一、单选题
1. 下列各式从左到右的变形正确的是()

A.$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a+b}$
B.$( \frac{3x}{2y} )^2 = \frac{3x^2}{2y^2}$
C.$\frac{a}{-a + b} = -\frac{1}{a + b}$
D.$\frac{a^2 -1}{a^2 + 2a +1} = \frac{a -1}{a +1}$

1.D

【分析】
这道题考查分式的各类变形正误判断，解题思路为逐个验证选项：先回忆分式的加减运算、乘方运算、基本性质、因式分解约分的相关规则，再逐一排查每个选项的变形是否符合规则，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：异分母分式相加需先通分，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}≠\frac{1}{a+b}$，故A错误；
B选项：分式乘方需将分子、分母分别乘方，$(\frac{3x}{2y})^2=\frac{(3x)^2}{(2y)^2}=\frac{9x^2}{4y^2}≠\frac{3x^2}{2y^2}$，故B错误；
C选项：先对分母变形，$-a+b=-(a-b)$，因此$\frac{a}{-a+b}=\frac{a}{-(a-b)}=-\frac{a}{a-b}≠-\frac{1}{a+b}$，故C错误；
D选项：先对分子分母因式分解，分子$a^2-1=(a+1)(a-1)$，分母$a^2+2a+1=(a+1)^2$，在分式有意义即$a+1≠0$的前提下，约去公因式$a+1$，可得$\frac{(a+1)(a-1)}{(a+1)^2}=\frac{a-1}{a+1}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、分式的运算、因式分解
【点评】
本题属于基础题型，重点考查分式变形的相关规则，解题时要注意分式运算的符号变化、乘方时系数也要同步乘方、约分前要先正确因式分解，掌握基础规则即可轻松作答。
【难度系数】
0.8

2. 若分式$\frac{x-2}{x+3}$的值是零，则实数$x$的值为（）

A.2
B.0
C.-2
D.-3

2.A

【分析】
要确定使分式值为0的x的值，需明确分式值为0的两个必要条件：一是分子的值为0，二是分母的值不能为0（保证分式有意义），二者缺一不可。解题时先根据分子为0求出x的可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的取值，即可得到正确结果。
【解析】
分式的值为0需同时满足两个条件：
1. 分子的值为0：即$x-2=0$，解得$x=2$；
2. 分母的值不为0：即$x+3≠0$，解得$x≠-3$。
将$x=2$代入分母验证：$2+3=5≠0$，符合分式值为0的要求。
对其余选项验证：选项B中$x=0$时，分式值为$-\frac{2}{3}≠0$；选项C中$x=-2$时，分式值为$-4≠0$；选项D中$x=-3$时分母为0，分式无意义，均不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
分式值为零的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，核心考查分式值为0的限制条件，易错点是容易忽略分母不能为0的要求，仅通过分子为0判断结果，解题时要牢记两个条件需同时满足。
【难度系数】
0.8

3.《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，■.”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈(1丈=10尺)，已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■.”设绫布有$x$尺，则可得方程为$120-\frac{896}{x}=\frac{896}{30-x}$.据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是()

A.每尺绫布比每尺罗布贵120文
B.每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C.每尺绫布和每尺罗布一共需要120文
D.每尺罗布比每尺绫布便宜30文

3.C

【分析】
解题时首先梳理题干已知条件：绫、罗总长度为3丈即30尺，设绫布长x尺，则罗布长(30-x)尺，二者售卖总价均为896文。首先根据“单价=总价÷数量”的关系，明确方程中两个分式的实际含义：$\frac{896}{x}$是每尺绫布的价格，$\frac{896}{30-x}$是每尺罗布的价格。再对给出的方程进行移项变形，推导对应的等量关系，即可匹配到正确的补充条件。
【解析】
首先进行单位换算：3丈=30尺。
已知绫布长$x$尺，则罗布长为$(30-x)$尺。
根据“单价=总价÷数量”可得：
每尺绫布的价格为$\frac{896}{x}$文，每尺罗布的价格为$\frac{896}{30-x}$文。
对题目给出的方程$120-\frac{896}{x}=\frac{896}{30-x}$移项可得：
$\frac{896}{x}+\frac{896}{30-x}=120$
该式的实际含义为：每尺绫布的价格与每尺罗布的价格之和为120文，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 分式方程的实际应用
2. 单价、总价、数量关系
【点评】
本题结合古代数学典籍的情境出题，核心是考查分式方程中代数式的实际意义，解题的关键是先明确每个分式对应的实际量，再通过等式变形推导等量关系，属于基础应用题，需要细心分析各量之间的关联。
【难度系数】
0.7

4. 如果 $a^2 - 2a -1 =0$，那么代数式$(\dfrac{4}{a} -a)·\dfrac{a^2}{a+2}$的值是()

A.-3
B.-1
C.1
D.3

4.B

【分析】
解题时先不要直接求解a的值，优先化简待求的代数式：第一步先对括号内的分式做减法运算，通分后结合平方差公式因式分解，再和后面的分式约分得到最简形式，最后观察已知等式的变形，用整体代入法计算即可得到结果，这样的思路能避免复杂计算，减少出错概率。
【解析】
先化简代数式：
1. 处理括号内的减法，通分得：
$(\dfrac{4}{a} - a) = \dfrac{4 - a^2}{a}$
2. 对分子因式分解，利用平方差公式$4 - a^2=(2-a)(2+a)$，再乘以后面的分式：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{(2-a)(2+a)}{a} · \dfrac{a^2}{a+2}\\&=\dfrac{(2-a)· \cancel{(a+2)} · a · \cancel{a}}{\cancel{a} · \cancel{(a+2)}}\\&=a(2-a)\\&=2a - a^2\end{aligned}$
3. 由已知$a^2 - 2a -1=0$，移项得$a^2 - 2a =1$，对化简后的式子变形：
$2a - a^2 = -(a^2 - 2a) = -1$
【答案】
B
【知识点】
分式化简求值，平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题考查分式运算与代数式求值的结合，核心是掌握先化简再求值的思路，运用整体代入的思想能大幅简化运算，避免直接求解参数带来的复杂计算。
【难度系数】
0.7

5. 若$x$为整数,则使分式$\dfrac{x^2 -9}{x^2}÷\dfrac{x -3}{x}$的值为整数的$x$有()

A.2个
B.3个
C.4个
D.无数个

5.B

【分析】
要解决这道题，需按照“先定取值范围→再化简分式→最后筛选符合条件的x”的思路思考：首先分式有意义的前提是分母、除数不为0，要先排除使原式无意义的x值；再将分式除法转化为乘法，利用因式分解约分得到最简形式；最后根据化简结果为整数、x为整数的要求，筛选出符合条件的x即可。
【解析】
首先确定原式有意义的条件：
分式分母不为0、除数不为0，因此：
1. $x^2≠0$，得$x≠0$；
2. 除数$\dfrac{x-3}{x}≠0$且$x≠0$，得$x-3≠0$，即$x≠3$。
接下来化简原式：
$\dfrac{x^2 -9}{x^2}÷\dfrac{x -3}{x} = \dfrac{x^2 -9}{x^2} × \dfrac{x}{x -3}$
利用平方差公式分解$x^2-9=(x+3)(x-3)$，代入得：
$=\dfrac{(x+3)(x-3)}{x^2} × \dfrac{x}{x-3}$
约分化简（$x≠3$可约去$x-3$，$x≠0$可约去1个$x$）：
$=\dfrac{x+3}{x} = 1 + \dfrac{3}{x}$
要求原式的值为整数，且x为整数，则$\dfrac{3}{x}$必须为整数，即x是3的整数约数，可能的取值为$\pm1、\pm3$。结合取值限制$x≠0$且$x≠3$，排除$x=3$，最终符合条件的x为1、-1、-3，共3个。
【答案】
B
【知识点】
分式的乘除运算，分式有意义的条件，平方差公式
【点评】
本题易错点是忽略分式有意义的限制条件，误将x=3计入符合条件的解，做题时要先确定自变量的取值范围，再筛选符合要求的解，避免出现增根。
【难度系数】
0.6

6. 为了练习分式的化简,张老师让同学们在分式$\frac{a^2}{a-2}$和$\frac{4a-4}{2-a}$的中间加上“+”“−”“×”“÷”四个运算符号中的任意一个后进行化简,若化简后的结果为$a-2$,则所加的运算符号为()

A.+
B.−
C.×
D.÷

6.A

【分析】
解题时可采用代入验证法：将四个运算符号依次代入两个分式之间，结合分式运算法则化简，判断结果是否为$a-2$。注意第二个分式的分母$2-a$与第一个分式的分母$a-2$互为相反数，可先对第二个分式变形简化计算，避免符号错误。
【解析】
先对第二个分式变形：$\frac{4a-4}{2-a}=-\frac{4a-4}{a-2}$，再逐个验证运算符号：
选项A（运算符号为“+”）：
原式$=\frac{a^2}{a-2}+\frac{4a-4}{2-a}$
$=\frac{a^2}{a-2}-\frac{4a-4}{a-2}$
$=\frac{a^2-(4a-4)}{a-2}$
$=\frac{a^2-4a+4}{a-2}$
$=\frac{(a-2)^2}{a-2}=a-2$，符合要求。
选项B（运算符号为“-”）：
原式$=\frac{a^2}{a-2}-\frac{4a-4}{2-a}=\frac{a^2+4a-4}{a-2}$，无法化简为$a-2$，不符合。
选项C（运算符号为“×”）：
原式$=\frac{a^2}{a-2}×\frac{4a-4}{2-a}=-\frac{4a^2(a-1)}{(a-2)^2}$，无法化简为$a-2$，不符合。
选项D（运算符号为“÷”）：
原式$=\frac{a^2}{a-2}÷\frac{4a-4}{2-a}=-\frac{a^2}{4(a-1)}$，无法化简为$a-2$，不符合。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的四则运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础应用题，通过代入验证即可求解，易错点是处理互为相反数的分母时符号变换错误，运算中结合因式分解约分能提高解题效率。
【难度系数】
0.7