是圆的综合探究题，从基础的点与圆位置关系判定出发，逐步深入探究角平分线性质、线段和差关系，最后拓展应用结论解决问题，层层递进。解题时要注意前后设问的关联性，合理运用已证结论简化后续推导，同时要熟练掌握构造全等、旋转等常用几何辅助线方法。
【难度系数】
0.3
