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1. 若式子$\frac{1}{x-3}$有意义，则实数$x$的取值范围是
x≠3
。答案
1.$x≠3$
解析
【分析】
要确定分式有意义时x的取值范围，首先回忆分式的基本性质：分式有意义的核心要求是分母不能为0。本题中的式子是分式，分母为$x-3$，因此只需让分母不等于0，列出不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 分式$\frac{1}{x-3}$有意义
∴ 分式的分母不能为0，可得不等式：
$x-3 ≠ 0$
解得：$x ≠ 3$
【答案】
$x≠3$
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题是基础常考题，主要考查对分式有意义条件的掌握，只要牢记“分式分母不为0”的规则即可快速求解，容易出错的地方是误将条件记为分子不为0，做题时注意区分即可。
【难度系数】
0.9
要确定分式有意义时x的取值范围，首先回忆分式的基本性质：分式有意义的核心要求是分母不能为0。本题中的式子是分式，分母为$x-3$，因此只需让分母不等于0，列出不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 分式$\frac{1}{x-3}$有意义
∴ 分式的分母不能为0，可得不等式：
$x-3 ≠ 0$
解得：$x ≠ 3$
【答案】
$x≠3$
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题是基础常考题，主要考查对分式有意义条件的掌握，只要牢记“分式分母不为0”的规则即可快速求解，容易出错的地方是误将条件记为分子不为0，做题时注意区分即可。
【难度系数】
0.9
2. 分式$\frac{3}{2a^3b^2c}$与$\frac{a-b}{6a^2b^4c}$的最简公分母是
$6a^3b^4c$
.答案
2.$6a^3b^4c$
解析
【分析】要确定两个分式的最简公分母，需按固定规则思考：第一步找各分母系数的最小公倍数；第二步找出各分母中出现的所有字母（或因式）；第三步对相同的字母（或因式）取次数最高的，最后将这几部分相乘，得到的结果就是最简公分母。本题中两个分式的分母分别是$2a^3b^2c$和$6a^2b^4c$，按照上述规则逐步推导即可得出结果。
【解析】解：分别分析两个分式的分母组成部分：
1. 系数部分：两个分母的系数分别为2和6，二者的最小公倍数是6；
2. 字母部分：两个分母中出现的字母共有a、b、c三种：
字母a的次数分别为3和2，取最高次3；
字母b的次数分别为2和4，取最高次4；
字母c的次数均为1，取最高次1；
3. 将系数的最小公倍数与各字母的最高次幂相乘，可得最简公分母为$6× a^3× b^4× c=6a^3b^4c$。
【答案】$6a^3b^4c$
【知识点】最简公分母的确定
【点评】本题属于基础题，核心考查最简公分母的判定规则，熟练掌握“系数取最小公倍数、相同字母取最高次幂”的方法即可快速求解。
【难度系数】0.9
【解析】解：分别分析两个分式的分母组成部分：
1. 系数部分：两个分母的系数分别为2和6，二者的最小公倍数是6；
2. 字母部分：两个分母中出现的字母共有a、b、c三种：
字母a的次数分别为3和2，取最高次3；
字母b的次数分别为2和4，取最高次4；
字母c的次数均为1，取最高次1；
3. 将系数的最小公倍数与各字母的最高次幂相乘，可得最简公分母为$6× a^3× b^4× c=6a^3b^4c$。
【答案】$6a^3b^4c$
【知识点】最简公分母的确定
【点评】本题属于基础题，核心考查最简公分母的判定规则，熟练掌握“系数取最小公倍数、相同字母取最高次幂”的方法即可快速求解。
【难度系数】0.9
3. 已知 $ P = \frac{6a + 6}{a^2 - 2a + 1} $，$ Q = \frac{2}{a - 1} $，计算 $ P ÷ (1 + Q) = $
$\frac{6}{a-1}$
.答案
3.$\frac{6}{a-1}$
解析
【分析】
本题属于分式的混合运算题，解题时遵循先算括号内、再算括号外的运算顺序：首先先计算括号内的1+Q，将1通分为与Q同分母的分式后相加，得到括号内的化简结果；再将除法运算转化为乘法运算，同时对P的分子、分母先因式分解，最后通过约分得到最简结果即可。
【解析】
解：先计算括号内的部分：
$1 + Q = 1 + \frac{2}{a - 1}$
通分得：$1 + Q = \frac{a - 1}{a - 1} + \frac{2}{a - 1} = \frac{a - 1 + 2}{a - 1} = \frac{a + 1}{a - 1}$
再化简$P$：对$P$的分母用完全平方公式因式分解，分子提取公因式，得
$P = \frac{6a + 6}{a^2 - 2a + 1} = \frac{6(a + 1)}{(a - 1)^2}$
接下来计算$P÷(1+Q)$，将除法转化为乘以除数的倒数：
$P÷(1+Q) = \frac{6(a + 1)}{(a - 1)^2} ÷ \frac{a + 1}{a - 1} = \frac{6(a + 1)}{(a - 1)^2} × \frac{a - 1}{a + 1}$
约去分子分母的公因式$(a+1)$和$(a-1)$，得：
$P÷(1+Q) = \frac{6}{a - 1}$
【答案】
$\frac{6}{a-1}$
【知识点】
1.分式的混合运算
2.完全平方公式因式分解
3.分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，主要考查分式运算的顺序和化简技巧，计算时先处理括号内的运算、将除法转化为乘法后再约分，能简化计算过程，同时要注意分式中分母不能为0的隐含条件，确保运算有意义。
【难度系数】
0.8
本题属于分式的混合运算题，解题时遵循先算括号内、再算括号外的运算顺序：首先先计算括号内的1+Q，将1通分为与Q同分母的分式后相加，得到括号内的化简结果；再将除法运算转化为乘法运算，同时对P的分子、分母先因式分解，最后通过约分得到最简结果即可。
【解析】
解：先计算括号内的部分：
$1 + Q = 1 + \frac{2}{a - 1}$
通分得：$1 + Q = \frac{a - 1}{a - 1} + \frac{2}{a - 1} = \frac{a - 1 + 2}{a - 1} = \frac{a + 1}{a - 1}$
再化简$P$：对$P$的分母用完全平方公式因式分解，分子提取公因式，得
$P = \frac{6a + 6}{a^2 - 2a + 1} = \frac{6(a + 1)}{(a - 1)^2}$
接下来计算$P÷(1+Q)$，将除法转化为乘以除数的倒数：
$P÷(1+Q) = \frac{6(a + 1)}{(a - 1)^2} ÷ \frac{a + 1}{a - 1} = \frac{6(a + 1)}{(a - 1)^2} × \frac{a - 1}{a + 1}$
约去分子分母的公因式$(a+1)$和$(a-1)$，得：
$P÷(1+Q) = \frac{6}{a - 1}$
【答案】
$\frac{6}{a-1}$
【知识点】
1.分式的混合运算
2.完全平方公式因式分解
3.分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规基础题，主要考查分式运算的顺序和化简技巧，计算时先处理括号内的运算、将除法转化为乘法后再约分，能简化计算过程，同时要注意分式中分母不能为0的隐含条件，确保运算有意义。
【难度系数】
0.8
4. 若$\frac{3x-4}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{2-x}$，则$A+B=$
-1
.答案
4.-1
解析
【分析】
这是分式恒等变形类题目，解题思路如下：首先观察等式左右两边的分母，右边两个分式的公分母和左边分母相同，我们先将右边的两个分式通分合并为一个分式；因为左右两边分式相等且分母相同，所以分子必然相等，接下来通过对应系数相等或代入特殊值求出A、B的值，最后计算A+B即可。
【解析】
先将等式右边的分式变形并通分：
∵$\frac{B}{2-x}=-\frac{B}{x-2}$
∴右边$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{2-x}=\frac{A}{x-1}-\frac{B}{x-2}=\frac{A(x-2)-B(x-1)}{(x-1)(x-2)}$
已知等式左右两边分式相等且分母相同，因此分子相等：
$3x-4 = A(x-2)-B(x-1)$
方法1：对应系数相等求解
将右边展开整理得：
$3x-4=(A-B)x + (-2A+B)$
根据恒等式同次项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}A-B=3\\-2A+B=-4\end{cases}$
两式相加消去B，得：$-A=-1$，解得$A=1$
将$A=1$代入$A-B=3$，得$1-B=3$，解得$B=-2$
则$A+B=1+(-2)=-1$
方法2：特殊值代入求解
令$x=1$，代入分子等式得：$3×1-4=A(1-2)-B(1-1)$，即$-1=-A$，解得$A=1$
令$x=2$，代入分子等式得：$3×2-4=A(2-2)-B(2-1)$，即$2=-B$，解得$B=-2$
则$A+B=1+(-2)=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
分式通分，恒等变形，二元一次方程组解法
【点评】
本题是分式章节的典型常考题，核心考察分式的恒等变形能力，解题关键是利用同分母相等分式的分子相等建立等量关系，既可以通过系数对应列方程组求解，也可以用特殊值代入简化计算，灵活选择方法可提升解题效率。
【难度系数】
0.7
这是分式恒等变形类题目，解题思路如下：首先观察等式左右两边的分母，右边两个分式的公分母和左边分母相同，我们先将右边的两个分式通分合并为一个分式；因为左右两边分式相等且分母相同，所以分子必然相等，接下来通过对应系数相等或代入特殊值求出A、B的值，最后计算A+B即可。
【解析】
先将等式右边的分式变形并通分：
∵$\frac{B}{2-x}=-\frac{B}{x-2}$
∴右边$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{2-x}=\frac{A}{x-1}-\frac{B}{x-2}=\frac{A(x-2)-B(x-1)}{(x-1)(x-2)}$
已知等式左右两边分式相等且分母相同，因此分子相等：
$3x-4 = A(x-2)-B(x-1)$
方法1：对应系数相等求解
将右边展开整理得：
$3x-4=(A-B)x + (-2A+B)$
根据恒等式同次项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}A-B=3\\-2A+B=-4\end{cases}$
两式相加消去B，得：$-A=-1$，解得$A=1$
将$A=1$代入$A-B=3$，得$1-B=3$，解得$B=-2$
则$A+B=1+(-2)=-1$
方法2：特殊值代入求解
令$x=1$，代入分子等式得：$3×1-4=A(1-2)-B(1-1)$，即$-1=-A$，解得$A=1$
令$x=2$，代入分子等式得：$3×2-4=A(2-2)-B(2-1)$，即$2=-B$，解得$B=-2$
则$A+B=1+(-2)=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
分式通分，恒等变形，二元一次方程组解法
【点评】
本题是分式章节的典型常考题，核心考察分式的恒等变形能力，解题关键是利用同分母相等分式的分子相等建立等量关系，既可以通过系数对应列方程组求解，也可以用特殊值代入简化计算，灵活选择方法可提升解题效率。
【难度系数】
0.7
三、解答题
阅读下面的解题过程.
已知$\frac{x}{x^2 +1}=\frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4 +1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^2 +1}=\frac{1}{3}$知，$x≠0$. 所以$\frac{x^2 +1}{x}=3$，即$x+\frac{1}{x}=3$. ①
所以$\frac{x^4 +1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=3^2 -2=7$. ②
故$\frac{x^2}{x^4 +1}$的值为$\frac{1}{7}$.
(1)第②步$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2$运用了公式:________. (要求:用含$a,b$的式子表示)
【类比探究】
(2)上面的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题:
已知$\frac{x}{x^2 -3x +1}=-2$，求$\frac{x^2}{x^4 +5x^2 +1}$的值.
阅读下面的解题过程.
已知$\frac{x}{x^2 +1}=\frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4 +1}$的值.
解:由$\frac{x}{x^2 +1}=\frac{1}{3}$知，$x≠0$. 所以$\frac{x^2 +1}{x}=3$，即$x+\frac{1}{x}=3$. ①
所以$\frac{x^4 +1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=3^2 -2=7$. ②
故$\frac{x^2}{x^4 +1}$的值为$\frac{1}{7}$.
(1)第②步$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2$运用了公式:________. (要求:用含$a,b$的式子表示)
【类比探究】
(2)上面的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题:
已知$\frac{x}{x^2 -3x +1}=-2$，求$\frac{x^2}{x^4 +5x^2 +1}$的值.
答案
解：
(1) $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
(2) 由$\frac{x}{x^2 - 3x + 1}=-2$知，$x ≠ 0$，
两边取倒数得：$\frac{x^2 - 3x + 1}{x} = -\frac{1}{2}$，
即 $x - 3 + \frac{1}{x} = -\frac{1}{2}$，
整理得 $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$。
对所求式子的分母取倒数：
$\frac{x^4 + 5x^2 + 1}{x^2} = x^2 + 5 + \frac{1}{x^2}$
$= (x + \frac{1}{x})^2 - 2 + 5$
$= (\frac{5}{2})^2 + 3$
$= \frac{25}{4} + 3$
$= \frac{37}{4}$
故$\frac{x^2}{x^4 + 5x^2 + 1}$的值为$\frac{4}{37}$。
(1) $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
(2) 由$\frac{x}{x^2 - 3x + 1}=-2$知，$x ≠ 0$，
两边取倒数得：$\frac{x^2 - 3x + 1}{x} = -\frac{1}{2}$，
即 $x - 3 + \frac{1}{x} = -\frac{1}{2}$，
整理得 $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$。
对所求式子的分母取倒数：
$\frac{x^4 + 5x^2 + 1}{x^2} = x^2 + 5 + \frac{1}{x^2}$
$= (x + \frac{1}{x})^2 - 2 + 5$
$= (\frac{5}{2})^2 + 3$
$= \frac{25}{4} + 3$
$= \frac{37}{4}$
故$\frac{x^2}{x^4 + 5x^2 + 1}$的值为$\frac{4}{37}$。
解析
【分析】
(1) 结合完全平方公式的展开形式，对公式移项变形即可得到对应恒等式；
(2) 解题时首先根据已知分式的值不为0，判断x≠0，保证取倒数操作有意义。对已知等式两边取倒数，拆分整理可求出$x+\frac{1}{x}$的值；再对所求分式取倒数，拆分后利用完全平方公式的变形，将$x+\frac{1}{x}$的值代入计算，最后再取倒数即可得到所求式子的值。
【解析】
(1) 由完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，移项可得$a^2 + b^2=(a+b)^2-2ab$，即为第②步运用的公式。
(2) 由$\frac{x}{x^2 - 3x + 1}=-2$知$x≠0$（若x=0，左边值为0，与右边-2矛盾），
对等式两边取倒数得：$\frac{x^2 - 3x + 1}{x} = -\frac{1}{2}$，
拆分分式得：$x - 3 + \frac{1}{x} = -\frac{1}{2}$，
整理得：$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$。
对所求式子取倒数：
$\frac{x^4 + 5x^2 + 1}{x^2} = x^2 + 5 + \frac{1}{x^2}$
利用完全平方公式变形代入得：
$= (x + \frac{1}{x})^2 - 2 + 5$
$= (\frac{5}{2})^2 + 3$
$= \frac{25}{4} + 3 = \frac{37}{4}$
因此$\frac{x^2}{x^4 + 5x^2 + 1}$为$\frac{37}{4}$的倒数。
【答案】
(1) $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
(2) $\frac{4}{37}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 倒数法求值
3. 分式化简
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，倒数法是求解分子分母为同次齐次式的分式求值问题的常用技巧，解题时需先确认分母不为0保证倒数有意义，再通过公式降次简化计算，能有效降低运算难度。
【难度系数】
0.7
(1) 结合完全平方公式的展开形式，对公式移项变形即可得到对应恒等式；
(2) 解题时首先根据已知分式的值不为0，判断x≠0，保证取倒数操作有意义。对已知等式两边取倒数，拆分整理可求出$x+\frac{1}{x}$的值；再对所求分式取倒数，拆分后利用完全平方公式的变形，将$x+\frac{1}{x}$的值代入计算，最后再取倒数即可得到所求式子的值。
【解析】
(1) 由完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，移项可得$a^2 + b^2=(a+b)^2-2ab$，即为第②步运用的公式。
(2) 由$\frac{x}{x^2 - 3x + 1}=-2$知$x≠0$（若x=0，左边值为0，与右边-2矛盾），
对等式两边取倒数得：$\frac{x^2 - 3x + 1}{x} = -\frac{1}{2}$，
拆分分式得：$x - 3 + \frac{1}{x} = -\frac{1}{2}$，
整理得：$x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$。
对所求式子取倒数：
$\frac{x^4 + 5x^2 + 1}{x^2} = x^2 + 5 + \frac{1}{x^2}$
利用完全平方公式变形代入得：
$= (x + \frac{1}{x})^2 - 2 + 5$
$= (\frac{5}{2})^2 + 3$
$= \frac{25}{4} + 3 = \frac{37}{4}$
因此$\frac{x^2}{x^4 + 5x^2 + 1}$为$\frac{37}{4}$的倒数。
【答案】
(1) $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$
(2) $\frac{4}{37}$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 倒数法求值
3. 分式化简
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，倒数法是求解分子分母为同次齐次式的分式求值问题的常用技巧，解题时需先确认分母不为0保证倒数有意义，再通过公式降次简化计算，能有效降低运算难度。
【难度系数】
0.7
