8. 如图，菱形 $ABCD$ 的边长为 $2$，$∠ ABC = 60°$，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$.$E$ 为直线 $AD$ 上的一个动点，连接 $CE$，将线段 $EC$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $∠ BCD$ 的角度后得到对应的线段 $CF$(即 $∠ ECF=∠ BCD$)，连接 $DF$，则 $DF$ 长度的最小值为.

$\sqrt{3}$

三、解答题
9. 如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$AC$，$BD$ 是对角线.过点 $D$ 作 $DE// AC$，交 $BC$ 的延长线于点 $E$.
（1）判断四边形 $ACED$ 的形状并证明；
（2）若 $AC = DB$，求证：梯形 $ABCD$ 是等腰梯形.

解：
(1)四边形ACED是平行四边形。
证明：$\because AD// BC$，DE// AC，
$ \therefore$四边形ACED是平行四边形。
(2)证明：由
(1)知四边形ACED是平行四边形，
$ \therefore AC=DE$。
$ \because AC=DB$，$\therefore DE=DB$，$\therefore ∠ E=∠ DBC$。
$ \because DE// AC$，$\therefore ∠ E=∠ ACB$，$\therefore ∠ ACB=∠ DBC$。
又$\because AC=DB$，BC=CB，$\therefore △ ABC≌△ DCB(\mathrm{SAS})$，
$ \therefore AB=DC$，
$ \therefore$梯形ABCD是等腰梯形。

10. (2024·鼓楼四校期中)数学课上，李老师给出这样一道数学题：如图①，在正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是对角线 $AC$ 上任意一点，过点 $E$ 作 $EF⊥ AC$，垂足为 $E$，交 $BC$ 所在直线于点 $F$.探索 $AF$ 与 $DE$ 之间的数量关系，并说明理由.
小明在解决这一问题之前，先进行特殊思考：如图②，当 $E$ 是对角线 $AC$ 的中点时，他发现 $AF$ 与 $DE$ 之间的数量关系是.若点 $E$ 在其他位置时，这个结论是否都成立呢？小明继续探究，他用“平移法”将 $AF$ 沿 $AD$ 方向平移得到 $DG$，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究 $DG$ 与 $DE$ 之间的数量关系.
(1)请你按照小明的思路，完成解题过程；
(2)你能用与小明不同的方法来解决李老师给出的数学问题吗？请写出解题过程.

$​ AF=\sqrt {2}DE​$
解：​(1)​如题图​③，​作​DG// AF，​交​BC​的延长线于点​G，​连接​EG。​
∵四边形​ABCD​是正方形，
∴​∠ ABC = ∠ BCD = 90°，​​AB = BC = CD = AD，​​AD// BC。​
∵​DG// AF，​​AD// BC，​∴四边形​AFGD​为平行四边形，
∴​AF=DG，​​AD=FG，​∴​FG=CD。​
∵​∠ ABC=90°，​​AB=BC，​
∴​∠ ACB=45°，​​∠ ACD=45°。​
∵​EF⊥ AC，​∴​∠ FEC=90°，​∴​∠ EFC=∠ ECF=45°，​
∴​EF=EC，​∴​∠ EFC=∠ ECD，​
∴$​△ CDE≌△ FGE(\mathrm {SAS})$，​
∴​ED=EG，​​∠ FEG=∠ CED，​
∴​∠ DEG=∠ FEC=90°，​∴​△ DEG ​是等腰直角三角形，
∴$​DG^2=DE^2+EG^2=2DE^2$，​∴$​DG=\sqrt {2}DE$，​
∴$​AF=\sqrt {2}DE$。​
​(2)​如答图，作​DG⊥ DE，​并截取​DG=DE，​连接​AG，​​GE，​则​△ DEG ​是等腰直角三角形，

∴$​EG^2=DE^2+DG^2=2DE^2$，​∴$​EG=\sqrt {2}DE$。​
∵四边形​ABCD​是正方形，∴​∠ ADC=90°，​​CD=AD，​
∴​∠ DAC=∠ DCA=45°，​同理，​∠ ACB=45°。​
∵​∠ ADC=∠ GDE=90°，​∴​∠ GDA=∠ EDC，​
∴$​△ GDA≌△ EDC(\mathrm {SAS})$，​
∴​∠ GAD=∠ ECD=45°，​​AG=EC，​∴​∠ GAE=90°。​
∵​EF⊥ AC，​∴​∠ FEC=∠ FEA=90°，​
∴​∠ EFC=∠ ECF=45°，​
∴​EF=EC，​∴​EF=AG。​
∵​∠ GAE=∠ FEA=90°，​∴​AG// EF，​
∴四边形​AGEF ​为平行四边形，
∴​AF=EG，​∴$​AF=\sqrt {2}DE$。​