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作业(九) 菱 形
一、选择题
一、选择题
答案
解：
1. 选项分析：
A. 有一个角是直角的四边形不一定满足菱形邻边相等的性质，错误；
B. 只有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，任意一组邻边相等的四边形不一定是菱形，错误；
C. 对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，任意对角线垂直的四边形不一定是菱形，错误；
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确。
答案：D
2. 解：
∵菱形周长为8cm，
∴菱形边长为 $ 8÷4=2\ \mathrm{cm} $。
设菱形高对应的内角为$α$，由高为1cm得：$\sinα=\frac{1}{2}$，即$α=30°$，
其邻角为 $ 180°-30°=150° $，
两邻角度数比为 $ 150°:30°=5:1 $。
答案：C
3. 解：
∵菱形ABCD周长为28，
∴边长 $ AD=AB=28÷4=7 $。
∵菱形对角线互相平分，∴O是BD中点，
又∵E为AD中点，∴OE是$△ ABD$的中位线，
∴$ OE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×7=3.5 $。
答案：A
4. 解：
∵四边形ABCD是菱形，∴$ AB=BC $，
又∵$ ∠ B=60° $，∴$△ ABC$是等边三角形，
∴$ AC=AB=4 $，
正方形ACEF的周长为 $ 4× AC=4×4=16 $。
答案：C
5. 解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴$ AC⊥ BD $，$ OA=\frac{1}{2}AC=3 $，$ OB=\frac{1}{2}BD=4 $，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$ AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5 $。
答案：A
1. 选项分析：
A. 有一个角是直角的四边形不一定满足菱形邻边相等的性质，错误；
B. 只有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，任意一组邻边相等的四边形不一定是菱形，错误；
C. 对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，任意对角线垂直的四边形不一定是菱形，错误；
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确。
答案：D
2. 解：
∵菱形周长为8cm，
∴菱形边长为 $ 8÷4=2\ \mathrm{cm} $。
设菱形高对应的内角为$α$，由高为1cm得：$\sinα=\frac{1}{2}$，即$α=30°$，
其邻角为 $ 180°-30°=150° $，
两邻角度数比为 $ 150°:30°=5:1 $。
答案：C
3. 解：
∵菱形ABCD周长为28，
∴边长 $ AD=AB=28÷4=7 $。
∵菱形对角线互相平分，∴O是BD中点，
又∵E为AD中点，∴OE是$△ ABD$的中位线，
∴$ OE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×7=3.5 $。
答案：A
4. 解：
∵四边形ABCD是菱形，∴$ AB=BC $，
又∵$ ∠ B=60° $，∴$△ ABC$是等边三角形，
∴$ AC=AB=4 $，
正方形ACEF的周长为 $ 4× AC=4×4=16 $。
答案：C
5. 解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴$ AC⊥ BD $，$ OA=\frac{1}{2}AC=3 $，$ OB=\frac{1}{2}BD=4 $，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$ AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5 $。
答案：A
解析
【分析】
本套选择题围绕菱形的核心知识点命题，解题思路如下：1. 做判定类题目（如第1题）时，需牢记菱形判定定理的前提条件，注意区分“四边形”和“平行四边形”的适用条件，逐一排查选项即可；2. 做性质应用类题目时，优先调用菱形“四边相等、对角线互相垂直平分”的基础性质，将题干给出的周长、对角线长度等条件转化为边长、直角三角形边长等已知量，再结合三角函数、三角形中位线、等边三角形判定、勾股定理等基础几何知识逐步推导计算。
【解析】
1. 选项分析：
A. 菱形要求邻边相等，有一个角是直角的四边形不满足邻边相等的性质，判定不成立，错误；
B. 只有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，仅邻边相等的普通四边形不一定是菱形，错误；
C. 只有对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，仅对角线垂直的普通四边形不一定是菱形，错误；
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此对角线互相垂直平分的四边形是菱形，判定成立，正确。
2. 已知菱形周长为8cm，菱形四边相等，因此边长为 $8÷4=2\ \mathrm{cm}$。
设高对应的内角为$α$，已知高为1cm，由正弦的定义得$\sinα=\frac{1}{2}$，即$α=30°$，
其邻角为 $180°-30°=150°$，因此两邻角度数比为 $150°:30°=5:1$。
3. 已知菱形ABCD周长为28，菱形四边相等，因此边长 $AD=AB=28÷4=7$。
菱形对角线互相平分，因此O是BD中点，又E为AD中点，因此OE是$△ ABD$的中位线，
根据中位线性质，$OE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×7=3.5$。
4. 已知四边形ABCD是菱形，因此$AB=BC$，又$∠ B=60°$，因此$△ ABC$是等边三角形，
因此$AC=AB=4$，正方形ACEF的周长为 $4× AC=4×4=16$。
5. 已知四边形ABCD是菱形，因此$AC⊥ BD$，$OA=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=\frac{1}{2}BD=4$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
【答案】
1.D 2.C 3.A 4.C 5.A
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本套题目属于菱形的基础巩固题型，侧重考查对菱形判定定理、基本性质的理解和简单应用，涉及的三角形相关知识均为基础内容，熟练掌握菱形的核心概念就能顺利作答。
【难度系数】
0.8
本套选择题围绕菱形的核心知识点命题，解题思路如下：1. 做判定类题目（如第1题）时，需牢记菱形判定定理的前提条件，注意区分“四边形”和“平行四边形”的适用条件，逐一排查选项即可；2. 做性质应用类题目时，优先调用菱形“四边相等、对角线互相垂直平分”的基础性质，将题干给出的周长、对角线长度等条件转化为边长、直角三角形边长等已知量，再结合三角函数、三角形中位线、等边三角形判定、勾股定理等基础几何知识逐步推导计算。
【解析】
1. 选项分析：
A. 菱形要求邻边相等，有一个角是直角的四边形不满足邻边相等的性质，判定不成立，错误；
B. 只有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，仅邻边相等的普通四边形不一定是菱形，错误；
C. 只有对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，仅对角线垂直的普通四边形不一定是菱形，错误；
D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此对角线互相垂直平分的四边形是菱形，判定成立，正确。
2. 已知菱形周长为8cm，菱形四边相等，因此边长为 $8÷4=2\ \mathrm{cm}$。
设高对应的内角为$α$，已知高为1cm，由正弦的定义得$\sinα=\frac{1}{2}$，即$α=30°$，
其邻角为 $180°-30°=150°$，因此两邻角度数比为 $150°:30°=5:1$。
3. 已知菱形ABCD周长为28，菱形四边相等，因此边长 $AD=AB=28÷4=7$。
菱形对角线互相平分，因此O是BD中点，又E为AD中点，因此OE是$△ ABD$的中位线，
根据中位线性质，$OE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×7=3.5$。
4. 已知四边形ABCD是菱形，因此$AB=BC$，又$∠ B=60°$，因此$△ ABC$是等边三角形，
因此$AC=AB=4$，正方形ACEF的周长为 $4× AC=4×4=16$。
5. 已知四边形ABCD是菱形，因此$AC⊥ BD$，$OA=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=\frac{1}{2}BD=4$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
【答案】
1.D 2.C 3.A 4.C 5.A
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本套题目属于菱形的基础巩固题型，侧重考查对菱形判定定理、基本性质的理解和简单应用，涉及的三角形相关知识均为基础内容，熟练掌握菱形的核心概念就能顺利作答。
【难度系数】
0.8
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （
A.对边相等
B.对角相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直
D
）A.对边相等
B.对角相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先要明确菱形是特殊的平行四边形，因此它具备平行四边形的所有通用性质，我们只需找出四个选项中属于菱形独有、普通平行四边形不具备的性质即可。先回忆两类图形的性质：普通平行四边形的性质有对边相等、对角相等、对角线互相平分；菱形除了具备以上性质外，还独有四条边相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角的性质，逐一比对选项就能选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
1. 选项A：对边相等是平行四边形的基本性质，菱形作为特殊平行四边形也具备该性质，不符合题意；
2. 选项B：对角相等是平行四边形的基本性质，菱形同样具备，不符合题意；
3. 选项C：对角线互相平分是平行四边形的基本性质，菱形也具备，不符合题意；
4. 选项D：对角线互相垂直是菱形的独有性质，一般平行四边形不具备该性质，符合题意。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；菱形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查普通平行四边形与菱形的性质差异，学习时要注意区分两类图形的通用性质和独有性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确菱形是特殊的平行四边形，因此它具备平行四边形的所有通用性质，我们只需找出四个选项中属于菱形独有、普通平行四边形不具备的性质即可。先回忆两类图形的性质：普通平行四边形的性质有对边相等、对角相等、对角线互相平分；菱形除了具备以上性质外，还独有四条边相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角的性质，逐一比对选项就能选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
1. 选项A：对边相等是平行四边形的基本性质，菱形作为特殊平行四边形也具备该性质，不符合题意；
2. 选项B：对角相等是平行四边形的基本性质，菱形同样具备，不符合题意；
3. 选项C：对角线互相平分是平行四边形的基本性质，菱形也具备，不符合题意；
4. 选项D：对角线互相垂直是菱形的独有性质，一般平行四边形不具备该性质，符合题意。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；菱形的性质
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查普通平行四边形与菱形的性质差异，学习时要注意区分两类图形的通用性质和独有性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.85
2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若AB=2,∠ABC=60°,则BD的长为
（
A.2
B.3
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
（
D
）A.2
B.3
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的相关性质：菱形四条边相等，对角线互相垂直且平分。结合已知条件∠ABC=60°、AB=2，可先判断△ABC是等边三角形，求出AC的长度，进而得到对角线AO的长度；再在Rt△AOB中利用勾股定理求出BO的长度，最后根据BD=2BO即可求出BD的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=2，AC⊥BD，BD=2BO，AO=$\frac{1}{2}$AC
又
∵∠ABC=60°，AB=BC
∴△ABC是等边三角形
∴AC=AB=2
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=1
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
BO=$\sqrt{AB^2 - AO^2}$=$\sqrt{2^2 - 1^2}$=$\sqrt{3}$
∴BD=2BO=2$\sqrt{3}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是菱形性质应用的基础题型，解题的关键是结合已知条件将菱形问题转化为等边三角形和直角三角形问题求解，是菱形相关考点的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆菱形的相关性质：菱形四条边相等，对角线互相垂直且平分。结合已知条件∠ABC=60°、AB=2，可先判断△ABC是等边三角形，求出AC的长度，进而得到对角线AO的长度；再在Rt△AOB中利用勾股定理求出BO的长度，最后根据BD=2BO即可求出BD的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=2，AC⊥BD，BD=2BO，AO=$\frac{1}{2}$AC
又
∵∠ABC=60°，AB=BC
∴△ABC是等边三角形
∴AC=AB=2
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=1
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
BO=$\sqrt{AB^2 - AO^2}$=$\sqrt{2^2 - 1^2}$=$\sqrt{3}$
∴BD=2BO=2$\sqrt{3}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是菱形性质应用的基础题型，解题的关键是结合已知条件将菱形问题转化为等边三角形和直角三角形问题求解，是菱形相关考点的常见考法。
【难度系数】
0.7
3.如图,将$△ ABC$沿$BC$方向平移得到$△ DCE$,连接$AD$,下列条件能够判定四边形$ACED$为菱形的是
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(\quad\quad)$
A.$AB=BC$
B.$AC=BC$
C.$∠ B=60°$
D.$∠ ACB=60°$
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(\quad\quad)$
A.$AB=BC$
B.$AC=BC$
C.$∠ B=60°$
D.$∠ ACB=60°$
答案
3.B
解析
【分析】
首先根据平移的性质判断四边形ACED的初始形状：平移后对应线段平行且相等，可得AD与CE平行且相等，因此四边形ACED首先是平行四边形。而菱形的判定定理为“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，因此只需找到能使平行四边形ACED一组邻边相等的条件即可，结合平移后BC=CE的性质，只要AC=BC，就可推出AC=CE，满足邻边相等的要求。
【解析】
解：
∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AD//BC，AD=BC，BC=CE，
∴AD=CE，且AD//CE，
∴四边形ACED是平行四边形。
根据菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴当AC=CE时，平行四边形ACED是菱形，
又
∵CE=BC，
∴当AC=BC时，AC=CE，此时四边形ACED为菱形。
对选项逐一判断：
A选项AB=BC无法推出AC=CE，不符合要求；
B选项AC=BC符合推导要求，符合题意；
C选项∠B=60°、D选项∠ACB=60°都无法推出平行四边形邻边相等，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质，平行四边形的判定，菱形的判定
【点评】
本题解题核心是先利用平移性质确定四边形为平行四边形，再结合菱形的判定条件反向推导需要满足的边的关系，属于基础几何判定类题型，需要熟练掌握特殊四边形的判定定理。
【难度系数】
0.7
首先根据平移的性质判断四边形ACED的初始形状：平移后对应线段平行且相等，可得AD与CE平行且相等，因此四边形ACED首先是平行四边形。而菱形的判定定理为“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，因此只需找到能使平行四边形ACED一组邻边相等的条件即可，结合平移后BC=CE的性质，只要AC=BC，就可推出AC=CE，满足邻边相等的要求。
【解析】
解：
∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AD//BC，AD=BC，BC=CE，
∴AD=CE，且AD//CE，
∴四边形ACED是平行四边形。
根据菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴当AC=CE时，平行四边形ACED是菱形，
又
∵CE=BC，
∴当AC=BC时，AC=CE，此时四边形ACED为菱形。
对选项逐一判断：
A选项AB=BC无法推出AC=CE，不符合要求；
B选项AC=BC符合推导要求，符合题意；
C选项∠B=60°、D选项∠ACB=60°都无法推出平行四边形邻边相等，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质，平行四边形的判定，菱形的判定
【点评】
本题解题核心是先利用平移性质确定四边形为平行四边形，再结合菱形的判定条件反向推导需要满足的边的关系，属于基础几何判定类题型，需要熟练掌握特殊四边形的判定定理。
【难度系数】
0.7
4.如图,菱形ABCD周长为20,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则OE的长是
(
A.2.5
B.3
C.4
D.5
(
A
)A.2.5
B.3
C.4
D.5
答案
4.A
解析
【分析】
解题时先从已知的菱形周长条件入手，回忆菱形四条边相等的性质，先计算出菱形的边长；再结合菱形对角线互相垂直的性质，得到△COD是直角三角形，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，即可求出OE的长度，也可通过三角形中位线定理求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，且AC⊥BD，即∠COD=90°，
∵菱形ABCD的周长为20，
∴CD = 20÷4 = 5，
∵E是CD的中点，在Rt△COD中，斜边上的中线等于斜边的一半，
∴OE = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$×5 = 2.5。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质；直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题属于基础几何题，将菱形的性质和直角三角形的性质结合考查，解题的关键是牢记相关图形的性质，能根据图形特征快速选择合适的性质完成计算。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的菱形周长条件入手，回忆菱形四条边相等的性质，先计算出菱形的边长；再结合菱形对角线互相垂直的性质，得到△COD是直角三角形，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，即可求出OE的长度，也可通过三角形中位线定理求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，且AC⊥BD，即∠COD=90°，
∵菱形ABCD的周长为20，
∴CD = 20÷4 = 5，
∵E是CD的中点，在Rt△COD中，斜边上的中线等于斜边的一半，
∴OE = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$×5 = 2.5。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质；直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题属于基础几何题，将菱形的性质和直角三角形的性质结合考查，解题的关键是牢记相关图形的性质，能根据图形特征快速选择合适的性质完成计算。
【难度系数】
0.8
5.如图,在$△ ABC$中,点$D$是$BC$的中点,点$E,F$分别在线段$AD$及其延长线上,且$DE=DF$.下列条件使四边形$BECF$为菱形的是 （
A.$BE ⊥ CE$
B.$BF // CE$
C.$BE=CF$
D.$AB=AC$
D
）A.$BE ⊥ CE$
B.$BF // CE$
C.$BE=CF$
D.$AB=AC$
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先根据已知条件判断四边形BECF的基础形状：已知D是BC中点可得BD=DC，结合DE=DF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可先确定四边形BECF是平行四边形。接下来要使平行四边形变为菱形，需要满足“邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件，逐一分析各选项是否能推出上述菱形判定条件即可。
【解析】
解：
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
又
∵DE=DF，
∴四边形BECF的对角线互相平分，即四边形BECF是平行四边形。
逐一分析选项：
A. 若BE⊥CE，则∠BEC=90°，有一个角为直角的平行四边形是矩形，不能判定为菱形，不符合要求；
B. 平行四边形的对边本身就互相平行，BF//CE是平行四边形BECF自带的性质，无法判定它是菱形，不符合要求；
C. 平行四边形的对边本身就相等，BE=CF是平行四边形BECF自带的性质，无法判定它是菱形，不符合要求；
D. 若AB=AC，△ABC是等腰三角形，又D是BC中点，根据等腰三角形“三线合一”可得AD⊥BC，即EF⊥BC，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此时四边形BECF是菱形，符合要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题是特殊四边形判定的典型题，解题的关键是先结合已知条件确定四边形的基础类型为平行四边形，再结合菱形的判定条件筛选选项，需要熟练掌握特殊四边形的判定定理和等腰三角形的性质。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知条件判断四边形BECF的基础形状：已知D是BC中点可得BD=DC，结合DE=DF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可先确定四边形BECF是平行四边形。接下来要使平行四边形变为菱形，需要满足“邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件，逐一分析各选项是否能推出上述菱形判定条件即可。
【解析】
解：
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
又
∵DE=DF，
∴四边形BECF的对角线互相平分，即四边形BECF是平行四边形。
逐一分析选项：
A. 若BE⊥CE，则∠BEC=90°，有一个角为直角的平行四边形是矩形，不能判定为菱形，不符合要求；
B. 平行四边形的对边本身就互相平行，BF//CE是平行四边形BECF自带的性质，无法判定它是菱形，不符合要求；
C. 平行四边形的对边本身就相等，BE=CF是平行四边形BECF自带的性质，无法判定它是菱形，不符合要求；
D. 若AB=AC，△ABC是等腰三角形，又D是BC中点，根据等腰三角形“三线合一”可得AD⊥BC，即EF⊥BC，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此时四边形BECF是菱形，符合要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题是特殊四边形判定的典型题，解题的关键是先结合已知条件确定四边形的基础类型为平行四边形，再结合菱形的判定条件筛选选项，需要熟练掌握特殊四边形的判定定理和等腰三角形的性质。
【难度系数】
0.7
6.如图所示,在菱形ABCD中,点M,N分别在边AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为 （
A.28°
B.52°
C.62°
D.72°
C
）A.28°
B.52°
C.62°
D.72°
答案
6.C
解析
【分析】
解题时先回忆菱形的相关性质，首先菱形对边平行、四条边相等、对角相等且对角线平分内角；首先利用AB//CD得到一组内错角相等，结合已知条件AM=CN和对顶角相等，可证明△AOM和△CON全等，推得O是AC的中点；再根据菱形四边相等可得AB=BC，利用等腰三角形三线合一的性质得到BO⊥AC；再由菱形对边平行推出∠BCA=∠DAC=28°，最后在直角三角形BOC中利用两锐角互余计算∠OBC的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=BC，
∴∠OAM=∠OCN，∠BCA=∠DAC=28°，
在△AOM和△CON中：
$\{\begin{array}{l}∠OAM=∠OCN \\AM=CN \\∠AOM=∠CON\end{array} $
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴AO=CO，即O为AC中点，
又
∵AB=BC，
∴BO⊥AC（等腰三角形三线合一），
∴∠BOC=90°，
在Rt△BOC中，∠OBC=90°-∠BCA=90°-28°=62°。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是菱形性质的常规应用题型，综合了三角形全等、等腰三角形性质的相关知识，解题的关键是通过全等推导得到O是AC中点，进而得到BO与AC的垂直关系，整体逻辑清晰，考查学生对基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆菱形的相关性质，首先菱形对边平行、四条边相等、对角相等且对角线平分内角；首先利用AB//CD得到一组内错角相等，结合已知条件AM=CN和对顶角相等，可证明△AOM和△CON全等，推得O是AC的中点；再根据菱形四边相等可得AB=BC，利用等腰三角形三线合一的性质得到BO⊥AC；再由菱形对边平行推出∠BCA=∠DAC=28°，最后在直角三角形BOC中利用两锐角互余计算∠OBC的度数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AD//BC，AB=BC，
∴∠OAM=∠OCN，∠BCA=∠DAC=28°，
在△AOM和△CON中：
$\{\begin{array}{l}∠OAM=∠OCN \\AM=CN \\∠AOM=∠CON\end{array} $
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴AO=CO，即O为AC中点，
又
∵AB=BC，
∴BO⊥AC（等腰三角形三线合一），
∴∠BOC=90°，
在Rt△BOC中，∠OBC=90°-∠BCA=90°-28°=62°。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是菱形性质的常规应用题型，综合了三角形全等、等腰三角形性质的相关知识，解题的关键是通过全等推导得到O是AC中点，进而得到BO与AC的垂直关系，整体逻辑清晰，考查学生对基础性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
7.如图,分别以$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边$AB$、直角边$AC$为边向$△ ABC$外作等边三角形$ABD$和等边三角形$ACE$,$F$为$AB$的中点,$DE$与$AB$交于点$G$,$EF$与$AC$交于点$H$,$∠ ACB=90°$,
$∠ BAC=30°$.给出如下结论:①$EF ⊥ AC$;②四边形$ADFE$为菱形;③$AD=4AG$;④$FH=\dfrac{1}{4}BD$,其中正确的是 （
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
$∠ BAC=30°$.给出如下结论:①$EF ⊥ AC$;②四边形$ADFE$为菱形;③$AD=4AG$;④$FH=\dfrac{1}{4}BD$,其中正确的是 （
C
）A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
答案
7.C
解析
【分析】
我们需要逐个判断4个结论的正确性，结合直角三角形、等边三角形的性质，通过全等三角形判定、平行四边形和菱形的判定、中位线定理依次分析每个结论，先排除错误结论，再验证剩余结论即可得到答案。首先利用等边三角形边、角相等的特性，结合直角三角形30°角的性质判断①；再对比四边形ADFE的邻边长度判断是否为菱形；接着利用平行四边形对角线平分的性质判断③；最后用中位线定理判断④。
【解析】
已知$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠BAC=30°$，因此$AB=2BC$，即$BC=\frac{1}{2}AB$。
$\because△ACE$是等边三角形，$\therefore AE=AC$，$∠EAC=60°$，可得$∠EAF=∠EAC+∠BAC=60°+30°=90°$。
$\because F$为$AB$中点，$\therefore AF=\frac{1}{2}AB$，即$AF=BC$。
1. 判断①：在$△ EAF$和$△ ACB$中，$\{\begin{array}{l}AE=AC\\∠EAF=∠ACB=90°\\AF=BC\end{array} $，$\therefore△ EAF≌△ ACB(\mathrm{SAS})$，得$∠AEF=∠BAC=30°$。在$△ AEH$中，$∠AHE=180°-∠EAC-∠AEF=180°-60°-30°=90°$，即$EF⊥AC$，①正确。
2. 判断②：$\because△ABD$是等边三角形，$\therefore AD=AB$，由$△ EAF≌△ ACB$得$EF=AB$，因此$EF=AD$。又$∠ DAF=∠ BAD+∠ BAC=60°+30°=90°=∠ EAF$，$\therefore AD// EF$，四边形$ADFE$是平行四边形。但$AE=AC$，$AD=AB$，$\mathrm{Rt}△ABC$中$AB≠AC$，即$AD≠AE$，邻边不相等，因此不是菱形，②错误。
3. 判断③：$\because$四边形$ADFE$是平行四边形，对角线$AF$、$DE$互相平分，$\therefore G$是$AF$中点，即$AF=2AG$。又$F$是$AB$中点，$AB=2AF$，因此$AB=4AG$，$\because AD=AB$，$\therefore AD=4AG$，③正确。
4. 判断④：$\because△ACE$是等边三角形，$EF⊥AC$，$\therefore H$是$AC$中点，又$F$是$AB$中点，$\therefore FH$是$△ABC$的中位线，得$FH=\frac{1}{2}BC$。$\because BC=\frac{1}{2}AB$，$BD=AB$，因此$FH=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BD=\frac{1}{4}BD$，④正确。
综上，正确结论为①③④。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形性质，平行四边形判定与性质，三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查了特殊三角形和平行四边形、菱形的相关知识点，解题时可先通过排除错误结论缩小选项范围，再逐一验证剩余结论，需要熟练掌握各类特殊图形的性质并灵活应用。
【难度系数】
0.65
我们需要逐个判断4个结论的正确性，结合直角三角形、等边三角形的性质，通过全等三角形判定、平行四边形和菱形的判定、中位线定理依次分析每个结论，先排除错误结论，再验证剩余结论即可得到答案。首先利用等边三角形边、角相等的特性，结合直角三角形30°角的性质判断①；再对比四边形ADFE的邻边长度判断是否为菱形；接着利用平行四边形对角线平分的性质判断③；最后用中位线定理判断④。
【解析】
已知$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠BAC=30°$，因此$AB=2BC$，即$BC=\frac{1}{2}AB$。
$\because△ACE$是等边三角形，$\therefore AE=AC$，$∠EAC=60°$，可得$∠EAF=∠EAC+∠BAC=60°+30°=90°$。
$\because F$为$AB$中点，$\therefore AF=\frac{1}{2}AB$，即$AF=BC$。
1. 判断①：在$△ EAF$和$△ ACB$中，$\{\begin{array}{l}AE=AC\\∠EAF=∠ACB=90°\\AF=BC\end{array} $，$\therefore△ EAF≌△ ACB(\mathrm{SAS})$，得$∠AEF=∠BAC=30°$。在$△ AEH$中，$∠AHE=180°-∠EAC-∠AEF=180°-60°-30°=90°$，即$EF⊥AC$，①正确。
2. 判断②：$\because△ABD$是等边三角形，$\therefore AD=AB$，由$△ EAF≌△ ACB$得$EF=AB$，因此$EF=AD$。又$∠ DAF=∠ BAD+∠ BAC=60°+30°=90°=∠ EAF$，$\therefore AD// EF$，四边形$ADFE$是平行四边形。但$AE=AC$，$AD=AB$，$\mathrm{Rt}△ABC$中$AB≠AC$，即$AD≠AE$，邻边不相等，因此不是菱形，②错误。
3. 判断③：$\because$四边形$ADFE$是平行四边形，对角线$AF$、$DE$互相平分，$\therefore G$是$AF$中点，即$AF=2AG$。又$F$是$AB$中点，$AB=2AF$，因此$AB=4AG$，$\because AD=AB$，$\therefore AD=4AG$，③正确。
4. 判断④：$\because△ACE$是等边三角形，$EF⊥AC$，$\therefore H$是$AC$中点，又$F$是$AB$中点，$\therefore FH$是$△ABC$的中位线，得$FH=\frac{1}{2}BC$。$\because BC=\frac{1}{2}AB$，$BD=AB$，因此$FH=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BD=\frac{1}{4}BD$，④正确。
综上，正确结论为①③④。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形性质，平行四边形判定与性质，三角形中位线定理
【点评】
本题综合考查了特殊三角形和平行四边形、菱形的相关知识点，解题时可先通过排除错误结论缩小选项范围，再逐一验证剩余结论，需要熟练掌握各类特殊图形的性质并灵活应用。
【难度系数】
0.65
