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1 如果两个相似三角形的周长比为$1:4$，那么它们的对应角平分线的比为(
A.$1:4$
B.$1:2$
C.$1:16$
D.$1:\sqrt{2}$
A
)。A.$1:4$
B.$1:2$
C.$1:16$
D.$1:\sqrt{2}$
答案
A
解析
【分析】
解题时先回忆相似三角形的性质关联：首先相似三角形的周长比等于相似比，其次相似三角形的对应角平分线、对应中线、对应高等所有对应线段的比都等于相似比。我们的解题步骤就是先通过已知的周长比求出相似比，再利用对应角平分线比等于相似比的性质得到最终结果。
【解析】
解：
∵两个相似三角形的周长比为$1:4$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，
∴这两个相似三角形的相似比为$1:4$。
又
∵相似三角形的对应角平分线的比等于相似比，
∴它们的对应角平分线的比为$1:4$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形周长比性质，相似三角形对应线段比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础考查题，解题关键是明确相似比、周长比、对应线段比三者的等量关系，注意不要和相似三角形的面积比规律混淆。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆相似三角形的性质关联：首先相似三角形的周长比等于相似比，其次相似三角形的对应角平分线、对应中线、对应高等所有对应线段的比都等于相似比。我们的解题步骤就是先通过已知的周长比求出相似比，再利用对应角平分线比等于相似比的性质得到最终结果。
【解析】
解：
∵两个相似三角形的周长比为$1:4$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，
∴这两个相似三角形的相似比为$1:4$。
又
∵相似三角形的对应角平分线的比等于相似比，
∴它们的对应角平分线的比为$1:4$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形周长比性质，相似三角形对应线段比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础考查题，解题关键是明确相似比、周长比、对应线段比三者的等量关系，注意不要和相似三角形的面积比规律混淆。
【难度系数】
0.9
② 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠ADE=∠C，则下列判断错误的是（
A.∠AED=∠B
B.DE·AC=BC·AE
C.AD·AB=AE·AC
D.$\frac{S_{△ AED}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2$
B
）。A.∠AED=∠B
B.DE·AC=BC·AE
C.AD·AB=AE·AC
D.$\frac{S_{△ AED}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2$
答案
B
解析
【分析】
首先观察已知条件，∠ADE=∠C，且∠A是△ADE和△ACB的公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定△ADE∽△ACB，再结合相似三角形的对应角相等、对应边成比例、面积比等于相似比的平方的性质，逐一验证四个选项，即可找到错误选项。
【解析】
第一步：判定相似三角形
在△ADE和△ACB中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ A \mathrm{（公共角）}\\∠ ADE=∠ C \mathrm{（已知）}\end{array} $
∴$△ ADE ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）
第二步：逐一分析选项
A. 相似三角形对应角相等，因此$∠ AED=∠ B$，该选项正确，不符合题意；
B. 相似三角形对应边成比例，可得$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AB}$，交叉相乘得$DE·AB=BC·AE$，与选项中$DE·AC=BC·AE$不符，该选项错误，符合题意；
C. 由相似三角形对应边成比例可得$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，交叉相乘得$AD·AB=AE·AC$，该选项正确，不符合题意；
D. 相似三角形的面积比等于相似比的平方，△AED与△ABC的相似比为对应边之比$\frac{DE}{BC}$，因此$\frac{S_{△ AED}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2$，该选项正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题核心是准确识别相似三角形的对应顶点，明确对应边、对应角的关系，避免因对应关系混淆导致判断失误，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，∠ADE=∠C，且∠A是△ADE和△ACB的公共角，根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定△ADE∽△ACB，再结合相似三角形的对应角相等、对应边成比例、面积比等于相似比的平方的性质，逐一验证四个选项，即可找到错误选项。
【解析】
第一步：判定相似三角形
在△ADE和△ACB中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ A \mathrm{（公共角）}\\∠ ADE=∠ C \mathrm{（已知）}\end{array} $
∴$△ ADE ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）
第二步：逐一分析选项
A. 相似三角形对应角相等，因此$∠ AED=∠ B$，该选项正确，不符合题意；
B. 相似三角形对应边成比例，可得$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AB}$，交叉相乘得$DE·AB=BC·AE$，与选项中$DE·AC=BC·AE$不符，该选项错误，符合题意；
C. 由相似三角形对应边成比例可得$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，交叉相乘得$AD·AB=AE·AC$，该选项正确，不符合题意；
D. 相似三角形的面积比等于相似比的平方，△AED与△ABC的相似比为对应边之比$\frac{DE}{BC}$，因此$\frac{S_{△ AED}}{S_{△ ABC}}=(\frac{DE}{BC})^2$，该选项正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题核心是准确识别相似三角形的对应顶点，明确对应边、对应角的关系，避免因对应关系混淆导致判断失误，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7
3 如图,点 D 在△ABC 边 AB 上,∠ACD=∠B,点 F 是△ABC 的角平分线 AE 与 CD 的交点,且 AF=2EF,则下列选项中不正确的是 (
A.$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$
B.$\frac{CF}{BE}=\frac{2}{3}$
C.$\frac{DC}{BC}=\frac{2}{3}$
D.$\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$
D
)。A.$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$
B.$\frac{CF}{BE}=\frac{2}{3}$
C.$\frac{DC}{BC}=\frac{2}{3}$
D.$\frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$
答案
D
解析
【分析】
解题思路：首先根据已知等角和公共角证明△ACD∽△ABC，得到对应边成比例的关系；再结合AE是角平分线的条件，证明△ACF∽△ABE，结合AF=2EF得到相似比为2:3；最后用相似比推导各边比例，逐一验证选项即可找出错误结论。
【解析】
1. 证明△ACD∽△ABC：
∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC（公共角），
∴△ACD∽△ABC，可得比例关系：$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}=\frac{DC}{BC}$。
2. 证明△ACF∽△ABE：
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAF=∠BAE，
又
∵∠ACF=∠B，
∴△ACF∽△ABE，相似比$k=\frac{AF}{AE}$。
已知$AF=2EF$，则$AE=AF+EF=3EF$，因此$\frac{AF}{AE}=\frac{2EF}{3EF}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CF}{BE}=\frac{2}{3}$。
3. 逐一验证选项：
A选项：由$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$，可知A正确；
B选项：由△ACF∽△ABE的比例得$\frac{CF}{BE}=\frac{2}{3}$，可知B正确；
C选项：由$\frac{DC}{BC}=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$，可知C正确；
D选项：设$AC=2k$，$AB=3k$，由$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$得$AD=\frac{2}{3}×2k=\frac{4k}{3}$，则$DB=AB-AD=3k-\frac{4k}{3}=\frac{5k}{3}$，因此$\frac{AD}{DB}=\frac{\frac{4k}{3}}{\frac{5k}{3}}=\frac{4}{5}≠\frac{2}{3}$，D错误。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，比例线段
【点评】
本题考查相似三角形的综合应用，解题核心是根据已知等角找到对应的相似三角形，明确相似比后推导各边的比例关系，需要注意相似三角形对应边的对应性，避免对应边混淆导致比例计算错误。
【难度系数】
0.65
解题思路：首先根据已知等角和公共角证明△ACD∽△ABC，得到对应边成比例的关系；再结合AE是角平分线的条件，证明△ACF∽△ABE，结合AF=2EF得到相似比为2:3；最后用相似比推导各边比例，逐一验证选项即可找出错误结论。
【解析】
1. 证明△ACD∽△ABC：
∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC（公共角），
∴△ACD∽△ABC，可得比例关系：$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}=\frac{DC}{BC}$。
2. 证明△ACF∽△ABE：
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAF=∠BAE，
又
∵∠ACF=∠B，
∴△ACF∽△ABE，相似比$k=\frac{AF}{AE}$。
已知$AF=2EF$，则$AE=AF+EF=3EF$，因此$\frac{AF}{AE}=\frac{2EF}{3EF}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CF}{BE}=\frac{2}{3}$。
3. 逐一验证选项：
A选项：由$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$，可知A正确；
B选项：由△ACF∽△ABE的比例得$\frac{CF}{BE}=\frac{2}{3}$，可知B正确；
C选项：由$\frac{DC}{BC}=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$，可知C正确；
D选项：设$AC=2k$，$AB=3k$，由$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$得$AD=\frac{2}{3}×2k=\frac{4k}{3}$，则$DB=AB-AD=3k-\frac{4k}{3}=\frac{5k}{3}$，因此$\frac{AD}{DB}=\frac{\frac{4k}{3}}{\frac{5k}{3}}=\frac{4}{5}≠\frac{2}{3}$，D错误。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，比例线段
【点评】
本题考查相似三角形的综合应用，解题核心是根据已知等角找到对应的相似三角形，明确相似比后推导各边的比例关系，需要注意相似三角形对应边的对应性，避免对应边混淆导致比例计算错误。
【难度系数】
0.65
④ 已知两个相似三角形对应高之比为4：9，那么这两个三角形的周长之比为
4:9
。答案
4:9
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的所有对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线等）的比都等于相似比，同时相似三角形的周长比也等于相似比。已知两个相似三角形的对应高之比为4:9，首先可以通过对应高的比确定两个三角形的相似比，再根据周长比与相似比的关系直接得出周长比。
【解析】
设两个相似三角形的相似比为$k$。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，已知对应高之比为$4:9$，因此相似比$k=4:9$。
又因为相似三角形的周长之比等于相似比，所以这两个三角形的周长之比等于相似比$4:9$。
【答案】
4:9
【知识点】
相似三角形对应高性质，相似三角形周长性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查相似三角形性质的记忆与应用，解题时需注意区分相似三角形的周长比、对应线段比和面积比与相似比的关系，避免混淆各类比的规律。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相似三角形的相关性质：相似三角形的所有对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线等）的比都等于相似比，同时相似三角形的周长比也等于相似比。已知两个相似三角形的对应高之比为4:9，首先可以通过对应高的比确定两个三角形的相似比，再根据周长比与相似比的关系直接得出周长比。
【解析】
设两个相似三角形的相似比为$k$。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，已知对应高之比为$4:9$，因此相似比$k=4:9$。
又因为相似三角形的周长之比等于相似比，所以这两个三角形的周长之比等于相似比$4:9$。
【答案】
4:9
【知识点】
相似三角形对应高性质，相似三角形周长性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查相似三角形性质的记忆与应用，解题时需注意区分相似三角形的周长比、对应线段比和面积比与相似比的关系，避免混淆各类比的规律。
【难度系数】
0.9
5 已知两个相似三角形的一组对应边分别是5厘米和2厘米，如果这组对应边上的高的长度相差2.4厘米，那么这两条高的长度和为
5.6
厘米。答案
5.6
解析
【分析】
首先回忆相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比。第一步先根据已知的一组对应边长度求出两个三角形的相似比，即可得到对应边上的高的比值；第二步按比例设两个高的未知数，根据“两条高相差2.4厘米”的条件列方程求出未知数的值；第三步计算两条高的和即可得到答案。
【解析】
解：
∵两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和2cm，
∴两个三角形的相似比为$5:2$，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，
∴这组对应边上的高的比也为$5:2$。
设较长的高为$5x\ \mathrm{cm}$，较短的高为$2x\ \mathrm{cm}$，
由题意得：$5x - 2x = 2.4$，
解得：$3x=2.4$，$x=0.8$。
∴两条高的长度和为$5x + 2x = 7x = 7×0.8 = 5.6$（厘米）。
【答案】
5.6
【知识点】
相似三角形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题重点考查相似三角形性质的应用，解题的关键是明确相似三角形对应高的比等于相似比，通过设比例系数的方式将高的差转化为方程求解，方法直观易掌握。
【难度系数】
0.7
首先回忆相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比。第一步先根据已知的一组对应边长度求出两个三角形的相似比，即可得到对应边上的高的比值；第二步按比例设两个高的未知数，根据“两条高相差2.4厘米”的条件列方程求出未知数的值；第三步计算两条高的和即可得到答案。
【解析】
解：
∵两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和2cm，
∴两个三角形的相似比为$5:2$，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，
∴这组对应边上的高的比也为$5:2$。
设较长的高为$5x\ \mathrm{cm}$，较短的高为$2x\ \mathrm{cm}$，
由题意得：$5x - 2x = 2.4$，
解得：$3x=2.4$，$x=0.8$。
∴两条高的长度和为$5x + 2x = 7x = 7×0.8 = 5.6$（厘米）。
【答案】
5.6
【知识点】
相似三角形的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题重点考查相似三角形性质的应用，解题的关键是明确相似三角形对应高的比等于相似比，通过设比例系数的方式将高的差转化为方程求解，方法直观易掌握。
【难度系数】
0.7
6 如图，AD // BC，AC、BD相交于点O，如果$S_{△ AOD}:S_{△ AOB}=2:3$，那么$S_{△ AOD}:S_{△ BOC}$的值是
$\frac{4}{9}$
。答案
$\frac{4}{9}$
解析
【分析】
首先观察已知面积比的两个三角形△AOD和△AOB，二者具有相同的高（以A为顶点向BD作垂线，高相同），根据同高三角形的面积比等于对应底的比，可先得出OD与OB的比值；再结合AD//BC的条件，可证明△AOD与△COB相似，最后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
1. 求线段比$OD:OB$：
△AOD和△AOB同高（均以点A为顶点，底边在BD上），根据同高三角形面积比等于底的比，可得：
$\frac{S_{△ AOD}}{S_{△ AOB}}=\frac{OD}{OB}=\frac{2}{3}$
2. 证明三角形相似：
∵$AD// BC$，
∴$∠ OAD=∠ OCB$，$∠ ODA=∠ OBC$（两直线平行，内错角相等），
∴$△ AOD ∽ △ COB$（两角分别相等的两个三角形相似），相似比为$\frac{OD}{OB}=\frac{2}{3}$。
3. 求面积比：
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此：
$\frac{S_{△ AOD}}{S_{△ BOC}}=(\frac{OD}{OB})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
同高三角形面积性质；相似三角形判定；相似三角形性质
【点评】
本题是几何常规计算题，解题的核心是先将同高三角形的面积比转化为线段比，再结合平行线得到相似三角形，最后利用相似的性质求解，对学生转化思想的应用有一定要求。
【难度系数】
0.7
首先观察已知面积比的两个三角形△AOD和△AOB，二者具有相同的高（以A为顶点向BD作垂线，高相同），根据同高三角形的面积比等于对应底的比，可先得出OD与OB的比值；再结合AD//BC的条件，可证明△AOD与△COB相似，最后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
1. 求线段比$OD:OB$：
△AOD和△AOB同高（均以点A为顶点，底边在BD上），根据同高三角形面积比等于底的比，可得：
$\frac{S_{△ AOD}}{S_{△ AOB}}=\frac{OD}{OB}=\frac{2}{3}$
2. 证明三角形相似：
∵$AD// BC$，
∴$∠ OAD=∠ OCB$，$∠ ODA=∠ OBC$（两直线平行，内错角相等），
∴$△ AOD ∽ △ COB$（两角分别相等的两个三角形相似），相似比为$\frac{OD}{OB}=\frac{2}{3}$。
3. 求面积比：
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，因此：
$\frac{S_{△ AOD}}{S_{△ BOC}}=(\frac{OD}{OB})^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
同高三角形面积性质；相似三角形判定；相似三角形性质
【点评】
本题是几何常规计算题，解题的核心是先将同高三角形的面积比转化为线段比，再结合平行线得到相似三角形，最后利用相似的性质求解，对学生转化思想的应用有一定要求。
【难度系数】
0.7
7 如图，G是$△ ABC$的重心，EF经过点G，且$EF // BC$。那么$△ AEF$的周长与$△ ABC$的周长之比为
2:3
。答案
2:3
解析
【分析】
要计算△AEF与△ABC的周长之比，首先由EF//BC可判断两个三角形相似，相似三角形的周长比等于相似比，因此只需先求出两个三角形的相似比。已知G是△ABC的重心，根据重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，我们可以连接AG并延长交BC于中线AD，得到AG:AD=2:3。再结合EF//BC，可得相似比等于对应线段AG与AD的比，即可算出最终比值。
【解析】
1. 连接AG并延长，交BC于点D。
∵ G是△ABC的重心，
∴ AD是△ABC的BC边上的中线，且AG:GD=2:1，
∴ AG:AD = 2:(2+1) = 2:3。
2.
∵ EF//BC，
∴ ∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴ △AEF∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
3.
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，且相似比等于对应线段的比$\frac{AE}{AB}=\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$，
∴ $C_{△AEF}:C_{△ABC}=2:3$。
【答案】
2:3
【知识点】
三角形重心的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与三角形重心性质的综合基础题，解题的核心是熟练掌握重心分中线为2:1的性质，结合平行线得到相似三角形，进而利用相似三角形的周长比等于相似比求解，是同类考点中的常见题型。
【难度系数】
0.7
要计算△AEF与△ABC的周长之比，首先由EF//BC可判断两个三角形相似，相似三角形的周长比等于相似比，因此只需先求出两个三角形的相似比。已知G是△ABC的重心，根据重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，我们可以连接AG并延长交BC于中线AD，得到AG:AD=2:3。再结合EF//BC，可得相似比等于对应线段AG与AD的比，即可算出最终比值。
【解析】
1. 连接AG并延长，交BC于点D。
∵ G是△ABC的重心，
∴ AD是△ABC的BC边上的中线，且AG:GD=2:1，
∴ AG:AD = 2:(2+1) = 2:3。
2.
∵ EF//BC，
∴ ∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，
∴ △AEF∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
3.
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，且相似比等于对应线段的比$\frac{AE}{AB}=\frac{AG}{AD}=\frac{2}{3}$，
∴ $C_{△AEF}:C_{△ABC}=2:3$。
【答案】
2:3
【知识点】
三角形重心的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形与三角形重心性质的综合基础题，解题的核心是熟练掌握重心分中线为2:1的性质，结合平行线得到相似三角形，进而利用相似三角形的周长比等于相似比求解，是同类考点中的常见题型。
【难度系数】
0.7
⑧ 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠AED=∠B，AF⊥DE，垂足为点F。如果AF=2，BC=6，△ABC的面积为9，那么△ADE的面积为
4
。答案
4
解析
【分析】
首先观察已知条件，∠AED=∠B，且∠A是△ADE和△ACB的公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似，可先证明△ADE∽△ACB。要求△ADE的面积，需用到相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，其中相似比等于两个三角形对应高的比：AF是△ADE中DE边上的高，我们可以先通过△ABC的面积和BC边长求出BC边上的高，再得到相似比，最终计算出△ADE的面积。
【解析】
1. 证明三角形相似：
在△ADE和△ACB中，
∵ ∠A = ∠A（公共角），∠AED = ∠B（已知），
∴ △ADE ∽ △ACB（两角对应相等，两三角形相似）。
2. 求△ABC中BC边上的高：
设△ABC中BC边上的高为$ h $，
由三角形面积公式$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × h $，
代入已知$ S_{△ ABC}=9 $，$ BC=6 $，
得$ 9 = \frac{1}{2} × 6 × h $，解得$ h=3 $。
3. 利用相似三角形性质求面积：
∵ AF是△ADE中DE边上的高，$ AF=2 $，$ h $是△ACB中BC边上的高，
∴ 相似比$ k = \frac{AF}{h} = \frac{2}{3} $。
∵ 相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴ $ \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ACB}} = k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} $。
代入$ S_{△ ACB}=9 $，得$ S_{△ ADE} = 9 × \frac{4}{9} = 4 $。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题的核心是先通过角的关系判定三角形相似，再结合相似三角形对应高的比等于相似比、面积比等于相似比的平方的性质求解，需要熟练掌握相似三角形的相关定理并灵活运用。
【难度系数】
0.7
首先观察已知条件，∠AED=∠B，且∠A是△ADE和△ACB的公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似，可先证明△ADE∽△ACB。要求△ADE的面积，需用到相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，其中相似比等于两个三角形对应高的比：AF是△ADE中DE边上的高，我们可以先通过△ABC的面积和BC边长求出BC边上的高，再得到相似比，最终计算出△ADE的面积。
【解析】
1. 证明三角形相似：
在△ADE和△ACB中，
∵ ∠A = ∠A（公共角），∠AED = ∠B（已知），
∴ △ADE ∽ △ACB（两角对应相等，两三角形相似）。
2. 求△ABC中BC边上的高：
设△ABC中BC边上的高为$ h $，
由三角形面积公式$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × h $，
代入已知$ S_{△ ABC}=9 $，$ BC=6 $，
得$ 9 = \frac{1}{2} × 6 × h $，解得$ h=3 $。
3. 利用相似三角形性质求面积：
∵ AF是△ADE中DE边上的高，$ AF=2 $，$ h $是△ACB中BC边上的高，
∴ 相似比$ k = \frac{AF}{h} = \frac{2}{3} $。
∵ 相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴ $ \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ACB}} = k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} $。
代入$ S_{△ ACB}=9 $，得$ S_{△ ADE} = 9 × \frac{4}{9} = 4 $。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题的核心是先通过角的关系判定三角形相似，再结合相似三角形对应高的比等于相似比、面积比等于相似比的平方的性质求解，需要熟练掌握相似三角形的相关定理并灵活运用。
【难度系数】
0.7
