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9 如图，长方形 DEFG 的边 EF 在△ABC 的边 BC 上，顶点 D、G 分别在 AB、AC 上。已知△ABC 的边 BC 长 120 cm，高 AH 为 40 cm，且长方形 DEFG 的长 DG 是宽 DE 的 2 倍，那么 DE 的长度是
24
cm。答案
24
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：长方形DEFG的边DG//BC，可推出△ADG与△ABC相似，结合相似三角形“对应高的比等于相似比”的性质建立等量关系即可求解。首先设DE的长度为x cm，根据题意可知DG=2x cm；△ABC的高为AH=40cm，△ADG的高等于AH减去长方形的宽DE，即(40-x)cm，最后根据相似比列方程求解即可。
【解析】
设DE的长度为$ x $ cm，由题意得长方形的长$ DG = 2x $ cm。
∵ 四边形DEFG是长方形，
∴ $ DG // BC $，
∴ $ ∠ ADG = ∠ B $，$ ∠ AGD = ∠ C $，
∴ $ △ ADG ∽ △ ABC $（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵ AH是△ABC的高，$ AH ⊥ BC $，结合$ DG // BC $可得AH也垂直于DG，即△ADG的高为$ AH - DE = 40 - x $ cm。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{DG}{BC} = \frac{AH - DE}{AH}$
代入已知$ BC=120\mathrm{cm} $，$ AH=40\mathrm{cm} $，$ DG=2x $，$ DE=x $，得：
$\frac{2x}{120} = \frac{40 - x}{40}$
化简方程：
$\frac{x}{60} = \frac{40 - x}{40}$
交叉相乘得：
$40x = 60(40 - x)$
展开整理：
$40x = 2400 - 60x \\100x = 2400 \x = 24$
【答案】
24
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；长方形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是利用长方形对边平行的性质得到相似三角形，再结合相似三角形对应高的比等于相似比的性质建立方程，将几何计算转化为代数方程求解，难度适中，能很好地考查学生对相似三角形性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征：长方形DEFG的边DG//BC，可推出△ADG与△ABC相似，结合相似三角形“对应高的比等于相似比”的性质建立等量关系即可求解。首先设DE的长度为x cm，根据题意可知DG=2x cm；△ABC的高为AH=40cm，△ADG的高等于AH减去长方形的宽DE，即(40-x)cm，最后根据相似比列方程求解即可。
【解析】
设DE的长度为$ x $ cm，由题意得长方形的长$ DG = 2x $ cm。
∵ 四边形DEFG是长方形，
∴ $ DG // BC $，
∴ $ ∠ ADG = ∠ B $，$ ∠ AGD = ∠ C $，
∴ $ △ ADG ∽ △ ABC $（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵ AH是△ABC的高，$ AH ⊥ BC $，结合$ DG // BC $可得AH也垂直于DG，即△ADG的高为$ AH - DE = 40 - x $ cm。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{DG}{BC} = \frac{AH - DE}{AH}$
代入已知$ BC=120\mathrm{cm} $，$ AH=40\mathrm{cm} $，$ DG=2x $，$ DE=x $，得：
$\frac{2x}{120} = \frac{40 - x}{40}$
化简方程：
$\frac{x}{60} = \frac{40 - x}{40}$
交叉相乘得：
$40x = 60(40 - x)$
展开整理：
$40x = 2400 - 60x \\100x = 2400 \x = 24$
【答案】
24
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；长方形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题核心是利用长方形对边平行的性质得到相似三角形，再结合相似三角形对应高的比等于相似比的性质建立方程，将几何计算转化为代数方程求解，难度适中，能很好地考查学生对相似三角形性质的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
10 如图，点D为等边$△ ABC$的边BC上一点，且$BD:DC=1:2$，连接AD，AD的垂直平分线交AB、AC于点E、F，连接DE、DF，则$\frac{AE}{AF}$的值为
$\frac{4}{5}$
。答案
$\frac{4}{5}$ [提示:证明 $△ BED ∽ △ CDF$,利用相似比等于周长比,结合折叠的性质求解。]
解析
【分析】
首先利用线段垂直平分线的性质可得AE=DE、AF=DF，对应角也相等，结合等边三角形三个内角均为60°的性质，推导得到△BED和△CDF的两组对应角相等，证明两三角形相似；再设参数表示各边长度，根据相似三角形对应边成比例列等式，消去参数即可求出AE与AF的比值。
【解析】
设$BD=k$，由$BD:DC=1:2$得$DC=2k$。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$AB=BC=AC=BD+DC=3k$，$∠ B=∠ C=∠ BAC=60°$。
∵EF是AD的垂直平分线，
∴$AE=DE$，$AF=DF$，
∴$∠ EDA=∠ EAD$，$∠ FDA=∠ FAD$，则$∠ EDF=∠ EDA+∠ FDA=∠ EAD+∠ FAD=∠ BAC=60°$。
∵$∠ EDB+∠ FDC=180°-∠ EDF=120°$，在$△ BED$中，$∠ BED+∠ EDB=180°-∠ B=120°$，
∴$∠ BED=∠ CDF$。
∴$△ BED ∽ △ CDF$（AA判定），则$\frac{BE}{CD}=\frac{BD}{CF}=\frac{DE}{DF}$。
设$AE=DE=m$，$AF=DF=n$，则$BE=AB-AE=3k-m$，$CF=AC-AF=3k-n$，代入比例式得：
$\frac{3k-m}{2k}=\frac{m}{n}$ ①，$\frac{k}{3k-n}=\frac{m}{n}$ ②
由②整理得：$kn=3km-mn$，即$mn=3km-kn$，将其代入①：
$n(3k-m)=2km \implies 3kn-mn=2km$，代入$mn=3km-kn$得：
$3kn-(3km-kn)=2km$，化简得$4kn=5km$，
∵$k≠0$，
∴$4n=5m$，即$\frac{m}{n}=\frac{4}{5}$，故$\frac{AE}{AF}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
垂直平分线的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考察了几何基础性质与相似三角形的应用，核心是通过角度推导证明三角形相似，再利用比例关系设参消参求解，能够锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
首先利用线段垂直平分线的性质可得AE=DE、AF=DF，对应角也相等，结合等边三角形三个内角均为60°的性质，推导得到△BED和△CDF的两组对应角相等，证明两三角形相似；再设参数表示各边长度，根据相似三角形对应边成比例列等式，消去参数即可求出AE与AF的比值。
【解析】
设$BD=k$，由$BD:DC=1:2$得$DC=2k$。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$AB=BC=AC=BD+DC=3k$，$∠ B=∠ C=∠ BAC=60°$。
∵EF是AD的垂直平分线，
∴$AE=DE$，$AF=DF$，
∴$∠ EDA=∠ EAD$，$∠ FDA=∠ FAD$，则$∠ EDF=∠ EDA+∠ FDA=∠ EAD+∠ FAD=∠ BAC=60°$。
∵$∠ EDB+∠ FDC=180°-∠ EDF=120°$，在$△ BED$中，$∠ BED+∠ EDB=180°-∠ B=120°$，
∴$∠ BED=∠ CDF$。
∴$△ BED ∽ △ CDF$（AA判定），则$\frac{BE}{CD}=\frac{BD}{CF}=\frac{DE}{DF}$。
设$AE=DE=m$，$AF=DF=n$，则$BE=AB-AE=3k-m$，$CF=AC-AF=3k-n$，代入比例式得：
$\frac{3k-m}{2k}=\frac{m}{n}$ ①，$\frac{k}{3k-n}=\frac{m}{n}$ ②
由②整理得：$kn=3km-mn$，即$mn=3km-kn$，将其代入①：
$n(3k-m)=2km \implies 3kn-mn=2km$，代入$mn=3km-kn$得：
$3kn-(3km-kn)=2km$，化简得$4kn=5km$，
∵$k≠0$，
∴$4n=5m$，即$\frac{m}{n}=\frac{4}{5}$，故$\frac{AE}{AF}=\frac{4}{5}$。
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
垂直平分线的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考察了几何基础性质与相似三角形的应用，核心是通过角度推导证明三角形相似，再利用比例关系设参消参求解，能够锻炼几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
11 如图,在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、AC、BC上,连接DE、EF。已知ED // BC, EF // AB, AD=3, DB=9。
(1) 求$\frac{BF}{FC}$的值。
(2) 若△ABC的面积为16,求四边形BFED的面积。
(1) 求$\frac{BF}{FC}$的值。
(2) 若△ABC的面积为16,求四边形BFED的面积。
答案
(1) 因为 $DE // BC$,所以$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$。因为$AD=3, BD=9$,所以$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。因为 $EF // AB$,所以$\frac{BF}{FC}=\frac{AE}{EC}=\frac{1}{3}$。
(2) 因为 $DE // BC$,所以 $△ ADE ∽ △ ABC$,所以$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2$。因为 $S_{△ ABC}=16$,所以$\frac{S_{△ ADE}}{16}=(\frac{1}{4})^2$,所以 $S_{△ ADE}=1$。同理可得$\frac{S_{△ EFC}}{16}=(\frac{3}{4})^2$,所以 $S_{△ EFC}=9$,所以 $S_{四边形BFED}=16-1-9=6$。
(2) 因为 $DE // BC$,所以 $△ ADE ∽ △ ABC$,所以$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2$。因为 $S_{△ ABC}=16$,所以$\frac{S_{△ ADE}}{16}=(\frac{1}{4})^2$,所以 $S_{△ ADE}=1$。同理可得$\frac{S_{△ EFC}}{16}=(\frac{3}{4})^2$,所以 $S_{△ EFC}=9$,所以 $S_{四边形BFED}=16-1-9=6$。
解析
【分析】
(1) 求$\frac{BF}{FC}$的比值，可利用平行线分线段成比例定理推导：首先由$ED// BC$，可得$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，代入已知AD、BD的长度先求出$\frac{AE}{EC}$的值；再由$EF// AB$，可得$\frac{BF}{FC}=\frac{AE}{EC}$，即可求出所求比值。
(2) 求四边形BFED的面积，直接求四边形面积较难，可采用“整体减部分”的思路：先由$DE// BC$判定$△ ADE∼△ ABC$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出$△ ADE$的面积；同理求出$△ EFC$的面积，用$△ ABC$的面积减去这两个小三角形的面积，即可得到四边形的面积。
【解析】
(1) $\because ED// BC$，根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$。
已知$AD=3$，$BD=9$，代入得$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
又$\because EF// AB$，同理可得$\frac{BF}{FC}=\frac{AE}{EC}=\frac{1}{3}$。
(2) $\because DE// BC$，$\therefore ∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$，$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2$。
$\because AB=AD+DB=3+9=12$，$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$，又$S_{△ ABC}=16$，
代入得$\frac{S_{△ ADE}}{16}=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，解得$S_{△ ADE}=1$。
同理，$\because EF// AB$，$\therefore △ EFC ∽ △ ABC$，相似比$\frac{EC}{AC}=\frac{3}{4}$，
$\therefore \frac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，代入$S_{△ ABC}=16$，解得$S_{△ EFC}=9$。
$\therefore S_{四边形BFED}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}-S_{△ EFC}=16-1-9=6$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) $6$
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【点评】
本题是平行线性质与相似三角形应用的基础题，通过平行线可快速得到线段比例关系和相似三角形，求不规则四边形面积时采用割补法转化为规则图形面积的差，是几何中常用的解题思路。
【难度系数】
0.7
(1) 求$\frac{BF}{FC}$的比值，可利用平行线分线段成比例定理推导：首先由$ED// BC$，可得$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$，代入已知AD、BD的长度先求出$\frac{AE}{EC}$的值；再由$EF// AB$，可得$\frac{BF}{FC}=\frac{AE}{EC}$，即可求出所求比值。
(2) 求四边形BFED的面积，直接求四边形面积较难，可采用“整体减部分”的思路：先由$DE// BC$判定$△ ADE∼△ ABC$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出$△ ADE$的面积；同理求出$△ EFC$的面积，用$△ ABC$的面积减去这两个小三角形的面积，即可得到四边形的面积。
【解析】
(1) $\because ED// BC$，根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{EC}$。
已知$AD=3$，$BD=9$，代入得$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
又$\because EF// AB$，同理可得$\frac{BF}{FC}=\frac{AE}{EC}=\frac{1}{3}$。
(2) $\because DE// BC$，$\therefore ∠ ADE=∠ B$，$∠ AED=∠ C$，$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$。
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，即$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AD}{AB})^2$。
$\because AB=AD+DB=3+9=12$，$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$，又$S_{△ ABC}=16$，
代入得$\frac{S_{△ ADE}}{16}=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，解得$S_{△ ADE}=1$。
同理，$\because EF// AB$，$\therefore △ EFC ∽ △ ABC$，相似比$\frac{EC}{AC}=\frac{3}{4}$，
$\therefore \frac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，代入$S_{△ ABC}=16$，解得$S_{△ EFC}=9$。
$\therefore S_{四边形BFED}=S_{△ ABC}-S_{△ ADE}-S_{△ EFC}=16-1-9=6$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) $6$
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的性质
【点评】
本题是平行线性质与相似三角形应用的基础题，通过平行线可快速得到线段比例关系和相似三角形，求不规则四边形面积时采用割补法转化为规则图形面积的差，是几何中常用的解题思路。
【难度系数】
0.7
12 如图，有一块面积等于$1200\ \mathrm{cm}^2$的三角形纸片$ABC$，已知底边$BC$与底边上的高的和为$100\ \mathrm{cm}$(底边$BC$大于底边上的高)，要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边$EF$在边$BC$上，顶点$D$、$G$分别在边$AB$、$AC$上，求加工成的正方形纸片$DEFG$的边长。
答案
设 $BC=a\ \mathrm{cm}$, $BC$ 边上的高 $AH$ 为 $b\ \mathrm{cm}$, 根据题意得$\begin{cases} a + b = 100,\\ \frac{1}{2}ab = 1200, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a = 60,\\ b = 40 \end{cases}$ 或$\begin{cases} a = 40,\\ b = 60, \end{cases}$(不合题意,舍去),所以 $BC=60\ \mathrm{cm}$, $AH=40\ \mathrm{cm}$。设 $DG = DE = MH = x\ \mathrm{cm}$,则$AM=(40-x)\ \mathrm{cm}$。因为 $DG // BC$,所以 $△ ADG ∽ △ ABC$。因为 $AH ⊥ BC$, $AM ⊥ DG$,所以$\frac{AM}{AH}=\frac{DG}{BC}$,即$\frac{40-x}{40}=\frac{x}{60}$,解得 $x=24$, 即加工成的正方形铁片 $DEFG$ 的边长为 $24\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
解题时可分两步思考：第一步，先根据已知的三角形面积和底与高的和，设未知数列出方程组，求出底边BC和底边上高AH的长度，结合“BC大于高”的条件舍去不符合的解；第二步，观察到正方形的边DG平行于BC，可得△ADG与△ABC相似，利用相似三角形“对应高的比等于相似比”的性质，设正方形边长为未知数，列比例方程求解即可得到正方形边长。
【解析】
设$BC=a\ \mathrm{cm}$，$BC$边上的高$AH$为$b\ \mathrm{cm}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases} a + b = 100\\ \frac{1}{2}ab = 1200 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = 60\\ b = 40 \end{cases}$或$\begin{cases} a = 40\\ b = 60 \end{cases}$，因为底边$BC$大于底边上的高，故舍去第二组解，得$BC=60\ \mathrm{cm}$，$AH=40\ \mathrm{cm}$。
设正方形$DEFG$的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则$DG=x$，$AM=AH-MH=40-x$。
因为$DG // BC$，所以$△ ADG ∽ △ ABC$，又$AH ⊥ BC$，$AM ⊥ DG$，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AM}{AH}=\frac{DG}{BC}$
代入数值得$\frac{40-x}{40}=\frac{x}{60}$，交叉相乘解得：
$60(40-x)=40x$
$2400=100x$
$x=24$
【答案】
加工成的正方形纸片$DEFG$的边长为$\boldsymbol{24\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
相似三角形的性质，三角形面积计算，方程的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，核心考点为相似三角形的性质，解题关键是利用相似三角形对应高的比等于相似比建立等量关系，同时需要注意结合题目的限定条件筛选合理的解，能较好地考查学生综合运用基础知识的能力。
【难度系数】
0.7
解题时可分两步思考：第一步，先根据已知的三角形面积和底与高的和，设未知数列出方程组，求出底边BC和底边上高AH的长度，结合“BC大于高”的条件舍去不符合的解；第二步，观察到正方形的边DG平行于BC，可得△ADG与△ABC相似，利用相似三角形“对应高的比等于相似比”的性质，设正方形边长为未知数，列比例方程求解即可得到正方形边长。
【解析】
设$BC=a\ \mathrm{cm}$，$BC$边上的高$AH$为$b\ \mathrm{cm}$，根据题意列方程组：
$\begin{cases} a + b = 100\\ \frac{1}{2}ab = 1200 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = 60\\ b = 40 \end{cases}$或$\begin{cases} a = 40\\ b = 60 \end{cases}$，因为底边$BC$大于底边上的高，故舍去第二组解，得$BC=60\ \mathrm{cm}$，$AH=40\ \mathrm{cm}$。
设正方形$DEFG$的边长为$x\ \mathrm{cm}$，则$DG=x$，$AM=AH-MH=40-x$。
因为$DG // BC$，所以$△ ADG ∽ △ ABC$，又$AH ⊥ BC$，$AM ⊥ DG$，根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{AM}{AH}=\frac{DG}{BC}$
代入数值得$\frac{40-x}{40}=\frac{x}{60}$，交叉相乘解得：
$60(40-x)=40x$
$2400=100x$
$x=24$
【答案】
加工成的正方形纸片$DEFG$的边长为$\boldsymbol{24\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
相似三角形的性质，三角形面积计算，方程的应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，核心考点为相似三角形的性质，解题关键是利用相似三角形对应高的比等于相似比建立等量关系，同时需要注意结合题目的限定条件筛选合理的解，能较好地考查学生综合运用基础知识的能力。
【难度系数】
0.7
