15.如图,在$□ ABCD$中,过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$,点$F$在$CD$上,$CF=AE$,连接$BF$,$AF$.
(1)求证:四边形$BFDE$是矩形;
(2)若$AD=DF$,求证:$AF$平分$∠ BAD$.

15.(1)$\because$ 四边形ABCD是平行四边形,$\therefore AB=CD,AB// CD$,即$BE// DF$,$\because CF=AE$,$\therefore DF=BE$,$\therefore$ 四边形BFDE是平行四边形,$\because DE⊥ AB$,$\therefore ∠ DEB=90°$,$\therefore$ 四边形BFDE是矩形
(2)由(1)可知$AB// CD$,$\therefore ∠ BAF=∠ AFD$,$\because AD=DF$,$\therefore ∠ DAF=∠ AFD$,$\therefore ∠ BAF=∠ DAF$,即AF平分$∠ BAD$

【分析】
(1) 要证四边形BFDE是矩形，可先证它是平行四边形，再证明其有一个内角为直角。首先利用平行四边形ABCD的性质得到AB与CD平行且相等，结合已知CF=AE，可推出DF=BE，得到四边形BFDE是平行四边形，再结合DE⊥AB的条件即可判定其为矩形。
(2) 要证AF平分∠BAD，只需证明∠BAF=∠DAF。先由AB//CD得到内错角∠BAF=∠AFD，再结合AD=DF，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠DAF=∠AFD，通过等量代换即可得到两角相等，完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AB=CD$，$AB// CD$，即$BE// DF$，
∵ $CF=AE$，
∴ $CD-CF=AB-AE$，即$DF=BE$，
∴ 四边形BFDE是平行四边形，
∵ $DE⊥AB$，
∴ $∠DEB=90°$，
∴ 四边形BFDE是矩形。
(2) 证明：
由(1)可知$AB// CD$，
∴ $∠BAF=∠AFD$，
∵ $AD=DF$，
∴ $∠DAF=∠AFD$，
∴ $∠BAF=∠DAF$，即AF平分$∠BAD$。
【答案】
(1) 证明过程见上述解析，四边形BFDE是矩形成立；
(2) 证明过程见上述解析，AF平分$∠BAD$成立。
【知识点】
平行四边形的性质与判定、矩形的判定、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，考查平行四边形、矩形的判定定理，以及平行线和等腰三角形的性质，解题关键是熟练掌握各类几何图形的性质与判定，灵活通过等量代换推导边角关系。
【难度系数】
0.8

16.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点O是对角线BD的中点,过点O的直线分别交AB,CD边于点E,F.
(1)求证:四边形DEBF是平行四边形;
(2)当BD平分∠EBF时,试判断EF与BD的位置关系.

16.(1)$\because$ 四边形ABCD是矩形,$\therefore AB// CD$,$\therefore ∠ DFO=∠ BEO$,又因为$∠ DOF=∠ BOE$,$OD=OB$,$\therefore △ DOF ≌ △ BOE$ (AAS),$\therefore DF=BE$,又因为$DF// BE$,$\therefore$ 四边形DEBF是平行四边形
(2)$EF⊥ BD$.理由:$\because BD$平分$∠ EBF$,$\therefore ∠ FBD=∠ EBD$,在$□ DEBF$中,$DF// BE$,$\therefore ∠ FDB=∠ EBD$,$\therefore ∠ FBD=∠ FDB$,$\therefore FD=FB$,又$\because OD=OB$,$\therefore EF⊥ BD$

【分析】
(1)要证四边形DEBF是平行四边形，首先利用矩形对边平行的性质可得DF//BE，只需再证明DF=BE即可。结合O是BD中点得OD=OB，再结合对顶角相等、平行线的内错角相等，可证明△DOF≌△BOE，从而得到DF=BE，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可完成证明。
(2)判断EF与BD的位置关系时，先结合角平分线定义和平行线的内错角相等，推导可得∠FBD=∠FDB，即FD=FB，此时平行四边形DEBF有一组邻边相等，属于菱形，根据菱形对角线互相垂直的性质即可得到EF与BD的位置关系，也可结合等腰三角形三线合一的性质直接推导。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠DFO=∠BEO，
又
∵∠DOF=∠BOE（对顶角相等），O是对角线BD的中点，
∴OD=OB，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴DF=BE，
又
∵DF//BE，
∴四边形DEBF是平行四边形。
(2)解：EF⊥BD，理由如下：
∵BD平分∠EBF，
∴∠FBD=∠EBD，
在平行四边形DEBF中，DF//BE，
∴∠FDB=∠EBD，
∴∠FBD=∠FDB，
∴FD=FB，
∴平行四边形DEBF是菱形，
又
∵BD和EF是菱形的对角线，
∴EF⊥BD。
【答案】
(1) 四边形DEBF是平行四边形，证明成立；
(2) EF⊥BD
【知识点】
矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质
【点评】
本题以矩形为载体，综合考查了全等三角形的判定、平行四边形的判定以及特殊平行四边形的性质，解题关键是灵活运用几何图形的性质和判定定理，结合图形中的边角关系逐步推导，是几何板块的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7

17.如图,在$△ ABC$中,$D,E$分别为$AB,AC$的中点,$DF ⊥ BC$,垂足为$F$,点$G$在$DE$的延长线上,$DG=FC$.
(1)求证:四边形$DFCG$是矩形;
(2)若$∠ B=45°$,$DF=3$,$DG=5$,求$BC$和$AC$的长.

17.(1)$\because D,E$分别为AB,AC的中点,$\therefore DE$是$△ ABC$的中位线,$\therefore DE// BC$,$\because DG=FC$,$\therefore$ 四边形DFCG是平行四边形,又$\because DF⊥ BC$,$\therefore ∠ DFC=90°$,$\therefore$ 平行四边形DFCG是矩形
(2)$\because DF⊥ BC$,$\therefore ∠ DFB=90°$,$\because ∠ B=45°$,$\therefore △ BDF$是等腰直角三角形,$\therefore BF=DF=3$,$\because DG=FC=5$,$\therefore BC=BF+FC=3+5=8$,由(1)可知,$DE$是$△ ABC$的中位线,四边形DFCG是矩形,$\therefore DE=\frac{1}{2}BC=4$,$CG=DF=3$,$∠ G=90°$,$\therefore EG=DG-DE=5-4=1$,$\therefore CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$,$\because E$为AC的中点,$\therefore AC=2CE=2\sqrt{10}$

【分析】
(1) 证明四边形是矩形可先证其为平行四边形，再证明有一个内角为直角。首先由D、E分别是AB、AC的中点，可知DE是△ABC的中位线，可得DE//BC即DG//FC，结合已知DG=FC，可判定四边形DFCG是平行四边形；再由DF⊥BC得∠DFC=90°，即可证明平行四边形DFCG是矩形。
(2) 求BC长度：先在Rt△DFB中，∠B=45°，可知△BDF是等腰直角三角形，得BF=DF=3，再由矩形对边相等得FC=DG=5，BC=BF+FC即可求出。求AC长度：先由中位线定理得DE=1/2BC，计算得EG=DG-DE，再由矩形性质得CG=DF=3、∠G=90°，用勾股定理求出CE的长，结合E是AC中点，AC=2CE即可得结果。
【解析】
(1)
∵ D、E分别为AB、AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，
∵ DG=FC，
∴ 四边形DFCG是平行四边形，
又
∵ DF⊥BC，
∴ ∠DFC=90°，
∴ 平行四边形DFCG是矩形。
(2)
∵ DF⊥BC，
∴ ∠DFB=90°，
∵ ∠B=45°，
∴ △BDF是等腰直角三角形，
∴ BF=DF=3，
∵ 四边形DFCG是矩形，
∴ FC=DG=5，
∴ BC=BF+FC=3+5=8，
由(1)可知DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形，
∴ DE=$\frac{1}{2}$BC=4，CG=DF=3，∠G=90°，
∴ EG=DG-DE=5-4=1，
在Rt△CEG中，由勾股定理得$CE=\sqrt{CG^2+EG^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
∵ E为AC的中点，
∴ AC=2CE=$2\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 四边形DFCG是矩形，得证；
(2) $BC=8$，$AC=2\sqrt{10}$
【知识点】
三角形中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何基础综合题，第一问考查矩形的判定方法，逻辑链条清晰；第二问综合了等腰直角三角形性质、中位线定理、勾股定理等知识点，考查基础几何定理的综合运用能力，是几何部分的典型习题。
【难度系数】
0.7