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19.【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”. 图①为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图①所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上. 利用此图的面积表示证明勾股定理.
【问题解决】
(1)如图①，Rt△AEB≌Rt△DCE，∠A = ∠D = 90°，直角边分别为a，b，斜边为c，证明勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$；
(2)如图②，AD⊥CD，AB =13，BC =12，AD =4，CD =3，求阴影部分的面积；
【知识应用】
(3)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，使CH⊥AB，现测得CA =1.3 km，AB =1.4 km，BC =1.5 km，则新修路CH的长为
【问题解决】
(1)如图①，Rt△AEB≌Rt△DCE，∠A = ∠D = 90°，直角边分别为a，b，斜边为c，证明勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$；
(2)如图②，AD⊥CD，AB =13，BC =12，AD =4，CD =3，求阴影部分的面积；
【知识应用】
(3)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路CH，使CH⊥AB，现测得CA =1.3 km，AB =1.4 km，BC =1.5 km，则新修路CH的长为
$1.2$
km.答案
19. (1)略
(2)解：$\because AD ⊥ CD$, $AD = 4$, $CD = 3$,
由勾股定理可得 $AC = \sqrt{CD^2 + AD^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$,
$\because AB = 13$, $BC = 12$, 满足 $AC^2 + BC^2 = AB^2$, 即 $∠ ACB = 90°$,
$\therefore$ 阴影部分的面积为 $S_{△ ABC} - S_{△ ACD} = \frac{1}{2} × 5 × 12 - \frac{1}{2} × 3 × 4 = 24.$
(3)$1.2$
(2)解：$\because AD ⊥ CD$, $AD = 4$, $CD = 3$,
由勾股定理可得 $AC = \sqrt{CD^2 + AD^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$,
$\because AB = 13$, $BC = 12$, 满足 $AC^2 + BC^2 = AB^2$, 即 $∠ ACB = 90°$,
$\therefore$ 阴影部分的面积为 $S_{△ ABC} - S_{△ ACD} = \frac{1}{2} × 5 × 12 - \frac{1}{2} × 3 × 4 = 24.$
(3)$1.2$
