14.如图,四边形ABCD是菱形,$CE ⊥ AB$交AB的延长线于点E,$CF ⊥ AD$交AD的延长线于点F,求证:$DF=BE$.

14.连接 $AC$，$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$\therefore AC$ 平分 $∠ DAE$，$CD = BC$，$\because CE ⊥ AB$，$CF ⊥ AD$，
$\therefore CE=FC$，$∠ CFD=∠ CEB=90°$.在$\mathrm{Rt}△ CDF$和$\mathrm{Rt}△ CBE$中，$\begin{cases}CD=CB,\\CF=CE,\end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ CDF ≌ \mathrm{Rt}△ CBE$，
$\therefore DF=BE$

【分析】
要证明DF=BE，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等求解。首先观察图形可知DF、BE分别在Rt△CDF和Rt△CBE中，结合已知菱形的条件，先连接AC，利用菱形对角线平分一组对角的性质，可得AC是∠DAE的角平分线，再结合CE⊥AB、CF⊥AD的条件，由角平分线的性质可得CE=CF，再结合菱形邻边相等得到CD=CB，即可用HL定理证明两个直角三角形全等，从而得到对应边相等的结论。
【解析】
证明：连接$AC$，
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
$\therefore AC$ 平分 $∠ DAE$，$CD = BC$，
$\because CE ⊥ AB$，$CF ⊥ AD$，
$\therefore$ 由角平分线的性质可得$CE=CF$，且$∠ CFD=∠ CEB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$和$\mathrm{Rt}△ CBE$中，
$\begin{cases}CD=CB,\\CF=CE,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CDF ≌ \mathrm{Rt}△ CBE$（HL），
$\therefore DF=BE$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$DF=BE$
【知识点】
菱形的性质；角平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是菱形相关证明的典型题型，解题关键是合理添加辅助线AC构造角平分线，结合角平分线性质得到全等需要的等线段，再通过证明直角三角形全等得到待证的线段相等，有助于巩固几何证明中“证线段相等先证三角形全等”的常用思路。
【难度系数】
0.7

15.在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ BAC=90°$，$D$ 是 $BC$ 的中点，$E$ 是 $AD$ 的中点，过点 $A$ 作 $AF // BC$ 交 $CE$ 的延长线于点 $F$.
(1)求证:四边形 $ADBF$ 是菱形；
(2)若 $AB=8$，菱形 $ADBF$ 的面积为 $40$.求 $AC$ 的长.

15.(1) $\because AF // BC$，$\therefore ∠ AFC=∠ FCD$，$∠ FAE=∠ CDE$，$\because$ 点 $E$ 是 $AD$ 的中点，
$\therefore AE=DE$，$\therefore △ FAE ≌ △ CDE (\mathrm{AAS})$，$\therefore AF=CD$，$\because$ 点 $D$ 是 $BC$ 的中点，$\therefore BD=CD$，$\therefore AF=BD$，$\therefore$ 四边形 $ADBF$ 是平行四边形，$\because ∠ BAC=90°$，$D$ 是 $BC$ 的中点，$\therefore AD=BD=\dfrac{1}{2}BC$，$\therefore$ 四边形 $ADBF$ 是菱形
(2) $\because$ 四边形 $ADBF$ 是菱形，$\therefore S_{\mathrm{菱形}ADBF}=2S_{△ ABD}$，$\because$ 点 $D$ 是 $BC$ 的中点，
$\therefore S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}$，$\therefore S_{\mathrm{菱形}ADBF}=S_{△ ABC}=40$，
$\therefore \dfrac{1}{2}AB · AC=40$，$\because AB=8$，$\therefore AC=10$

【分析】
(1) 要证明四边形ADBF是菱形，遵循“先证平行四边形，再证邻边相等”的思路：首先利用AF//BC和E是AD中点的条件，通过AAS证明△FAE≌△CDE，得到AF=CD；结合D是BC中点推出AF与BD平行且相等，即可证得四边形是平行四边形；再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到AD=BD，即可证明平行四边形为菱形。
(2) 求AC的长时，先推导面积关系：D是BC中点，因此△ABC的面积等于2倍△ABD的面积，而菱形ADBF的面积也等于2倍△ABD的面积，因此菱形面积与△ABC面积相等，代入直角三角形面积公式即可求出AC的长度。
【解析】
(1) 证明：
$\because AF// BC$，
$\therefore ∠ AFC=∠ FCD$，$∠ FAE=∠ CDE$，
$\because E$是$AD$的中点，
$\therefore AE=DE$，
在$△ FAE$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠ AFC=∠ FCD \\∠ FAE=∠ CDE \\AE=DE\end{cases}$
$\therefore △ FAE≌△ CDE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AF=CD$，
$\because D$是$BC$的中点，
$\therefore BD=CD$，
$\therefore AF=BD$，
又$\because AF// BD$，
$\therefore$四边形$ADBF$是平行四边形，
$\because ∠ BAC=90°$，$D$是$BC$的中点，
$\therefore AD=BD=\dfrac{1}{2}BC$，
$\therefore$平行四边形$ADBF$是菱形。
(2) 解：
$\because$四边形$ADBF$是菱形，
$\therefore S_{\mathrm{菱形}ADBF}=2S_{△ ABD}$，
$\because D$是$BC$的中点，
$\therefore S_{△ ABC}=2S_{△ ABD}$，
$\therefore S_{\mathrm{菱形}ADBF}=S_{△ ABC}=40$，
$\because \mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ BAC=90°$，
$\therefore S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· AC=40$，
将$AB=8$代入得：$\dfrac{1}{2}×8× AC=40$，
解得$AC=10$。
【答案】
(1) 四边形$ADBF$是菱形，证明成立；
(2) $AC$的长为$\boxed{10}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，结合了全等三角形、直角三角形、菱形的核心知识点，解题关键是先通过全等得到边的等量关系完成菱形判定，再通过面积的等量转换简化计算，要求学生熟练掌握各类几何图形的性质与判定定理，能灵活结合条件推导边、面积的等量关系。
【难度系数】
0.7

16.如图，AC是$□ ABCD$的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F.
(1)求证:$AE=CF$；
(2)连接AF，CE.
①当EF和AC满足条件________时，四边形AFCE是菱形；
②若$AB=1$，$BC=2$，$∠ B=60°$，则四边形AFCE为矩形时，EF的长是________.

16.(1) $\because AD // BC$，$\therefore ∠ EAO=∠ FCO$.$\because O$ 是 $AC$ 的中点，$\therefore OA=OC$，在 $△ AOE$ 和 $△ COF$ 中，
$\begin{cases}∠ EAO=∠ FCO,\\OA=OC,\\∠ AOE=∠ COF,\end{cases}$
$\therefore △ AOE ≌ △ COF (\mathrm{ASA})$.
$\therefore AE=CF$
(2) ①$EF ⊥ AC$ ②$\sqrt{3}$

【分析】
(1) 要证明$AE=CF$，可通过证明$△ AOE$和$△ COF$全等来推导：首先利用平行四边形对边平行的性质得到一组内错角相等，再结合$O$是$AC$中点得到对应边相等，加上对顶角相等，满足ASA全等判定条件，即可证得三角形全等，推出对应边相等。
(2) ①由(1)已得$AE=CF$且$AE// CF$，因此四边形$AFCE$是平行四边形，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，即可得到$EF$需要满足的条件。
②当四边形$AFCE$是矩形时，结合已知$AB$、$BC$长度和$∠ B$的度数，先利用直角三角形性质和勾股定理求出$AC$的长度，再根据矩形对角线相等的性质，即可得到$EF$的长度。
【解析】
(1) 证明：$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AD// BC$，$\therefore ∠ EAO=∠ FCO$。
$\because O$是$AC$的中点，$\therefore OA=OC$。
在$△ AOE$和$△ COF$中：
$\begin{cases}∠ EAO=∠ FCO,\\OA=OC,\\∠ AOE=∠ COF,\end{cases}$
$\therefore △ AOE≌ △ COF(\mathrm{ASA})$，$\therefore AE=CF$。
(2) ①由(1)可知$AE=CF$，且$AE// CF$，因此四边形$AFCE$是平行四边形。根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知当$EF⊥ AC$时，四边形$AFCE$是菱形。
②当四边形$AFCE$为矩形时，$∠ AFC=90°$，则$∠ AFB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$∠ B=60°$，$AB=1$，$\therefore ∠ BAF=30°$，$\therefore BF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}$。
$\because BC=2$，$\therefore FC=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
由勾股定理得$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$AC=\sqrt{AF^2+FC^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{3}$。
$\because$矩形的对角线相等，$\therefore EF=AC=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) ①$\boldsymbol{EF⊥ AC}$；②$\boldsymbol{\sqrt{3}}$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；特殊平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是四边形章节的典型基础题，结合了三角形全等的证明与特殊平行四边形的判定、性质应用，解题的核心是熟练掌握各类平行四边形的性质和判定定理，灵活进行边角关系的转化。
【难度系数】
0.7