9 如图，长方形 DEFG 的边 EF 在△ABC 的边 BC 上，顶点 D、G 分别在 AB、AC 上。已知△ABC 的边 BC 长 120 cm，高 AH 为 40 cm，且长方形 DEFG 的长 DG 是宽 DE 的 2 倍，那么 DE 的长度是 cm。

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10 如图，点D为等边$△ ABC$的边BC上一点，且$BD:DC=1:2$，连接AD，AD的垂直平分线交AB、AC于点E、F，连接DE、DF，则$\frac{AE}{AF}$的值为。

$\frac{4}{5}$ [提示:证明 $△ BED ∽ △ CDF$,利用相似比等于周长比,结合折叠的性质求解。]

11 如图,在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、AC、BC上,连接DE、EF。已知ED // BC, EF // AB, AD=3, DB=9。
(1) 求$\frac{BF}{FC}$的值。
(2) 若△ABC的面积为16,求四边形BFED的面积。

(1) 因为 $DE // BC$,所以$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$。因为$AD=3, BD=9$,所以$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。因为 $EF // AB$,所以$\frac{BF}{FC}=\frac{AE}{EC}=\frac{1}{3}$。
(2) 因为 $DE // BC$,所以 $△ ADE ∽ △ ABC$,所以$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2$。因为 $S_{△ ABC}=16$,所以$\frac{S_{△ ADE}}{16}=(\frac{1}{4})^2$,所以 $S_{△ ADE}=1$。同理可得$\frac{S_{△ EFC}}{16}=(\frac{3}{4})^2$,所以 $S_{△ EFC}=9$,所以 $S_{四边形BFED}=16-1-9=6$。

12 如图，有一块面积等于$1200\ \mathrm{cm}^2$的三角形纸片$ABC$，已知底边$BC$与底边上的高的和为$100\ \mathrm{cm}$(底边$BC$大于底边上的高)，要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边$EF$在边$BC$上，顶点$D$、$G$分别在边$AB$、$AC$上，求加工成的正方形纸片$DEFG$的边长。

设 $BC=a\ \mathrm{cm}$, $BC$ 边上的高 $AH$ 为 $b\ \mathrm{cm}$, 根据题意得$\begin{cases} a + b = 100,\\ \frac{1}{2}ab = 1200, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a = 60,\\ b = 40 \end{cases}$ 或$\begin{cases} a = 40,\\ b = 60, \end{cases}$(不合题意,舍去),所以 $BC=60\ \mathrm{cm}$, $AH=40\ \mathrm{cm}$。设 $DG = DE = MH = x\ \mathrm{cm}$,则$AM=(40-x)\ \mathrm{cm}$。因为 $DG // BC$,所以 $△ ADG ∽ △ ABC$。因为 $AH ⊥ BC$, $AM ⊥ DG$,所以$\frac{AM}{AH}=\frac{DG}{BC}$,即$\frac{40-x}{40}=\frac{x}{60}$,解得 $x=24$, 即加工成的正方形铁片 $DEFG$ 的边长为 $24\ \mathrm{cm}$。