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8.如图,把一个长方形的纸片对折两次(折痕互相垂直且交点为O),然后剪下一个角,为了得到一个锐角为$60°$的菱形,剪口与折痕所成的角$α$的度数应为________.
答案
8.30°或60°
解析
【分析】
首先明确长方形对折两次后，两条互相垂直的折痕是剪下图形展开后菱形的两条对角线，且菱形的对角线平分每组内角。要得到锐角为60°的菱形，需结合菱形内角的度数，利用对角线平分内角的性质，分两种情况计算剪口与折痕的夹角α即可。
【解析】
长方形对折两次后，得到的两条折痕互相垂直平分，剪下一个角展开后得到的四边形为菱形，两条折痕就是该菱形的对角线。
已知菱形的锐角为60°，则菱形的两组内角度数分别为60°、120°。
根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组内角，因此：
① 当α平分的是60°的内角时，$α = \frac{1}{2} × 60° = 30°$；
② 当α平分的是120°的内角时，$α = \frac{1}{2} × 120° = 60°$。
综上，剪口与折痕所成的角α为30°或60°。
【答案】
30°或60°
【知识点】
菱形的性质；折叠的性质
【点评】
本题结合折叠操作考查菱形的相关性质，解题时需明确折痕与菱形对角线的对应关系，注意分两种情况讨论内角的平分情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先明确长方形对折两次后，两条互相垂直的折痕是剪下图形展开后菱形的两条对角线，且菱形的对角线平分每组内角。要得到锐角为60°的菱形，需结合菱形内角的度数，利用对角线平分内角的性质，分两种情况计算剪口与折痕的夹角α即可。
【解析】
长方形对折两次后，得到的两条折痕互相垂直平分，剪下一个角展开后得到的四边形为菱形，两条折痕就是该菱形的对角线。
已知菱形的锐角为60°，则菱形的两组内角度数分别为60°、120°。
根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组内角，因此：
① 当α平分的是60°的内角时，$α = \frac{1}{2} × 60° = 30°$；
② 当α平分的是120°的内角时，$α = \frac{1}{2} × 120° = 60°$。
综上，剪口与折痕所成的角α为30°或60°。
【答案】
30°或60°
【知识点】
菱形的性质；折叠的性质
【点评】
本题结合折叠操作考查菱形的相关性质，解题时需明确折痕与菱形对角线的对应关系，注意分两种情况讨论内角的平分情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
9.如图,在菱形ABCD中,BD=6,E,F分别是AB,BC的中点,且EF=2,则菱形ABCD的面积为
12
.答案
9.12
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：E、F是AB、BC的中点，优先联想到三角形中位线定理，可通过EF的长度求出菱形的另一条对角线AC的长度；再结合菱形的面积计算公式：对角线乘积的一半，代入已知的BD长度和求出的AC长度，即可计算出菱形的面积。
【解析】
解：
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AC$，
已知$EF=2$，代入得$AC=2EF=2×2=4$，
∵四边形ABCD是菱形，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，且$BD=6$，
∴$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×4×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
三角形中位线定理，菱形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是结合三角形中位线定理求出菱形未知对角线的长度，再代入菱形面积公式求解，熟练掌握相关性质和公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：E、F是AB、BC的中点，优先联想到三角形中位线定理，可通过EF的长度求出菱形的另一条对角线AC的长度；再结合菱形的面积计算公式：对角线乘积的一半，代入已知的BD长度和求出的AC长度，即可计算出菱形的面积。
【解析】
解：
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF=\frac{1}{2}AC$，
已知$EF=2$，代入得$AC=2EF=2×2=4$，
∵四边形ABCD是菱形，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，且$BD=6$，
∴$S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×4×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
三角形中位线定理，菱形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是结合三角形中位线定理求出菱形未知对角线的长度，再代入菱形面积公式求解，熟练掌握相关性质和公式是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥BC,垂足为点E,则OE=
$\dfrac{12}{5}$
.答案
10.$\dfrac{12}{5}$
解析
【分析】
解题时先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，得到Rt△BOC的两条直角边OB、OC的长度；再通过勾股定理计算出BC的长度；最后利用△OBC面积的两种表达形式（用直角边计算、用底BC和高OE计算）建立等式，即可求出OE的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6
∴菱形对角线互相垂直平分，可得：
$OC=\frac{1}{2}AC=4$，$OB=\frac{1}{2}BD=3$，且$AC⊥BD$，即$∠ BOC=90°$
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∵$OE⊥BC$，△BOC的面积可通过两种方式计算：
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OB× OC=\frac{1}{2}× BC× OE$
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× OE$
化简得：$12=5OE$，解得$OE=\frac{12}{5}$
【答案】
$\dfrac{12}{5}$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，等面积法
【点评】
本题是菱形性质应用的典型基础题，将菱形对角线的特性、勾股定理和等面积法结合考查，解题的关键是灵活运用面积法建立待求线段和已知线段的关系，掌握这类方法能快速解决同类求垂线段长度的问题。
【难度系数】
0.7
解题时先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，得到Rt△BOC的两条直角边OB、OC的长度；再通过勾股定理计算出BC的长度；最后利用△OBC面积的两种表达形式（用直角边计算、用底BC和高OE计算）建立等式，即可求出OE的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6
∴菱形对角线互相垂直平分，可得：
$OC=\frac{1}{2}AC=4$，$OB=\frac{1}{2}BD=3$，且$AC⊥BD$，即$∠ BOC=90°$
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∵$OE⊥BC$，△BOC的面积可通过两种方式计算：
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}× OB× OC=\frac{1}{2}× BC× OE$
代入数值：$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× OE$
化简得：$12=5OE$，解得$OE=\frac{12}{5}$
【答案】
$\dfrac{12}{5}$
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，等面积法
【点评】
本题是菱形性质应用的典型基础题，将菱形对角线的特性、勾股定理和等面积法结合考查，解题的关键是灵活运用面积法建立待求线段和已知线段的关系，掌握这类方法能快速解决同类求垂线段长度的问题。
【难度系数】
0.7
11.如图,在菱形ABCD中,AB=AC=10,对角线AC,BD相交于点O,点M在线段AC上,且AM=3,点P为线段BD上的一个动点,则$MP+\frac{1}{2}PB$的最小值是
$\dfrac{7\sqrt{3}}{2}$
.答案
11.$\dfrac{7\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
本题是带系数的线段和最小值问题，解题思路如下：①先利用菱形四边相等的性质，结合已知AB=AC，推出△ABC是等边三角形，得到∠ACB=60°，且菱形对角线BD平分∠ABC，可得∠PBC=30°；②利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，将$\frac{1}{2}PB$转化为点P到BC的垂线段长PF，此时待求式$MP+\frac{1}{2}PB$转化为$MP+PF$；③根据“垂线段最短”，可知当M、P、F三点共线且MF垂直BC时，$MP+PF$最小，最小值即为点M到BC的垂线段长度，最后利用勾股定理计算该长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AB=BC$，对角线BD平分$∠ ABC$。
又
∵$AB=AC=10$，
∴$AB=BC=AC=10$，即$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ ACB=60°$，$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$。
过点P作$PF⊥ BC$于点F，在$Rt△ PBF$中，$∠ PBF=30°$，
∴$PF=\frac{1}{2}PB$，
则$MP+\frac{1}{2}PB=MP+PF$。
根据垂线段最短，当M、P、F三点共线且$MF⊥ BC$时，$MP+PF$取得最小值，最小值为MF的长度。
∵$AC=10$，$AM=3$，
∴$MC=AC-AM=7$。
在$Rt△ MFC$中，$∠ MCF=60°$，
∴$∠ CMF=30°$，
∴$CF=\frac{1}{2}MC=\frac{7}{2}$。
由勾股定理得：
$MF=\sqrt{MC^2-CF^2}=\sqrt{7^2-(\frac{7}{2})^2}=\sqrt{\frac{147}{4}}=\frac{7\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{7\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；最短路径问题
【点评】
本题的核心是通过特殊直角三角形的性质转化带系数的线段，将陌生的带系数最短路径问题转化为熟悉的垂线段最短问题，考查学生的转化思想和几何综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题是带系数的线段和最小值问题，解题思路如下：①先利用菱形四边相等的性质，结合已知AB=AC，推出△ABC是等边三角形，得到∠ACB=60°，且菱形对角线BD平分∠ABC，可得∠PBC=30°；②利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”，将$\frac{1}{2}PB$转化为点P到BC的垂线段长PF，此时待求式$MP+\frac{1}{2}PB$转化为$MP+PF$；③根据“垂线段最短”，可知当M、P、F三点共线且MF垂直BC时，$MP+PF$最小，最小值即为点M到BC的垂线段长度，最后利用勾股定理计算该长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AB=BC$，对角线BD平分$∠ ABC$。
又
∵$AB=AC=10$，
∴$AB=BC=AC=10$，即$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ ACB=60°$，$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$。
过点P作$PF⊥ BC$于点F，在$Rt△ PBF$中，$∠ PBF=30°$，
∴$PF=\frac{1}{2}PB$，
则$MP+\frac{1}{2}PB=MP+PF$。
根据垂线段最短，当M、P、F三点共线且$MF⊥ BC$时，$MP+PF$取得最小值，最小值为MF的长度。
∵$AC=10$，$AM=3$，
∴$MC=AC-AM=7$。
在$Rt△ MFC$中，$∠ MCF=60°$，
∴$∠ CMF=30°$，
∴$CF=\frac{1}{2}MC=\frac{7}{2}$。
由勾股定理得：
$MF=\sqrt{MC^2-CF^2}=\sqrt{7^2-(\frac{7}{2})^2}=\sqrt{\frac{147}{4}}=\frac{7\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\dfrac{7\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；最短路径问题
【点评】
本题的核心是通过特殊直角三角形的性质转化带系数的线段，将陌生的带系数最短路径问题转化为熟悉的垂线段最短问题，考查学生的转化思想和几何综合运用能力。
【难度系数】
0.6
12.如图,在菱形 ABCD 中,E,F 分别是边 AB,BC 上的点,且 $AE=CF$,求证:$AF=CE$.
答案
12.$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$\therefore AB=BC$，$\because AE=CF$，$\therefore AB-AE=BC-CF$，即 $BE=BF$，在 $△ ABF$ 和 $△ CBE$ 中，
$\begin{cases}AB=CB,\\∠ B=∠ B,\\BF=BE.\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ CBE (\mathrm{SAS})$，$\therefore AF=CE$
$\begin{cases}AB=CB,\\∠ B=∠ B,\\BF=BE.\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ CBE (\mathrm{SAS})$，$\therefore AF=CE$
解析
【分析】
要证明AF=CE，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先由菱形的性质可得邻边AB=BC，结合已知AE=CF，可推出BE=BF；观察可知AF在△ABF中，CE在△CBE中，两个三角形有公共角∠B，已具备两边及其夹角对应相等的条件，可通过SAS判定两三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC，
∵ AE=CF，
∴ AB - AE = BC - CF，即BE=BF，
在△ABF和△CBE中：
$\begin{cases}AB=CB, \\∠B=∠B, \\BF=BE.\end{cases}$
∴ △ABF ≌ △CBE（SAS），
∴ AF=CE。
【答案】
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$\therefore AB=BC$，$\because AE=CF$，$\therefore AB-AE=BC-CF$，即 $BE=BF$，在 $△ ABF$ 和 $△ CBE$ 中，
$\begin{cases}AB=CB,\\∠ B=∠ B,\\BF=BE.\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ CBE (\mathrm{SAS})$，$\therefore AF=CE$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题核心是熟练掌握菱形的边的性质，结合已知条件构造全等三角形，通过证三角形全等得到对应边相等是证明线段相等的常用方法。
【难度系数】
0.8
要证明AF=CE，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先由菱形的性质可得邻边AB=BC，结合已知AE=CF，可推出BE=BF；观察可知AF在△ABF中，CE在△CBE中，两个三角形有公共角∠B，已具备两边及其夹角对应相等的条件，可通过SAS判定两三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
证明：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC，
∵ AE=CF，
∴ AB - AE = BC - CF，即BE=BF，
在△ABF和△CBE中：
$\begin{cases}AB=CB, \\∠B=∠B, \\BF=BE.\end{cases}$
∴ △ABF ≌ △CBE（SAS），
∴ AF=CE。
【答案】
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$\therefore AB=BC$，$\because AE=CF$，$\therefore AB-AE=BC-CF$，即 $BE=BF$，在 $△ ABF$ 和 $△ CBE$ 中，
$\begin{cases}AB=CB,\\∠ B=∠ B,\\BF=BE.\end{cases}$
$\therefore △ ABF ≌ △ CBE (\mathrm{SAS})$，$\therefore AF=CE$
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题核心是熟练掌握菱形的边的性质，结合已知条件构造全等三角形，通过证三角形全等得到对应边相等是证明线段相等的常用方法。
【难度系数】
0.8
13.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且∠ACD=30°,BD=4,求菱形ABCD的面积.
答案
13.$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$\therefore OA=OC=\dfrac{1}{2}AC$，$OD=\dfrac{1}{2}BD=2$，$AC ⊥ BD$，$\therefore ∠ COD=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$\because ∠ ACD=30°$，$\therefore CD=2OD=4$，
$OC=\sqrt{CD^2-OD^2}=2\sqrt{3}$，$\therefore AC=2OC=4\sqrt{3}$，
$\therefore S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\dfrac{1}{2}AC · BD=\dfrac{1}{2} × 4\sqrt{3} × 4=8\sqrt{3}$
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$\because ∠ ACD=30°$，$\therefore CD=2OD=4$，
$OC=\sqrt{CD^2-OD^2}=2\sqrt{3}$，$\therefore AC=2OC=4\sqrt{3}$，
$\therefore S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\dfrac{1}{2}AC · BD=\dfrac{1}{2} × 4\sqrt{3} × 4=8\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先结合菱形的性质分析已知条件：首先菱形的对角线互相垂直且平分，据此可得到OD的长度与直角△COD；接下来在Rt△OCD中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出CD，再通过勾股定理算出OC的长度，即可得到对角线AC的总长度；最后根据菱形面积等于对角线乘积的一半的公式，代入数值计算即可。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是菱形，$\therefore OA=OC=\dfrac{1}{2}AC$，$OD=\dfrac{1}{2}BD=2$，$AC ⊥ BD$，$\therefore ∠ COD=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$\because ∠ ACD=30°$，$\therefore CD=2OD=4$，
$OC=\sqrt{CD^2-OD^2}=2\sqrt{3}$，$\therefore AC=2OC=4\sqrt{3}$，
$\therefore S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\dfrac{1}{2}AC · BD=\dfrac{1}{2} × 4\sqrt{3} × 4=8\sqrt{3}$
【答案】
$8\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质；含30°角的直角三角形的性质；菱形面积计算
【点评】
本题属于几何基础应用题，重点考查菱形性质与特殊直角三角形性质的结合应用，解题核心是熟练掌握菱形对角线的相关性质，结合已知角度求出未知对角线的长度，再代入面积公式即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合菱形的性质分析已知条件：首先菱形的对角线互相垂直且平分，据此可得到OD的长度与直角△COD；接下来在Rt△OCD中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出CD，再通过勾股定理算出OC的长度，即可得到对角线AC的总长度；最后根据菱形面积等于对角线乘积的一半的公式，代入数值计算即可。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是菱形，$\therefore OA=OC=\dfrac{1}{2}AC$，$OD=\dfrac{1}{2}BD=2$，$AC ⊥ BD$，$\therefore ∠ COD=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$\because ∠ ACD=30°$，$\therefore CD=2OD=4$，
$OC=\sqrt{CD^2-OD^2}=2\sqrt{3}$，$\therefore AC=2OC=4\sqrt{3}$，
$\therefore S_{\mathrm{菱形}ABCD}=\dfrac{1}{2}AC · BD=\dfrac{1}{2} × 4\sqrt{3} × 4=8\sqrt{3}$
【答案】
$8\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质；含30°角的直角三角形的性质；菱形面积计算
【点评】
本题属于几何基础应用题，重点考查菱形性质与特殊直角三角形性质的结合应用，解题核心是熟练掌握菱形对角线的相关性质，结合已知角度求出未知对角线的长度，再代入面积公式即可求解。
【难度系数】
0.7
