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20. (8分)(2024·绵阳)某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩(单位:环)统计如下：
| 甲 | 7 | 9 | 7 | 9 | 10 | 6 |
| 乙 | 5 | 8 |
| 10 | 10 | 6 |
（1）根据表格中的数据填空：
甲的平均成绩是
（2）求甲、乙测试成绩的方差；
（3）你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由。
| 甲 | 7 | 9 | 7 | 9 | 10 | 6 |
| 乙 | 5 | 8 |
| 10 | 10 | 6 |（1）根据表格中的数据填空：
甲的平均成绩是
8
环，乙的平均成绩是8
环；甲成绩的中位数是8
环，乙成绩的众数是10
环。（2）求甲、乙测试成绩的方差；
（3）你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由。
答案
20. (1) 8,8,8,10
(2) $s_甲^2=\frac{1}{6}×[(7-8)^2×2+(9-8)^2×2+(10-8)^2+(6-8)^2]=2$；$s_乙^2=\frac{1}{6}×[(5-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+2×(10-8)^2+(6-8)^2]=\frac{11}{3}$
(3) 推荐甲参加全省比赛更合适,理由如下:因为两人的平均数相同,但甲的方差比乙小,即甲比乙更稳定,所以推荐甲参加全省比赛更合适.
(2) $s_甲^2=\frac{1}{6}×[(7-8)^2×2+(9-8)^2×2+(10-8)^2+(6-8)^2]=2$；$s_乙^2=\frac{1}{6}×[(5-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+2×(10-8)^2+(6-8)^2]=\frac{11}{3}$
(3) 推荐甲参加全省比赛更合适,理由如下:因为两人的平均数相同,但甲的方差比乙小,即甲比乙更稳定,所以推荐甲参加全省比赛更合适.
解析
【分析】
对于（1），平均成绩用总成绩除以测试次数即可求得；求中位数需先将数据从小到大排序，6次测试的中位数为排序后第3、第4个数据的平均值；众数是一组数据中出现次数最多的数，直接统计即可。对于（2），直接套用方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算即可，其中$\overline{x}$是平均数，$n$是数据个数。对于（3），当两人平均成绩相同时，比较方差大小，方差越小成绩越稳定，更适合参赛。
【解析】
（1）计算平均成绩：
甲的平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{7+9+7+9+10+6}{6}=\frac{48}{6}=8$（环）
乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{5+8+9+10+10+6}{6}=\frac{48}{6}=8$（环）
求甲的中位数：将甲的成绩从小到大排序为6,7,7,9,9,10，中间两个数为7和9，故中位数为$\frac{7+9}{2}=8$（环）
求乙的众数：乙的成绩中10出现了2次，出现次数最多，故众数是10环。
（2）根据方差公式计算：
甲的方差：$s_甲^2=\frac{1}{6}×[(7-8)^2×2+(9-8)^2×2+(10-8)^2+(6-8)^2]=\frac{1}{6}×(2+2+4+4)=2$
乙的方差：$s_乙^2=\frac{1}{6}×[(5-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+2×(10-8)^2+(6-8)^2]=\frac{1}{6}×(9+0+1+8+4)=\frac{22}{6}=\frac{11}{3}$
（3）推荐甲参加全省比赛，理由：甲乙两人平均成绩相同，说明两人整体水平相当，但是甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩更稳定，因此推荐甲参加比赛。
【答案】
(1) 8，8，8，10
(2) 甲成绩的方差为$2$，乙成绩的方差为$\frac{11}{3}$
(3) 推荐甲参加全省比赛更合适，理由：两人平均成绩相同，甲的方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
平均数的计算；中位数与众数；方差的计算与应用
【点评】
本题属于统计基础题，考查了常见统计量的计算及实际意义，解题的关键是牢记各统计量的计算公式和代表的实际含义，这类题型是统计部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
对于（1），平均成绩用总成绩除以测试次数即可求得；求中位数需先将数据从小到大排序，6次测试的中位数为排序后第3、第4个数据的平均值；众数是一组数据中出现次数最多的数，直接统计即可。对于（2），直接套用方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算即可，其中$\overline{x}$是平均数，$n$是数据个数。对于（3），当两人平均成绩相同时，比较方差大小，方差越小成绩越稳定，更适合参赛。
【解析】
（1）计算平均成绩：
甲的平均成绩：$\overline{x}_甲=\frac{7+9+7+9+10+6}{6}=\frac{48}{6}=8$（环）
乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{5+8+9+10+10+6}{6}=\frac{48}{6}=8$（环）
求甲的中位数：将甲的成绩从小到大排序为6,7,7,9,9,10，中间两个数为7和9，故中位数为$\frac{7+9}{2}=8$（环）
求乙的众数：乙的成绩中10出现了2次，出现次数最多，故众数是10环。
（2）根据方差公式计算：
甲的方差：$s_甲^2=\frac{1}{6}×[(7-8)^2×2+(9-8)^2×2+(10-8)^2+(6-8)^2]=\frac{1}{6}×(2+2+4+4)=2$
乙的方差：$s_乙^2=\frac{1}{6}×[(5-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+2×(10-8)^2+(6-8)^2]=\frac{1}{6}×(9+0+1+8+4)=\frac{22}{6}=\frac{11}{3}$
（3）推荐甲参加全省比赛，理由：甲乙两人平均成绩相同，说明两人整体水平相当，但是甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩更稳定，因此推荐甲参加比赛。
【答案】
(1) 8，8，8，10
(2) 甲成绩的方差为$2$，乙成绩的方差为$\frac{11}{3}$
(3) 推荐甲参加全省比赛更合适，理由：两人平均成绩相同，甲的方差更小，成绩更稳定。
【知识点】
平均数的计算；中位数与众数；方差的计算与应用
【点评】
本题属于统计基础题，考查了常见统计量的计算及实际意义，解题的关键是牢记各统计量的计算公式和代表的实际含义，这类题型是统计部分的常考题型。
【难度系数】
0.8
21.（9分）如图，在正方形网格纸中，$△ ABC$的三个顶点都在格点上，$\overset{\frown}{CB}$是$△ ABC$的外接圆的一部分.请借助网格和无刻度直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：
（1）作出$△ ABC$的外心$O$；
（2）作出$\overset{\frown}{AC}$的中点$P$；
（3）过点$B$作出$\odot O$的切线$BT$.
（1）作出$△ ABC$的外心$O$；
（2）作出$\overset{\frown}{AC}$的中点$P$；
（3）过点$B$作出$\odot O$的切线$BT$.
答案
21. (1) 作线段$AB$和线段$BC$的垂直平分线,交点即为外接圆的圆心$O$；
(2) 取$AC$的中点,连接圆心$O$和中点并延长与$\overset{\frown}{AC}$的交点即为点$P$；
(3) 取格点$T$,作直线$BT$即为所作的切线。
解析
【分析】
本题为网格无刻度直尺作图题，需结合相关几何性质逐步推导作图方法：
1. 作外心O：三角形的外心是三边垂直平分线的交点，也是外接圆的圆心。我们可先作水平线段BC的垂直平分线（过BC中点的竖直线），再作AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外心O。
2. 作弧AC的中点P：根据垂径定理，过圆心且垂直于弦AC的直线平分弦AC所对的弧，因此先找到AC的中点，连接O与AC中点并延长，与弧AC的交点就是弧AC的中点P。
3. 作切线BT：圆的切线垂直于过切点的半径，因此过B点作半径OB的垂线即可，结合网格格点的特征，找到格点T使得BT⊥OB，直线BT就是所求切线。
【解析】
(1) 三角形外心是三边垂直平分线的交点，在网格中分别作出线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为△ABC的外心O；
(2) 根据垂径定理，过圆心且垂直于弦AC的直线平分弧AC，先确定AC的中点，连接O与该中点并延长，延长线与$\overset{\frown}{AC}$的交点即为$\overset{\frown}{AC}$的中点P；
(3) 圆的切线垂直于过切点的半径，过点B作OB的垂线，结合网格找到符合要求的格点T，直线BT即为⊙O过点B的切线。
【答案】
21. (1) 作线段$AB$和线段$BC$的垂直平分线,交点即为外接圆的圆心$O$；
(2) 取$AC$的中点,连接圆心$O$和中点并延长与$\overset{\frown}{AC}$的交点即为点$P$；
(3) 取格点$T$,作直线$BT$即为所作的切线。
【知识点】
三角形外心的定义；垂径定理；切线的判定
【点评】
本题属于网格操作类作图题，综合考查了三角形外接圆、垂径定理、圆的切线等核心几何知识，需要学生熟练掌握相关定理的同时，能结合网格的特征快速定位作图的关键点，对几何直观能力有一定考查。
【难度系数】
0.6
本题为网格无刻度直尺作图题，需结合相关几何性质逐步推导作图方法：
1. 作外心O：三角形的外心是三边垂直平分线的交点，也是外接圆的圆心。我们可先作水平线段BC的垂直平分线（过BC中点的竖直线），再作AB的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外心O。
2. 作弧AC的中点P：根据垂径定理，过圆心且垂直于弦AC的直线平分弦AC所对的弧，因此先找到AC的中点，连接O与AC中点并延长，与弧AC的交点就是弧AC的中点P。
3. 作切线BT：圆的切线垂直于过切点的半径，因此过B点作半径OB的垂线即可，结合网格格点的特征，找到格点T使得BT⊥OB，直线BT就是所求切线。
【解析】
(1) 三角形外心是三边垂直平分线的交点，在网格中分别作出线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为△ABC的外心O；
(2) 根据垂径定理，过圆心且垂直于弦AC的直线平分弧AC，先确定AC的中点，连接O与该中点并延长，延长线与$\overset{\frown}{AC}$的交点即为$\overset{\frown}{AC}$的中点P；
(3) 圆的切线垂直于过切点的半径，过点B作OB的垂线，结合网格找到符合要求的格点T，直线BT即为⊙O过点B的切线。
【答案】
21. (1) 作线段$AB$和线段$BC$的垂直平分线,交点即为外接圆的圆心$O$；
(2) 取$AC$的中点,连接圆心$O$和中点并延长与$\overset{\frown}{AC}$的交点即为点$P$；
(3) 取格点$T$,作直线$BT$即为所作的切线。
【知识点】
三角形外心的定义；垂径定理；切线的判定
【点评】
本题属于网格操作类作图题，综合考查了三角形外接圆、垂径定理、圆的切线等核心几何知识，需要学生熟练掌握相关定理的同时，能结合网格的特征快速定位作图的关键点，对几何直观能力有一定考查。
【难度系数】
0.6
22. (10分)如图，$\odot O$为$△ ABC$的内切圆，切点分别为$F$，$G$，$H$，点$D$，$E$分别为$BC$，$AC$上的点，且$DE$为$\odot O$的切线。
（1）若$∠ C＝40°$，求$∠ AOB$的度数；
（2）若$AC＝8$，$AB＝6$，$BC＝9$，求$△ CDE$的周长。
（1）若$∠ C＝40°$，求$∠ AOB$的度数；
（2）若$AC＝8$，$AB＝6$，$BC＝9$，求$△ CDE$的周长。
答案
22. (1) $\because ∠ C=40°,∴ ∠ ABC+∠ BAC=180°-40°=140°.$
$\because \odot O$为$△ ABC$的内切圆, $\therefore ∠ BAO=∠ CAO,∠ ABO=∠ CBO,∴ ∠ OAB+∠ OBA=\frac{1}{2}×140°=70°,$
$\therefore ∠ AOB=180°-70°=110°$；
(2) $\because \odot O$为$△ ABC$的内切圆,$DE$为$\odot O$的切线,设切点为$I$,$\therefore EH=EI,DI=DG$,$\therefore △ CDE$的周长为:$CD+CE+DE=CD+DI+CE+EI=CD+DG+CE+EH=CG+CH.$
$\because AF=AH,BF=BG,CG=CH$,$\therefore CG+CH=(AB+BC+AC)-(AH+AF+BF+BG)=6+9+8-2×6=11.$
解析
【分析】
（1）求解∠AOB的度数，首先明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，因此AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC。先根据三角形内角和定理求出∠BAC与∠ABC的度数和，再计算其一半的大小，最后在△AOB中利用内角和定理即可求出∠AOB的度数。
（2）求解△CDE的周长，需运用切线长定理：圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。首先将DE拆分为切点分成的两段，将△CDE的周长转化为CG与CH的和，再结合△ABC三边的切线长相等的关系，代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知$∠ C=40°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABC + ∠ BAC = 180° - ∠ C = 180° - 40° = 140°$
$\because \odot O$为$△ ABC$的内切圆，
$\therefore AO$平分$∠ BAC$，$BO$平分$∠ ABC$，即$∠ BAO=∠ CAO$，$∠ ABO=∠ CBO$，
$\therefore ∠ OAB + ∠ OBA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ABC) = \frac{1}{2} × 140° = 70°$
在$△ AOB$中，$∠ AOB = 180° - (∠ OAB + ∠ OBA) = 180° - 70° = 110°$。
(2) 设$DE$与$\odot O$的切点为$I$，
$\because \odot O$为$△ ABC$的内切圆，$DE$为$\odot O$的切线，
根据切线长定理可得：$EH=EI$，$DI=DG$，$CG=CH$，$AF=AH$，$BF=BG$，
$\therefore △ CDE$的周长为：
$CD + CE + DE = CD + CE + DI + EI = CD + CE + DG + EH = (CD + DG) + (CE + EH) = CG + CH$
又$\because CG + CH = (AB + BC + AC) - (AH + AF + BF + BG) = (AB + BC + AC) - 2AB$，
代入$AB=6$，$BC=9$，$AC=8$得：
$CG + CH = 6 + 9 + 8 - 2 × 6 = 11$，
即$△ CDE$的周长为$11$。
【答案】
(1) $∠ AOB=110°$；
(2) $△ CDE$的周长为$11$。
【知识点】
三角形内切圆性质，切线长定理，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，第一问将内切圆的角平分线性质与三角形内角和结合考查角度计算，第二问核心是利用切线长定理进行线段等量代换，将未知三角形周长转化为可通过已知边长计算的线段和，解题时理清线段之间的等量关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
（1）求解∠AOB的度数，首先明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，因此AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC。先根据三角形内角和定理求出∠BAC与∠ABC的度数和，再计算其一半的大小，最后在△AOB中利用内角和定理即可求出∠AOB的度数。
（2）求解△CDE的周长，需运用切线长定理：圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。首先将DE拆分为切点分成的两段，将△CDE的周长转化为CG与CH的和，再结合△ABC三边的切线长相等的关系，代入已知边长计算即可得到结果。
【解析】
(1) 已知$∠ C=40°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABC + ∠ BAC = 180° - ∠ C = 180° - 40° = 140°$
$\because \odot O$为$△ ABC$的内切圆，
$\therefore AO$平分$∠ BAC$，$BO$平分$∠ ABC$，即$∠ BAO=∠ CAO$，$∠ ABO=∠ CBO$，
$\therefore ∠ OAB + ∠ OBA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ABC) = \frac{1}{2} × 140° = 70°$
在$△ AOB$中，$∠ AOB = 180° - (∠ OAB + ∠ OBA) = 180° - 70° = 110°$。
(2) 设$DE$与$\odot O$的切点为$I$，
$\because \odot O$为$△ ABC$的内切圆，$DE$为$\odot O$的切线，
根据切线长定理可得：$EH=EI$，$DI=DG$，$CG=CH$，$AF=AH$，$BF=BG$，
$\therefore △ CDE$的周长为：
$CD + CE + DE = CD + CE + DI + EI = CD + CE + DG + EH = (CD + DG) + (CE + EH) = CG + CH$
又$\because CG + CH = (AB + BC + AC) - (AH + AF + BF + BG) = (AB + BC + AC) - 2AB$，
代入$AB=6$，$BC=9$，$AC=8$得：
$CG + CH = 6 + 9 + 8 - 2 × 6 = 11$，
即$△ CDE$的周长为$11$。
【答案】
(1) $∠ AOB=110°$；
(2) $△ CDE$的周长为$11$。
【知识点】
三角形内切圆性质，切线长定理，三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，第一问将内切圆的角平分线性质与三角形内角和结合考查角度计算，第二问核心是利用切线长定理进行线段等量代换，将未知三角形周长转化为可通过已知边长计算的线段和，解题时理清线段之间的等量关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
