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11. 如图,在平面直角坐标系中,函数$y=kx$与$y=-\frac{2}{x}$的图象交于A,B两点,过点A作y轴的垂线,交函数$y=\frac{1}{x}$的图象于点C,连接BC,则$△ ABC$的面积为
3
.答案
11. 3
解析
【分析】
正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，解题时可灵活使用特殊值法简化计算：先取点A的合适坐标，再根据AC垂直y轴的特征求出点C坐标，得到AC的长度，然后根据对称性求出点B坐标，算出点B到AC的距离，最后代入三角形面积公式求解即可。
【解析】
使用特殊值法计算：
1. 设点A的横坐标为$-1$，将$x=-1$代入$y=-\frac{2}{x}$，得$y=2$，即$A(-1,2)$。
2. 因为AC垂直y轴，所以点C的纵坐标与点A相同为2，将$y=2$代入$y=\frac{1}{x}$，得$x=\frac{1}{2}$，即$C(\frac{1}{2},2)$，可得AC的长度为$\frac{1}{2}-(-1)=\frac{3}{2}$。
3. 正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，所以点B为点A关于原点的对称点，即$B(1,-2)$。
4. AC所在直线为$y=2$，点B到直线$y=2$的距离为$2-(-2)=4$。
5. 代入三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×4=3$。
【答案】
3
【知识点】
正比例函数性质，反比例函数性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合正反比例函数的性质考查面积计算，巧妙使用特殊值法可大幅降低运算量，同时要熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征。
【难度系数】
0.65
正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，解题时可灵活使用特殊值法简化计算：先取点A的合适坐标，再根据AC垂直y轴的特征求出点C坐标，得到AC的长度，然后根据对称性求出点B坐标，算出点B到AC的距离，最后代入三角形面积公式求解即可。
【解析】
使用特殊值法计算：
1. 设点A的横坐标为$-1$，将$x=-1$代入$y=-\frac{2}{x}$，得$y=2$，即$A(-1,2)$。
2. 因为AC垂直y轴，所以点C的纵坐标与点A相同为2，将$y=2$代入$y=\frac{1}{x}$，得$x=\frac{1}{2}$，即$C(\frac{1}{2},2)$，可得AC的长度为$\frac{1}{2}-(-1)=\frac{3}{2}$。
3. 正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，所以点B为点A关于原点的对称点，即$B(1,-2)$。
4. AC所在直线为$y=2$，点B到直线$y=2$的距离为$2-(-2)=4$。
5. 代入三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×4=3$。
【答案】
3
【知识点】
正比例函数性质，反比例函数性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合正反比例函数的性质考查面积计算，巧妙使用特殊值法可大幅降低运算量，同时要熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征。
【难度系数】
0.65
12. (2024·重庆)重庆在低空经济领域实现了新的突破.今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次,预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次.设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x,根据题意,可列方程为
200(1+x)²=401
.答案
12. 200(1+x)²=401
解析
【分析】
本题属于平均增长率类的实际应用题，解题思路如下：首先明确增长的基数是第一季度的运行架次200，平均增长率为x，先计算第二季度的运行架次：是在第一季度的基础上增长x，即第一季度架次×(1+x)；再计算第三季度的运行架次：是在第二季度的基础上再增长x，即第二季度架次×(1+x)，最后根据第三季度预计运行架次为401，列出等量关系即可。
【解析】
已知第一季度安全运行200架次，第二、三季度的平均增长率为x：
1. 第二季度的运行架次为：$200(1+x)$
2. 第三季度的运行架次是在第二季度的基础上增长x，因此为：$200(1+x) × (1+x) = 200(1+x)^2$
3. 题目给出第三季度预计运行架次为401，因此可列方程：$200(1+x)^2 = 401$
【答案】
$200(1+x)^2=401$
【知识点】
增长率问题；列一元二次方程
【点评】
本题是典型的连续增长类应用题，核心是掌握连续两次增长后量的计算方法，准确找准初始量、增长次数和最终量即可正确列方程，是实际应用类的常见基础题型。
【难度系数】
0.85
本题属于平均增长率类的实际应用题，解题思路如下：首先明确增长的基数是第一季度的运行架次200，平均增长率为x，先计算第二季度的运行架次：是在第一季度的基础上增长x，即第一季度架次×(1+x)；再计算第三季度的运行架次：是在第二季度的基础上再增长x，即第二季度架次×(1+x)，最后根据第三季度预计运行架次为401，列出等量关系即可。
【解析】
已知第一季度安全运行200架次，第二、三季度的平均增长率为x：
1. 第二季度的运行架次为：$200(1+x)$
2. 第三季度的运行架次是在第二季度的基础上增长x，因此为：$200(1+x) × (1+x) = 200(1+x)^2$
3. 题目给出第三季度预计运行架次为401，因此可列方程：$200(1+x)^2 = 401$
【答案】
$200(1+x)^2=401$
【知识点】
增长率问题；列一元二次方程
【点评】
本题是典型的连续增长类应用题，核心是掌握连续两次增长后量的计算方法，准确找准初始量、增长次数和最终量即可正确列方程，是实际应用类的常见基础题型。
【难度系数】
0.85
13. 小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲稿、语言表达、形象风度得分分别为90分，80分，60分，若依次按照40%，30%，30%的百分比确定最终成绩，那么她的最终成绩是
78
分.答案
13. 78
解析
【分析】
本题考查加权平均数的实际应用，解题思路如下：首先明确各项得分对应的权重（即题目给出的百分比），再根据加权平均数的计算规则，将每项得分乘以对应的权重后相加，所得的和就是最终成绩。
【解析】
根据加权平均数的计算方法，最终成绩为各项得分乘对应占比的和，代入数据计算：
$\begin{aligned}\mathrm{最终成绩}&=90×40\%+80×30\%+60×30\%\\&=90×0.4+80×0.3+60×0.3\\&=36+24+18\\&=78\end{aligned}$
【答案】
78
【知识点】
加权平均数计算；百分数运算
【点评】
本题结合生活实际场景考查加权平均数的应用，属于基础题，熟练掌握加权平均数的计算逻辑，准确完成运算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查加权平均数的实际应用，解题思路如下：首先明确各项得分对应的权重（即题目给出的百分比），再根据加权平均数的计算规则，将每项得分乘以对应的权重后相加，所得的和就是最终成绩。
【解析】
根据加权平均数的计算方法，最终成绩为各项得分乘对应占比的和，代入数据计算：
$\begin{aligned}\mathrm{最终成绩}&=90×40\%+80×30\%+60×30\%\\&=90×0.4+80×0.3+60×0.3\\&=36+24+18\\&=78\end{aligned}$
【答案】
78
【知识点】
加权平均数计算；百分数运算
【点评】
本题结合生活实际场景考查加权平均数的应用，属于基础题，熟练掌握加权平均数的计算逻辑，准确完成运算即可得分。
【难度系数】
0.9
14. 如图，$\odot O$与正五边形$ABCDE$的两边$AE$，$CD$分别相切于$A$，$C$两点，则$∠ AOC$的度数为________.
答案
14. 144°
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先根据多边形内角和公式求出正五边形每个内角的度数；第二步，利用切线的性质，得到过切点的半径与切线垂直，确定∠OAE、∠OCD的度数均为90°；第三步，观察包含∠AOC的五边形OAEDC，用五边形内角和减去其余四个已知角的度数，即可求出∠AOC的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
根据多边形内角和公式，n边形内角和为$(n-2)×180°$，正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此正五边形每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ E=∠ D=108°$。
2. 利用切线性质求相关角度：
已知AE、CD分别与$\odot O$相切于A、C两点，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得$OA⊥ AE$，$OC⊥ CD$，因此$∠ OAE=90°$，$∠ OCD=90°$。
3. 计算$∠ AOC$的度数：
五边形OAEDC的内角和为$540°$，因此：
$∠ OAE+∠ E+∠ D+∠ OCD+∠ AOC=540°$
代入已知角度：
$90°+108°+108°+90°+∠ AOC=540°$
解得$∠ AOC=540°-396°=144°$
【答案】
$144°$
【知识点】
正多边形的性质，切线的性质，多边形内角和
【点评】
本题是基础几何综合题，将正多边形性质和圆的切线性质结合考察，解题的关键是找到包含待求角的多边形，利用内角和公式建立等量关系求解，需要熟练掌握基础几何性质。
【难度系数】
0.65
解题思路可分为三步：第一步，先根据多边形内角和公式求出正五边形每个内角的度数；第二步，利用切线的性质，得到过切点的半径与切线垂直，确定∠OAE、∠OCD的度数均为90°；第三步，观察包含∠AOC的五边形OAEDC，用五边形内角和减去其余四个已知角的度数，即可求出∠AOC的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
根据多边形内角和公式，n边形内角和为$(n-2)×180°$，正五边形的内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此正五边形每个内角的度数为$540°÷5=108°$，即$∠ E=∠ D=108°$。
2. 利用切线性质求相关角度：
已知AE、CD分别与$\odot O$相切于A、C两点，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得$OA⊥ AE$，$OC⊥ CD$，因此$∠ OAE=90°$，$∠ OCD=90°$。
3. 计算$∠ AOC$的度数：
五边形OAEDC的内角和为$540°$，因此：
$∠ OAE+∠ E+∠ D+∠ OCD+∠ AOC=540°$
代入已知角度：
$90°+108°+108°+90°+∠ AOC=540°$
解得$∠ AOC=540°-396°=144°$
【答案】
$144°$
【知识点】
正多边形的性质，切线的性质，多边形内角和
【点评】
本题是基础几何综合题，将正多边形性质和圆的切线性质结合考察，解题的关键是找到包含待求角的多边形，利用内角和公式建立等量关系求解，需要熟练掌握基础几何性质。
【难度系数】
0.65
15. 某款“不倒翁”(图1)的主视图是图2，PA，PB分别与$\overset{\frown}{AMB}$所在圆相切于点A，B.若该圆半径是18 cm，$∠ P=50°$，则$\overset{\frown}{AMB}$的长是
23π
cm.答案
15. 23π
解析
【分析】
解题时先连接$\overset{\frown}{AMB}$所在圆的圆心与切点A、B，根据切线的性质可得两条半径分别与PA、PB垂直，再利用四边形内角和为$360°$求出劣弧AB对应的圆心角，进而求出优弧$\overset{\frown}{AMB}$对应的圆心角，最后代入弧长公式计算即可得到弧长。
【解析】
设$\overset{\frown}{AMB}$所在圆的圆心为点O，连接OA、OB。
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
四边形OAPB的内角和为$360°$，已知$∠ P=50°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-50°=130°$。
∴优弧$\overset{\frown}{AMB}$对应的圆心角为$360°-130°=230°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为弧对应的圆心角度数，r为圆的半径），已知$r=18\mathrm{cm}$，$n=230$，
∴$\overset{\frown}{AMB}$的长为$\frac{230×π×18}{180}=23π\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$23π$
【知识点】
切线的性质；四边形内角和；弧长计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是正确作出辅助线，区分所求弧是优弧还是劣弧，结合相关性质求出对应圆心角后代入公式计算即可。
【难度系数】
0.7
解题时先连接$\overset{\frown}{AMB}$所在圆的圆心与切点A、B，根据切线的性质可得两条半径分别与PA、PB垂直，再利用四边形内角和为$360°$求出劣弧AB对应的圆心角，进而求出优弧$\overset{\frown}{AMB}$对应的圆心角，最后代入弧长公式计算即可得到弧长。
【解析】
设$\overset{\frown}{AMB}$所在圆的圆心为点O，连接OA、OB。
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$。
四边形OAPB的内角和为$360°$，已知$∠ P=50°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-50°=130°$。
∴优弧$\overset{\frown}{AMB}$对应的圆心角为$360°-130°=230°$。
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为弧对应的圆心角度数，r为圆的半径），已知$r=18\mathrm{cm}$，$n=230$，
∴$\overset{\frown}{AMB}$的长为$\frac{230×π×18}{180}=23π\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$23π$
【知识点】
切线的性质；四边形内角和；弧长计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的关键是正确作出辅助线，区分所求弧是优弧还是劣弧，结合相关性质求出对应圆心角后代入公式计算即可。
【难度系数】
0.7
16. 如图，直角坐标系中，点M在第一象限，半径为$2\sqrt{3}$的$\odot M$经过原点O，与x轴交于点A，$\overset{\frown}{AO}$的度数为$120°$，点B是平面内一动点，且$∠ ABO=30°$，求线段MB的最大值为
$6+4\sqrt{3}$
。答案
16. $6+4\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先连接MO、MA，利用弧的度数等于对应圆心角的度数，得到∠AMO=120°，结合圆M的半径，通过等腰三角形性质求出弦OA的长度和点M的位置。再根据∠ABO=30°是定角、对边OA是定长，利用定弦定角模型确定点B的轨迹是两个以OA为弦的等圆。最后根据点到圆上点的最大距离等于点到圆心的距离加半径，比较两个轨迹圆对应的最大值，得到MB的最大值。
【解析】
1. 求OA长度和点M的位置
连接$MO$、$MA$，
∵$\overset{\frown}{AO}$的度数为$120°$，
∴圆心角$∠ AMO=120°$。
已知$\odot M$半径为$2\sqrt{3}$，故$MO=MA=2\sqrt{3}$，$△ AMO$为等腰三角形。
过$M$作$MH⊥ x$轴于点$H$，则$H$为$OA$中点，$∠ OMH=\frac{1}{2}∠ AMO=60°$。
在$Rt△ OMH$中：
$OH=OM· \sin60°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$，$MH=OM· \cos60°=2\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\sqrt{3}$，
∴$OA=2OH=6$，点$M$坐标为$(3,\sqrt{3})$。
2. 确定点B的轨迹
∵$∠ ABO=30°$，对边$OA=6$为定长，根据定弦定角模型，点$B$在以$OA$为弦、所对圆周角为$30°$的圆上。
由圆周角定理，弦$OA$对应的圆心角为$2×30°=60°$，故轨迹圆的半径$R=OA=6$（圆心与O、A构成等边三角形）。
轨迹圆的圆心在$OA$的垂直平分线$x=3$上，得两个圆心分别为$C_1(3,3\sqrt{3})$、$C_2(3,-3\sqrt{3})$，两圆半径均为6，且优弧$AO$上的点满足$∠ ABO=30°$。
3. 计算MB的最大值
点到圆上点的最大距离=点到圆心的距离+圆的半径：
$M$到$C_1$的距离$d_1=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，对应最大$MB=2\sqrt{3}+6$；
$M$到$C_2$的距离$d_2=\sqrt{3}-(-3\sqrt{3})=4\sqrt{3}$，对应最大$MB=4\sqrt{3}+6$。
比较可得$MB$的最大值为$6+4\sqrt{3}$。
【答案】
$6+4\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理，定弦定角轨迹，点与圆的位置关系
【点评】
本题考查圆的性质与动点最值的结合，解题核心是识别定弦定角的动点轨迹模型，要注意定弦对应符合条件的圆周角有两个轨迹圆，避免漏解导致最值计算错误。
【难度系数】
0.3
首先连接MO、MA，利用弧的度数等于对应圆心角的度数，得到∠AMO=120°，结合圆M的半径，通过等腰三角形性质求出弦OA的长度和点M的位置。再根据∠ABO=30°是定角、对边OA是定长，利用定弦定角模型确定点B的轨迹是两个以OA为弦的等圆。最后根据点到圆上点的最大距离等于点到圆心的距离加半径，比较两个轨迹圆对应的最大值，得到MB的最大值。
【解析】
1. 求OA长度和点M的位置
连接$MO$、$MA$，
∵$\overset{\frown}{AO}$的度数为$120°$，
∴圆心角$∠ AMO=120°$。
已知$\odot M$半径为$2\sqrt{3}$，故$MO=MA=2\sqrt{3}$，$△ AMO$为等腰三角形。
过$M$作$MH⊥ x$轴于点$H$，则$H$为$OA$中点，$∠ OMH=\frac{1}{2}∠ AMO=60°$。
在$Rt△ OMH$中：
$OH=OM· \sin60°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$，$MH=OM· \cos60°=2\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\sqrt{3}$，
∴$OA=2OH=6$，点$M$坐标为$(3,\sqrt{3})$。
2. 确定点B的轨迹
∵$∠ ABO=30°$，对边$OA=6$为定长，根据定弦定角模型，点$B$在以$OA$为弦、所对圆周角为$30°$的圆上。
由圆周角定理，弦$OA$对应的圆心角为$2×30°=60°$，故轨迹圆的半径$R=OA=6$（圆心与O、A构成等边三角形）。
轨迹圆的圆心在$OA$的垂直平分线$x=3$上，得两个圆心分别为$C_1(3,3\sqrt{3})$、$C_2(3,-3\sqrt{3})$，两圆半径均为6，且优弧$AO$上的点满足$∠ ABO=30°$。
3. 计算MB的最大值
点到圆上点的最大距离=点到圆心的距离+圆的半径：
$M$到$C_1$的距离$d_1=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，对应最大$MB=2\sqrt{3}+6$；
$M$到$C_2$的距离$d_2=\sqrt{3}-(-3\sqrt{3})=4\sqrt{3}$，对应最大$MB=4\sqrt{3}+6$。
比较可得$MB$的最大值为$6+4\sqrt{3}$。
【答案】
$6+4\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理，定弦定角轨迹，点与圆的位置关系
【点评】
本题考查圆的性质与动点最值的结合，解题核心是识别定弦定角的动点轨迹模型，要注意定弦对应符合条件的圆周角有两个轨迹圆，避免漏解导致最值计算错误。
【难度系数】
0.3
三、解答题(本大题共11小题,共102分.解答时应写出文字说明,推理过程或计算步骤)
17. (4分)解方程:$x(x+8)=3(x+8).$
17. (4分)解方程:$x(x+8)=3(x+8).$
答案
17. $x(x+8)=3(x+8),x(x+8)-3(x+8)=0,(x-3)·(x+8)=0,∴ x-3=0$或$x+8=0$,解得:$x_1=-8,x_2=3.$
解析
【分析】
本题是求解一元二次方程，观察方程左右两边都含有公因式$(x+8)$，注意不能直接两边同时除以$(x+8)$，因为$x+8$可能为0，直接除会造成漏根。正确解题思路为：先移项将方程右边化为0，再提取公因式$(x+8)$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：移项，得$x(x+8)-3(x+8)=0$，
提取公因式，得$(x-3)(x+8)=0$，
$\therefore x-3=0$或$x+8=0$，
分别解这两个一元一次方程：
当$x-3=0$时，解得$x=3$；
当$x+8=0$时，解得$x=-8$。
【答案】
$x_1=-8,x_2=3$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题属于解方程的基础题型，核心考查因式分解法在一元二次方程求解中的应用，解题时需注意避免直接除以含未知数的整式造成漏根，熟练掌握提公因式的方法即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
本题是求解一元二次方程，观察方程左右两边都含有公因式$(x+8)$，注意不能直接两边同时除以$(x+8)$，因为$x+8$可能为0，直接除会造成漏根。正确解题思路为：先移项将方程右边化为0，再提取公因式$(x+8)$，将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：移项，得$x(x+8)-3(x+8)=0$，
提取公因式，得$(x-3)(x+8)=0$，
$\therefore x-3=0$或$x+8=0$，
分别解这两个一元一次方程：
当$x-3=0$时，解得$x=3$；
当$x+8=0$时，解得$x=-8$。
【答案】
$x_1=-8,x_2=3$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题属于解方程的基础题型，核心考查因式分解法在一元二次方程求解中的应用，解题时需注意避免直接除以含未知数的整式造成漏根，熟练掌握提公因式的方法即可快速准确解题。
【难度系数】
0.8
18.（7分）已知关于$x$的一元二次方程$2x^2 -4x +m=0$.
（1）若方程有实数根，求实数$m$的取值范围；
（2）若方程两实数根为$x_1,x_2$，且满足$3x_1 +2x_2=2$，求实数$m$的值.
（1）若方程有实数根，求实数$m$的取值范围；
（2）若方程两实数根为$x_1,x_2$，且满足$3x_1 +2x_2=2$，求实数$m$的值.
答案
18. (1) $\because$ 方程有实数根, $\therefore \Delta=(-4)^2-4×2m≥0,\therefore 16-8m≥0$,即$m≤2$；
(2) $\because x_1,x_2$为该方程的两个实数根, $\therefore x_1+x_2=2$, 又$3x_1+2x_2=2$, 解得$x_1=-2,x_2=4$.
$\because x_1x_2=\frac{m}{2},\therefore m=2x_1x_2=-16.$
(2) $\because x_1,x_2$为该方程的两个实数根, $\therefore x_1+x_2=2$, 又$3x_1+2x_2=2$, 解得$x_1=-2,x_2=4$.
$\because x_1x_2=\frac{m}{2},\therefore m=2x_1x_2=-16.$
解析
【分析】
（1）遇到一元二次方程有实数根的问题，优先考虑根的判别式的性质：当$\Delta ≥ 0$时，一元二次方程有实数根。我们只需确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式公式列不等式，求解即可得到$m$的取值范围。
（2）已知两根满足的数量关系，可先通过根与系数的关系得到两根之和的定值，再和题目给出的$3x_1+2x_2=2$联立组成二元一次方程组，求出两个根的具体值，最后利用两根之积的关系即可计算出$m$的值。
【解析】
（1）$\because$ 一元二次方程$2x^2 -4x +m=0$有实数根，
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = (-4)^2 - 4× 2m ≥ 0$，
整理得$16-8m≥ 0$，
解得$m≤ 2$。
（2）$\because x_1,x_2$是方程$2x^2 -4x +m=0$的两个实数根，
$\therefore$ 根据根与系数的关系可得$x_1+x_2=\frac{4}{2}=2$，
结合已知条件$3x_1+2x_2=2$，联立得方程组：
$\begin{cases}x_1+x_2=2\\3x_1+2x_2=2\end{cases}$
解得$x_1=-2$，$x_2=4$。
再根据根与系数的关系，$x_1x_2=\frac{m}{2}$，
代入根的值得$(-2)× 4=\frac{m}{2}$，
解得$m=-16$，符合（1）中$m≤ 2$的取值范围。
【答案】
（1）$m≤ 2$；（2）$m=-16$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，核心考查判别式和韦达定理的应用，第二问需要结合韦达定理的结论联立求解根，再反推参数，解题逻辑清晰，熟练掌握基础知识点即可顺利作答。
【难度系数】
0.7
（1）遇到一元二次方程有实数根的问题，优先考虑根的判别式的性质：当$\Delta ≥ 0$时，一元二次方程有实数根。我们只需确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式公式列不等式，求解即可得到$m$的取值范围。
（2）已知两根满足的数量关系，可先通过根与系数的关系得到两根之和的定值，再和题目给出的$3x_1+2x_2=2$联立组成二元一次方程组，求出两个根的具体值，最后利用两根之积的关系即可计算出$m$的值。
【解析】
（1）$\because$ 一元二次方程$2x^2 -4x +m=0$有实数根，
$\therefore$ 根的判别式$\Delta = (-4)^2 - 4× 2m ≥ 0$，
整理得$16-8m≥ 0$，
解得$m≤ 2$。
（2）$\because x_1,x_2$是方程$2x^2 -4x +m=0$的两个实数根，
$\therefore$ 根据根与系数的关系可得$x_1+x_2=\frac{4}{2}=2$，
结合已知条件$3x_1+2x_2=2$，联立得方程组：
$\begin{cases}x_1+x_2=2\\3x_1+2x_2=2\end{cases}$
解得$x_1=-2$，$x_2=4$。
再根据根与系数的关系，$x_1x_2=\frac{m}{2}$，
代入根的值得$(-2)× 4=\frac{m}{2}$，
解得$m=-16$，符合（1）中$m≤ 2$的取值范围。
【答案】
（1）$m≤ 2$；（2）$m=-16$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于一元二次方程的基础综合题，核心考查判别式和韦达定理的应用，第二问需要结合韦达定理的结论联立求解根，再反推参数，解题逻辑清晰，熟练掌握基础知识点即可顺利作答。
【难度系数】
0.7
19. (8分)(2024·连云港)数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”.
(1) 若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是
(2) 若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率.
(1) 若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是
$\frac{1}{2}$
；(2) 若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率.
答案
19. (1) $\frac{1}{2}$
(2) 画树状图如下所示
,共有12种等可能结果,其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的结果有2种,即$CD,DC$,$\therefore$ 小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}.$解析
【分析】
(1) 随机事件的概率等于符合条件的情况数与所有等可能情况数的比值。本小问先确定总卡片数和属于“数学名词”的卡片数，代入概率公式即可求解。
(2) 随机抽取两张属于不放回的两步试验，可通过树状图列举所有等可能的结果，再筛选出两张均为“数学家人名”的结果数，最后代入概率公式计算，注意列举时不要出现重复抽取同一张卡片的情况。
【解析】
(1) 已知共有4张字谜卡片，其中猜“数学名词”的卡片有A、B共2张，
因此随机抽取1张是猜“数学名词”的概率为 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 抽取两张卡片的树状图如下：
由树状图可得，总共有12种等可能的结果，其中抽取的两张字谜均是猜“数学家人名”的结果共2种，即CD、DC，
因此所求概率为 $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$
(2) 画树状图如下所示,共有12种等可能结果,其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的结果有2种,即$CD,DC$,$\therefore$ 小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}.$
【知识点】
简单事件概率计算，树状图法求概率
【点评】
本题是概率基础应用题，核心考查概率的计算逻辑，解题关键是准确列举所有等可能的结果，注意区分放回抽取和不放回抽取的差异。
【难度系数】
0.7
(1) 随机事件的概率等于符合条件的情况数与所有等可能情况数的比值。本小问先确定总卡片数和属于“数学名词”的卡片数，代入概率公式即可求解。
(2) 随机抽取两张属于不放回的两步试验，可通过树状图列举所有等可能的结果，再筛选出两张均为“数学家人名”的结果数，最后代入概率公式计算，注意列举时不要出现重复抽取同一张卡片的情况。
【解析】
(1) 已知共有4张字谜卡片，其中猜“数学名词”的卡片有A、B共2张，
因此随机抽取1张是猜“数学名词”的概率为 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 抽取两张卡片的树状图如下：
由树状图可得，总共有12种等可能的结果，其中抽取的两张字谜均是猜“数学家人名”的结果共2种，即CD、DC，
因此所求概率为 $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$
(2) 画树状图如下所示
,共有12种等可能结果,其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的结果有2种,即$CD,DC$,$\therefore$ 小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率$=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}.$【知识点】
简单事件概率计算，树状图法求概率
【点评】
本题是概率基础应用题，核心考查概率的计算逻辑，解题关键是准确列举所有等可能的结果，注意区分放回抽取和不放回抽取的差异。
【难度系数】
0.7
