1. 如图,在$\mathrm{Rt}△ MNP$中,$∠ MPN=90°$,$PQ⊥ MN$,垂足为

Q,则$\sin M=\frac{PQ}{(\ \ \ \ )}=\frac{(\ \ \ \ )}{MN}$,$\cos N=\frac{(\ \ \ \ )}{MN}=\frac{(\ \ \ \ )}{PN}$.

解：
在$\mathrm{Rt}△ MPQ$中，$\sin M=\frac{PQ}{MP}$；
在$\mathrm{Rt}△ MNP$中，$\sin M=\frac{PN}{MN}$；
在$\mathrm{Rt}△ MNP$中，$\cos N=\frac{PN}{MN}$；
在$\mathrm{Rt}△ PQN$中，$\cos N=\frac{QN}{PN}$。
答案依次为：$MP$；$PN$；$PN$；$QN$。

2. (1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=5$,$BC=4$, 则
$\sin A=$,$\cos B=$;
(2) 如图,一架梯子靠在垂直水平地面的墙上,梯子AB的长是3 m.若梯子与地面的
夹角为$α$,则梯子顶端到地面的距离BC是 m.


(3) 如图,在6×6的正方形网格中,$\sin∠ AOB$的值为.

解：
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$BC=4$，
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$；
$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=3\ \mathrm{m}$，
$\because \sinα=\frac{BC}{AB}$，
$\therefore BC=AB·\sinα=3\sinα$。
(3) 设每个小正方形边长为1，
过点$A$作$OB$的垂线，垂足为$D$，则$AD=4$，
$OA=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，
$\sin∠ AOB=\frac{AD}{OA}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

3. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(3,0)和点B(0,-4),求$∠ OAB$的正弦值和余

弦值.

解：
∵ 点A(3,0)，点B(0,-4)，
∴ OA=3，OB=4，∠AOB=90°。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
根据正弦、余弦的定义：
$\sin∠ OAB=\frac{OB}{AB}=\frac{4}{5}$，
$\cos∠ OAB=\frac{OA}{AB}=\frac{3}{5}$。

4. 甲、乙两名学生在计算锐角A的正弦值时,甲的答案为$\sin A=\frac{7}{10}$,乙的答案为$\sin A=$
$\frac{13}{10}$.请你判断哪名学生的解答是错误的,并说明理由.

解：乙学生的解答是错误的。
理由：在直角三角形中，锐角A的对边长度小于斜边长度，根据正弦的定义，$\sin A = \frac{∠ A的对边}{斜边}$，因此$\sin A ＜ 1$。
因为$\frac{13}{10} ＞ 1$，所以乙的答案错误。

5. 先用计算器分别求三角函数$\sin16°$、$\sin44°$、$\sin60°$的值,再验证$\sin16°+\sin44°$与
$\sin60°$是否相等.

解：
使用计算器计算（结果保留四位小数）：
$\sin16°\approx0.2756$
$\sin44°\approx0.6947$
$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.8660$
计算$\sin16°+\sin44°$：
$0.2756+0.6947=0.9703$
因为$0.9703≠0.8660$，所以$\sin16°+\sin44°≠\sin60°$