例2 如图7-7,为了测量电线杆的高度AB,在离电线杆22.7m的C处,用高1.20m
的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角$α=22°$,求电线杆AB的高(精确到0.1m).
解 在$\mathrm{Rt}△ BDE$中,
$\because \tanα=\dfrac{BE}{DE}$,

$\therefore BE=DE·\tanα=AC·\tanα=22.7×\tan22°≈9.17$.
$\therefore AB=BE+AE=BE+CD=9.17+1.20≈10.4$,
即电线杆AB的高约为10.4m.

解：
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，
$\because \tanα=\dfrac{BE}{DE}$，
$\therefore BE=DE·\tanα=AC·\tanα=22.7×\tan22°\approx9.17(\mathrm{m})$，
$\therefore AB=BE+AE=BE+CD=9.17+1.20\approx10.4(\mathrm{m})$。
答：电线杆AB的高约为10.4m。

1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ B=35°$,$AC=6$,则BC的长为(精确到0.01).

解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \tan B=\frac{AC}{BC}$，
$\therefore BC=\frac{AC}{\tan B}$，
$\because ∠ B=35°$，$AC=6$，
$\therefore BC=\frac{6}{\tan35°}\approx\frac{6}{0.7002}\approx8.57$。

2. 若锐角三角函数$\tan55°=a$,则a的取值范围是().
A. $0 ＜ a ＜ 1$ B. $1 ＜ a ＜ 2$ C. $2 ＜ a ＜ 3$ D. $3 ＜ a ＜ 4$

解：
∵锐角的正切值随角度的增大而增大，
且45°＜55°＜60°，
tan45°=1，tan60°=√3≈1.732，
∴1＜tan55°＜√3≈1.732，
即1＜a＜2。
故选B。

3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=12$,$∠ A=50°$,求BC的长及$S_{△ ABC}$(精确到0.01).

解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because \tan A=\frac{BC}{AC}$，
$\therefore BC=AC·\tan A=12×\tan50°\approx12×1.1918\approx14.30$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×12×14.30\approx85.80$。

4. 如图,光线与水平线的夹角为$35°$时,测得旗杆的影长为40m.求旗杆高度(精确到0.01m).

解：设旗杆的高度为$ h $m。
由题意得，$\tan35° = \frac{h}{40}$，
则$ h = 40 × \tan35° $。
查三角函数值，$\tan35° \approx 0.7002$，
所以$ h \approx 40 × 0.7002 = 28.008 \approx 28.01 $。
答：旗杆的高度约为28.01m。

5. 利用计算器分别求值(精确到0.01):
(1)$\tan50°$; (2)$\tan32°17'$; (3)$\tan85°15'$; (4)$\tan67°54'41''$.

解：
(1) $\tan50°\approx1.19$
(2) 因为$17'=(\frac{17}{60})°\approx0.28°$，所以$32°17'\approx32.28°$，$\tan32°17'\approx\tan32.28°\approx0.63$
(3) 因为$15'=(\frac{15}{60})°=0.25°$，所以$85°15'=85.25°$，$\tan85°15'\approx\tan85.25°\approx12.03$
(4) 因为$41''=(\frac{41}{60})'\approx0.68'$，$54.68'=(\frac{54.68}{60})°\approx0.91°$，所以$67°54'41''\approx67.91°$，$\tan67°54'41''\approx\tan67.91°\approx2.46$

6. 如图,一根3m长的竹竿AB斜靠在墙上,当端点A离地面的高度AC为1m时,竹竿
AB的倾斜角$α$的正切$\tanα$的值是多少? 当端点A位于点$A'$,离地面的高度$A'C$为
2m时,倾斜角$α'$的正切$\tanα'$的值是多少? $\tanα$的值可以大

于100吗? 请求出锐角$α$的正切函数值的范围.

解：
在Rt△ABC中，AC=1m，AB=3m，
根据勾股定理：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，
则$\tanα = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$。
在Rt△A'B'C中，$A'C=2\ \mathrm{m}$，$A'B'=3\ \mathrm{m}$，
根据勾股定理：
$B'C = \sqrt{A'B'^2 - A'C^2} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5}\ \mathrm{m}$，
则$\tanα' = \frac{A'C}{B'C} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
当点A向上移动，AC趋近于3m时，BC趋近于0，$\tanα = \frac{AC}{BC}$的值趋近于正无穷，因此$\tanα$的值可以大于100。
因为$α$是锐角，$0 ＜ AC ＜ 3$，$0 ＜ BC ＜ 3$，
所以锐角$α$的正切函数值的范围是$\tanα ＞ 0$。
答：$\tanα$的值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\tanα'$的值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；$\tanα$的值可以大于100；锐角$α$的正切函数值的范围是$\tanα ＞ 0$。