23. (10分)如图,在$△ ABC$中,经过A,B两点的$\odot O$与边BC交于点E,圆心O在BC上,过点O作$OD⊥ BC$交$\odot O$于点D,连接AD交BC于点F,$AC=FC$.
(1) 求证:AC与$\odot O$相切;
(2) 若$OA=2$,$∠ ABC=30°$,求图中阴影部分的面积.(结果保留$π$).

23. (1) $\because OD⊥ BC,∴ ∠ DOC=90°,∴ ∠ D+∠ OFD=90°.$
$\because ∠ OFD=∠ AFC,∴ ∠ D+∠ AFC=90°$,在$△ AFC$中,$AC=FC,∴ ∠ CAF=∠ AFC,∴ ∠ D+∠ CAF=90°$,
又$\because OA=OD,∴ ∠ D=∠ OAD,∴ ∠ OAD+∠ CAF=90°$,即$∠ OAC=90°,∴ OA⊥ AC$,又$\because OA$为$\odot O$的半径,$\therefore AC$与$\odot O$相切。
(2) $\because ∠ ABC=30°,∴ ∠ AOC=2∠ ABC=60°.$
$\because ∠ OAC=90°,∴ ∠ C=30°$,在$\mathrm{Rt}△ AOC$中,$OC=2OA=4$,$AC=\sqrt{OC^2-OA^2}=2\sqrt{3}$,
则图中阴影部分的面积为:$S_{\mathrm{Rt}△ AOC}-S_{\mathrm{扇形}OAE}=\frac{1}{2}OA· AC-\frac{60π× OA^2}{360}=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}-\frac{π×2^2}{6}=2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$,
答:图中阴影部分的面积为$2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}.$

【分析】
(1) 要证明AC与$\odot O$相切，根据切线判定定理，需证明半径$OA⊥ AC$，即证$∠ OAC=90°$。可先由$OD⊥ BC$得到互余的角，再结合对顶角相等、等腰三角形等边对等角的性质，通过角的等量代换推导$∠ OAC$为直角即可。
(2) 阴影部分是不规则图形，可通过割补法转化为$\mathrm{Rt}△ AOC$的面积减去扇形$OAE$的面积计算。先利用圆周角定理求出圆心角$∠ AOC$的度数，再结合直角三角形的性质求出$△ AOC$的边长，分别计算三角形和扇形的面积，作差即可得到阴影面积。
【解析】
(1) 证明：
$\because OD⊥ BC$，$\therefore ∠ DOC=90°$，$\therefore ∠ D+∠ OFD=90°$。
$\because ∠ OFD$与$∠ AFC$是对顶角，$\therefore ∠ OFD=∠ AFC$，$\therefore ∠ D+∠ AFC=90°$。
在$△ AFC$中，$AC=FC$，$\therefore ∠ CAF=∠ AFC$，$\therefore ∠ D+∠ CAF=90°$。
又$\because OA$、$OD$均为$\odot O$的半径，$\therefore OA=OD$，$\therefore ∠ D=∠ OAD$，
代入得$∠ OAD+∠ CAF=90°$，即$∠ OAC=90°$，$\therefore OA⊥ AC$。
$\because OA$是$\odot O$的半径，$\therefore AC$与$\odot O$相切。
(2) 解：
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$\therefore ∠ AOC=2∠ ABC$。
已知$∠ ABC=30°$，$\therefore ∠ AOC=60°$。
由(1)得$∠ OAC=90°$，$\therefore \mathrm{Rt}△ AOC$中，$∠ C=90°-∠ AOC=30°$。
$\because OA=2$，$\therefore OC=2OA=4$，由勾股定理得$AC=\sqrt{OC^2-OA^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
阴影部分面积$=S_{\mathrm{Rt}△ AOC}-S_{\mathrm{扇形}OAE}$
$S_{\mathrm{Rt}△ AOC}=\frac{1}{2}× OA× AC=\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
$S_{\mathrm{扇形}OAE}=\frac{nπ r^2}{360}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$
$\therefore$ 阴影部分面积$=2\sqrt{3}-\frac{2π}{3}$
【答案】
(1) 已证$AC$与$\odot O$相切；
(2) $\boldsymbol{2\sqrt{3}-\dfrac{2π}{3}}$
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；扇形面积计算
【点评】
本题是圆的综合基础题，第一问侧重切线判定的逻辑推导，需要灵活运用角的等量关系转化证明垂直；第二问考查不规则图形面积的计算，核心是用割补法将其转化为规则图形的面积差，解题时要注意圆周角和圆心角的对应关系，以及扇形面积公式的正确使用。
【难度系数】
0.7

24. (10分)数学解题时类比是发现新问题、新结论的重要方法,是思维发展的重要途径. 阅读下面材料,解答相关问题:
材料:对于一个关于x的二次三项式$ax^2+bx+c(a≠0)$,除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外,还可以利用根的判别式解决问题,如下面例子:
例:求代数式$x^2+4x+5$的最小值;

请利用上述方法解决下列问题:
(1) 请选择上述一种方法求代数式$-x^2+4x-1$的最大值;
(2) 请你根据方法2解决问题:若关于x的二次三项式:$x^2+ax+4(a$为常数$)$的最小值为$-5$,求$a$的值.

24. (1) 设$-x^2+4x-1=y$,$\therefore$ 方程$x^2-4x+(y+1)=0$有实数根,$\therefore b^2-4ac=16-4(y+1)≥0$,解得:$y≤3$,则代数式$-x^2+4x-1$的最大值为$3$；
(2) 设$x^2+ax+4=y$,$\therefore$ 方程$x^2+ax+(4-y)=0$有实数根,$\therefore b^2-4ac=a^2-4(4-y)≥0$,解得:$y≥\frac{1}{4}(16-a^2)$,而$x^2+ax+4(a$为常数$)$的最小值为$-5$,则$\frac{1}{4}(16-a^2)=-5$,解得:$a=6$或$-6.$

【分析】
（1）求代数式$-x^2+4x-1$的最大值，可类比材料中的方法2：设代数式的值为y，将其整理为关于x的一元二次方程，由于x为实数，方程必有实根，因此根的判别式$\Delta≥0$，解不等式得到y的取值范围，即可得到y的最大值。
（2）先设二次三项式的值为y，转化为关于x的一元二次方程，利用判别式$\Delta≥0$推导得到y的最小值表达式，再结合已知最小值为-5，列方程求解a的值即可。
【解析】
(1) 设$-x^2+4x-1=y$，整理为标准一元二次方程形式：$x^2-4x+(y+1)=0$。
因为该方程有实数根，所以根的判别式满足$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，
代入对应系数得：$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(y+1) = 16 - 4(y+1) ≥ 0$，
解不等式：$16-4y-4≥0$，化简得$12≥4y$，解得$y≤3$，
因此代数式$-x^2+4x-1$的最大值为3。
(2) 设$x^2+ax+4=y$，整理为标准一元二次方程形式：$x^2+ax+(4-y)=0$。
因为该方程有实数根，所以根的判别式满足$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，
代入对应系数得：$\Delta = a^2 - 4×1×(4-y) ≥ 0$，
整理不等式得：$a^2 -16 +4y ≥0$，即$y≥ \frac{16-a^2}{4}$，即y的最小值为$\frac{16-a^2}{4}$。
已知二次三项式的最小值为-5，因此列方程：$\frac{16-a^2}{4}=-5$，
解方程得：$16-a^2 = -20$，即$a^2=36$，解得$a=6$或$a=-6$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$
(2) $\boxed{6}$或$\boxed{-6}$
【知识点】
根的判别式应用；代数式最值求解；解一元二次方程
【点评】
本题借助类比思想，将二次代数式的最值问题转化为一元二次方程根的判别式问题求解，体现了转化的数学思想，掌握根的判别式的意义、一元二次不等式和方程的解法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7

25. (10分)【发现问题】
小明在学习过程中发现:周长为定值的矩形中面积最大的是正方形.那么,面积为定值的矩形中,其周长的取值范围如何呢?
【解决问题】
小明尝试从函数图象的角度进行探究:
(1) 建立函数模型
设一矩形的面积为4,周长为m,相邻的两边长为x,y,则$x · y=4,2(x+y)=m$,即$y=\frac{4}{x},y=-x+\frac{m}{2}$,那么满足要求的$(x,y)$应该是函数$y=\frac{4}{x}$与$y=-x+\frac{m}{2}$的图象在第象限内的公共点坐标.
(2) 画出函数图象
① 画函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象;
② 在同一平面直角坐标系中直接画出$y=-x$的图象,则$y=-x+\frac{m}{2}$的图象可以看成是由$y=-x$的图象向右平移个单位长度得到.
(3) 研究函数图象
平移直线$y=-x$,观察两函数的图象;
① 当直线平移到与函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象有唯一公共点的位置时,公共点的坐标为,周长m的值为;
② 在直线平移的过程中,两函数图象公共点的个数还有什么情况?请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围.

【结论运用】
(4) 面积为10的矩形的周长m的取值范围为.

25. (1) 一
(2) ① $y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象如图所示; ② $\frac{m}{2}$
(3) ① $(2,2)$, 8 ② 由①知:0个交点时,$0＜m＜8$;2个交点时,$m＞8$;1个交点时,$m=8$;
(4) $m≥4\sqrt{10}.$

【分析】
本题是将矩形的周长、面积问题与函数、方程知识结合的综合题，解题思路如下：
1. 第(1)问：矩形边长均为正数，即x＞0、y＞0，因此两个函数的交点横、纵坐标均为正，可判断所在象限；
2. 第(2)问：根据一次函数“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规律，对$y=-x+\frac{m}{2}$变形后即可得到平移的单位长度；
3. 第(3)问：联立反比例函数和一次函数解析式，转化为一元二次方程，根据根的判别式Δ与0的大小关系，判断交点个数，进而求解公共点坐标和周长m的范围；
4. 第(4)问：类比面积为4的求解方法，联立面积为10时的函数解析式，利用Δ≥0即可求出周长的取值范围。
【解析】
(1) 矩形的相邻边长x、y均为正数，即x＞0，y＞0，因此两个函数的图象交点在第一象限。
(2) ② 将$y=-x+\frac{m}{2}$变形为$y=-(x-\frac{m}{2})$，根据一次函数平移“左加右减”的规则，该图象可由$y=-x$向右平移$\frac{m}{2}$个单位长度得到。
(3) ① 联立$\begin{cases}y=\frac{4}{x}\\y=-x+\frac{m}{2}\end{cases}$，消去y得：$\frac{4}{x}=-x+\frac{m}{2}$，两边同乘x（x＞0）整理得：$x^2-\frac{m}{2}x+4=0$。
当两函数有唯一公共点时，一元二次方程有两个相等的实数根，判别式$\Delta=(\frac{m}{2})^2-4×1×4=0$，解得$\frac{m^2}{4}=16$，$m^2=64$，因周长m＞0，故m=8。
将m=8代入方程得$x^2-4x+4=0$，解得x=2，代入$y=\frac{4}{x}$得y=2，因此公共点坐标为$(2,2)$，m=8。
② 结合判别式的取值：
当$\Delta＜0$时，$(\frac{m}{2})^2-16＜0$，解得$0＜m＜8$，此时两函数图象无公共点（0个交点）；
当$\Delta=0$时，m=8，此时两函数图象有1个公共点；
当$\Delta＞0$时，$(\frac{m}{2})^2-16＞0$，解得$m＞8$，此时两函数图象有2个公共点。
(4) 当矩形面积为10时，$xy=10$，即$y=\frac{10}{x}$，联立$y=-x+\frac{m}{2}$，消去y整理得$x^2-\frac{m}{2}x+10=0$。
矩形存在则方程有正实根，故$\Delta=(\frac{m}{2})^2-4×1×10≥0$，解得$\frac{m^2}{4}≥40$，$m^2≥160$，因m＞0，故$m≥4\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 一
(2) ① $y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象如图所示；② $\frac{m}{2}$
(3) ① $(2,2)$，8 ② 0个交点时，$0＜m＜8$；2个交点时，$m＞8$；1个交点时，$m=8$；
(4) $m≥4\sqrt{10}$
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数平移，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题将几何中矩形的周长、面积问题与函数图象、一元二次方程知识结合，侧重考查数形结合思想的应用，需要学生能灵活转化代数与几何条件，通过方程根的情况判断函数交点情况，进而解决实际问题。
【难度系数】
0.6