7. 已知:如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ BAC=30°$,延长CA至点D,使$AD=AB$.
(1)求$∠ D$和$∠ DBC$;
(2)求$\tan D$和$\tan∠ DBC$;
(3)请用类似的方法求$\tan22.5°$.
(1)求$∠ D$和$∠ DBC$;
(2)求$\tan D$和$\tan∠ DBC$;
(3)请用类似的方法求$\tan22.5°$.
答案
解：(1)
∵AD=AB，
∴∠D=∠ABD，
∵∠BAC是△ABD的外角，∠BAC=30°，
∴∠BAC=∠D+∠ABD=2∠D，
∴∠D=15°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=15°+60°=75°；
(2)设BC=x，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠C=90°，
∴AB=2x，AC=√3 x，
∵AD=AB=2x，
∴DC=AD+AC=2x+√3 x=(2+√3)x，
在Rt△DBC中，
$\tan D=\frac{BC}{DC}=\frac{x}{(2+\sqrt{3})x}=2-\sqrt{3}$，
$\tan∠ DBC=\frac{DC}{BC}=\frac{(2+\sqrt{3})x}{x}=2+\sqrt{3}$；
(3)构造Rt△ABC，∠C=90°，∠BAC=45°，延长CA至D，使AD=AB，
则∠D=∠ABD，
∵∠BAC是△ABD的外角，∠BAC=45°，
∴∠BAC=∠D+∠ABD=2∠D，
∴∠D=22.5°，
设BC=x，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=45°，
∴AC=BC=x，AB=√2 x，
∵AD=AB=√2 x，
∴DC=AD+AC=(\sqrt{2}+1)x，
在Rt△DBC中，
$\tan22.5°=\frac{BC}{DC}=\frac{x}{(\sqrt{2}+1)x}=\sqrt{2}-1$。
∵AD=AB，
∴∠D=∠ABD，
∵∠BAC是△ABD的外角，∠BAC=30°，
∴∠BAC=∠D+∠ABD=2∠D，
∴∠D=15°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=15°+60°=75°；
(2)设BC=x，
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠C=90°，
∴AB=2x，AC=√3 x，
∵AD=AB=2x，
∴DC=AD+AC=2x+√3 x=(2+√3)x，
在Rt△DBC中，
$\tan D=\frac{BC}{DC}=\frac{x}{(2+\sqrt{3})x}=2-\sqrt{3}$，
$\tan∠ DBC=\frac{DC}{BC}=\frac{(2+\sqrt{3})x}{x}=2+\sqrt{3}$；
(3)构造Rt△ABC，∠C=90°，∠BAC=45°，延长CA至D，使AD=AB，
则∠D=∠ABD，
∵∠BAC是△ABD的外角，∠BAC=45°，
∴∠BAC=∠D+∠ABD=2∠D，
∴∠D=22.5°，
设BC=x，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=45°，
∴AC=BC=x，AB=√2 x，
∵AD=AB=√2 x，
∴DC=AD+AC=(\sqrt{2}+1)x，
在Rt△DBC中，
$\tan22.5°=\frac{BC}{DC}=\frac{x}{(\sqrt{2}+1)x}=\sqrt{2}-1$。
如图7-8,为了绿化荒山,某工程队打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,
在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行灌溉.现测得当出水口的高度为35 m时,需
要的水管AB长为70 m.如果出水口的高度为50 m,需要的水管AB长为多少米? 出水
口的高度为x m呢?
在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行灌溉.现测得当出水口的高度为35 m时,需
要的水管AB长为70 m.如果出水口的高度为50 m,需要的水管AB长为多少米? 出水
口的高度为x m呢?
答案
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵ BC=35m，AB=70m，
∴ sinA = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{35}{70}$ = $\frac{1}{2}$。
当出水口高度为50m时，设此时水管长为$AB_1$，对应高度$B_1C_1=50m$，
在Rt△$AB_1C_1$中，∠$C_1$=90°，
∵ sinA = $\frac{B_1C_1}{AB_1}$，
∴ $AB_1$ = $\frac{B_1C_1}{sinA}$ = $\frac{50}{\frac{1}{2}}$ = 100(m)。
当出水口高度为$x$m时，设此时水管长为$AB_x$，对应高度$B_xC_x=x$m，
在Rt△$AB_xC_x$中，∠$C_x$=90°，
∵ sinA = $\frac{B_xC_x}{AB_x}$，
∴ $AB_x$ = $\frac{x}{\frac{1}{2}}$ = 2x(m)。
答：当出水口的高度为50 m时，需要的水管AB长为100米；当出水口的高度为$x$ m时，需要的水管AB长为2x米。
∵ BC=35m，AB=70m，
∴ sinA = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{35}{70}$ = $\frac{1}{2}$。
当出水口高度为50m时，设此时水管长为$AB_1$，对应高度$B_1C_1=50m$，
在Rt△$AB_1C_1$中，∠$C_1$=90°，
∵ sinA = $\frac{B_1C_1}{AB_1}$，
∴ $AB_1$ = $\frac{B_1C_1}{sinA}$ = $\frac{50}{\frac{1}{2}}$ = 100(m)。
当出水口高度为$x$m时，设此时水管长为$AB_x$，对应高度$B_xC_x=x$m，
在Rt△$AB_xC_x$中，∠$C_x$=90°，
∵ sinA = $\frac{B_xC_x}{AB_x}$，
∴ $AB_x$ = $\frac{x}{\frac{1}{2}}$ = 2x(m)。
答：当出水口的高度为50 m时，需要的水管AB长为100米；当出水口的高度为$x$ m时，需要的水管AB长为2x米。
例 如图7-9,你能利用∠A、∠D的正弦值或余弦值来判断AB、DE哪一段山坡
更陡一些吗?为什么?
解 $\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$,$\sin D=\frac{EF}{ED}=\frac{4}{5}$.
因为$\frac{3}{5}＜\frac{4}{5}$,所以山坡DE更陡一些.
或$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{50^{2}-30^{2}}}{50}=\frac{4}{5}$,
$\cos D=\frac{DF}{DE}=\frac{\sqrt{50^{2}-40^{2}}}{50}=\frac{3}{5}$.
因为$\frac{4}{5}＞\frac{3}{5}$,所以山坡DE更陡一些.
说明 (1)可以利用坡角的正弦值或余弦值来判断山坡的陡峭程度;(2)坡角的正
弦值越大,山坡越陡;坡角的余弦值越小,山坡越陡.
更陡一些吗?为什么?
解 $\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$,$\sin D=\frac{EF}{ED}=\frac{4}{5}$.
因为$\frac{3}{5}＜\frac{4}{5}$,所以山坡DE更陡一些.
或$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{50^{2}-30^{2}}}{50}=\frac{4}{5}$,
$\cos D=\frac{DF}{DE}=\frac{\sqrt{50^{2}-40^{2}}}{50}=\frac{3}{5}$.
因为$\frac{4}{5}＞\frac{3}{5}$,所以山坡DE更陡一些.
说明 (1)可以利用坡角的正弦值或余弦值来判断山坡的陡峭程度;(2)坡角的正
弦值越大,山坡越陡;坡角的余弦值越小,山坡越陡.
答案
解：
方法一：
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$，
$\sin D=\frac{EF}{ED}=\frac{40}{50}=\frac{4}{5}$。
因为$\frac{3}{5}＜\frac{4}{5}$，即$\sin A＜\sin D$，所以山坡DE更陡一些。
方法二：
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{50^{2}-30^{2}}}{50}=\frac{40}{50}=\frac{4}{5}$，
$\cos D=\frac{DF}{DE}=\frac{\sqrt{50^{2}-40^{2}}}{50}=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$。
因为$\frac{4}{5}＞\frac{3}{5}$，即$\cos A＞\cos D$，所以山坡DE更陡一些。
方法一：
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$，
$\sin D=\frac{EF}{ED}=\frac{40}{50}=\frac{4}{5}$。
因为$\frac{3}{5}＜\frac{4}{5}$，即$\sin A＜\sin D$，所以山坡DE更陡一些。
方法二：
$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{50^{2}-30^{2}}}{50}=\frac{40}{50}=\frac{4}{5}$，
$\cos D=\frac{DF}{DE}=\frac{\sqrt{50^{2}-40^{2}}}{50}=\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$。
因为$\frac{4}{5}＞\frac{3}{5}$，即$\cos A＞\cos D$，所以山坡DE更陡一些。
