登录
5. 小亮的妈妈用280元买了甲、乙两种药材。甲种药材每克20元,乙种药材每克60元,且购买的甲种药材比乙种药材多2克。设买甲种药材x克,乙种药材y克,为求解x和y的值,小亮应该列出的方程组是。
答案
5. $\begin{cases} x=y+2, \\ 20x+60y=280 \end{cases}$
解析
【分析】
要列出方程组，关键是找准题目中的两个核心等量关系：
1. 数量关系：购买的甲种药材比乙种药材多2克，即甲的克数等于乙的克数加2；
2. 总价关系：买甲、乙两种药材一共花了280元，甲药材的总花费加上乙药材的总花费等于总金额。
先根据数量关系列出第一个方程，再根据总价关系列出第二个方程，将两个方程组合即可得到所求方程组。
【解析】
设买甲种药材$x$克，乙种药材$y$克。
1. 根据“甲种药材比乙种药材多2克”，可列方程：$x = y + 2$；
2. 根据“甲种药材每克20元，乙种药材每克60元，总花费280元”，甲药材总花费为$20x$元，乙药材总花费为$60y$元，可列方程：$20x + 60y = 280$。
将两个方程组合，得到方程组：$\begin{cases} x=y+2, \\ 20x+60y=280 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=y+2, \\ 20x+60y=280 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，实际问题列方程组
【点评】
本题属于基础的应用题，重点考查从实际问题中提取等量关系并转化为数学方程的能力，只要准确抓住数量和总价两个核心关系，就能轻松列出方程组。
【难度系数】
0.8
要列出方程组，关键是找准题目中的两个核心等量关系：
1. 数量关系：购买的甲种药材比乙种药材多2克，即甲的克数等于乙的克数加2；
2. 总价关系：买甲、乙两种药材一共花了280元，甲药材的总花费加上乙药材的总花费等于总金额。
先根据数量关系列出第一个方程，再根据总价关系列出第二个方程，将两个方程组合即可得到所求方程组。
【解析】
设买甲种药材$x$克，乙种药材$y$克。
1. 根据“甲种药材比乙种药材多2克”，可列方程：$x = y + 2$；
2. 根据“甲种药材每克20元，乙种药材每克60元，总花费280元”，甲药材总花费为$20x$元，乙药材总花费为$60y$元，可列方程：$20x + 60y = 280$。
将两个方程组合，得到方程组：$\begin{cases} x=y+2, \\ 20x+60y=280 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x=y+2, \\ 20x+60y=280 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用，实际问题列方程组
【点评】
本题属于基础的应用题，重点考查从实际问题中提取等量关系并转化为数学方程的能力，只要准确抓住数量和总价两个核心关系，就能轻松列出方程组。
【难度系数】
0.8
6. 我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于"分钱"的问题:甲、乙两人有钱若干,若甲给乙10钱,则甲的钱是乙的2倍;若乙给甲5钱,则乙的钱是甲的$\dfrac{1}{3}$。若设甲原有x钱,乙原有y钱,则可列方程组。(结果不化简)
答案
6. $\begin{cases} x-10=2(y+10), \\ \dfrac{1}{3}(x+5)=y-5 \end{cases}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要从题目给出的两种给钱情况中，分别找出甲、乙钱数变化后的等量关系：
1. 第一种情况：甲给乙10钱后，甲的钱数变为$x-10$，乙的钱数变为$y+10$，此时甲的钱是乙的2倍，由此可得到第一个等量关系；
2. 第二种情况：乙给甲5钱后，甲的钱数变为$x+5$，乙的钱数变为$y-5$，此时乙的钱是甲的$\dfrac{1}{3}$，由此可得到第二个等量关系；
将这两个等量关系转化为方程，联立即可得到所求方程组。
【解析】
1. 根据“甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍”：
甲原有$x$钱，给乙10钱后剩余$x-10$钱；乙原有$y$钱，得到10钱后变为$y+10$钱，结合倍数关系可得方程：
$x-10=2(y+10)$
2. 根据“乙给甲5钱，则乙的钱是甲的$\dfrac{1}{3}$”：
乙给甲5钱后，甲的钱变为$x+5$钱，乙剩余$y-5$钱，结合比例关系可得方程：
$\dfrac{1}{3}(x+5)=y-5$
3. 将上述两个方程联立，得到方程组：
$\begin{cases} x-10=2(y+10), \\ \dfrac{1}{3}(x+5)=y-5 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x-10=2(y+10), \\ \dfrac{1}{3}(x+5)=y-5 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用、根据实际问题列方程
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查二元一次方程组的实际应用，核心是准确分析两种情境下甲、乙钱数的变化，找出对应的等量关系。解题时需注意钱数的增减变化，避免因数量关系分析错误导致方程列错，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要从题目给出的两种给钱情况中，分别找出甲、乙钱数变化后的等量关系：
1. 第一种情况：甲给乙10钱后，甲的钱数变为$x-10$，乙的钱数变为$y+10$，此时甲的钱是乙的2倍，由此可得到第一个等量关系；
2. 第二种情况：乙给甲5钱后，甲的钱数变为$x+5$，乙的钱数变为$y-5$，此时乙的钱是甲的$\dfrac{1}{3}$，由此可得到第二个等量关系；
将这两个等量关系转化为方程，联立即可得到所求方程组。
【解析】
1. 根据“甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍”：
甲原有$x$钱，给乙10钱后剩余$x-10$钱；乙原有$y$钱，得到10钱后变为$y+10$钱，结合倍数关系可得方程：
$x-10=2(y+10)$
2. 根据“乙给甲5钱，则乙的钱是甲的$\dfrac{1}{3}$”：
乙给甲5钱后，甲的钱变为$x+5$钱，乙剩余$y-5$钱，结合比例关系可得方程：
$\dfrac{1}{3}(x+5)=y-5$
3. 将上述两个方程联立，得到方程组：
$\begin{cases} x-10=2(y+10), \\ \dfrac{1}{3}(x+5)=y-5 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x-10=2(y+10), \\ \dfrac{1}{3}(x+5)=y-5 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的应用、根据实际问题列方程
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查二元一次方程组的实际应用，核心是准确分析两种情境下甲、乙钱数的变化，找出对应的等量关系。解题时需注意钱数的增减变化，避免因数量关系分析错误导致方程列错，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
7. 在大长方形ABCD中,放入9个相同的小长方形,数据如图所示,求图中阴影部分的面积。(提示:阴影面积可用大长方形面积减去9个小长方形面积之和。)
答案
7.图中阴影部分的面积为124。
解析
【分析】
要计算阴影部分的面积，根据提示可知，阴影面积=大长方形ABCD的面积-9个小长方形的面积之和。因此需要先求出小长方形的长和宽：
1. 观察图形，找到关于小长方形长和宽的等量关系：大长方形的长20等于小长方形的长加4个宽；大长方形的宽17等于小长方形的长加3个宽。
2. 通过这两个等量关系列方程组，解出小长方形的长和宽。
3. 分别计算大长方形面积和9个小长方形的总面积，再作差得到阴影部分面积。
【解析】
设小长方形的长为$ x $，宽为$ y $。
根据图形中的长度关系，列方程组：
$\begin{cases}x + 4y = 20 \\x + 3y = 17\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：
$ (x + 4y) - (x + 3y) = 20 - 17 $
化简得：$ y = 3 $
将$ y = 3 $代入$ x + 4y = 20 $，得：
$ x + 4×3 = 20 $
解得：$ x = 8 $
计算大长方形ABCD的面积：$ 20×17 = 340 $
计算9个小长方形的总面积：$ 9×8×3 = 216 $
阴影部分的面积：$ 340 - 216 = 124 $
【答案】
124
【知识点】
二元一次方程组应用、长方形面积计算
【点评】
本题考查二元一次方程组在几何图形中的应用，关键是从图形中提取出关于小长方形长和宽的等量关系，通过解方程组长宽，再结合长方形面积公式计算阴影面积，需要具备观察图形、分析等量关系的能力。
【难度系数】
0.4
要计算阴影部分的面积，根据提示可知，阴影面积=大长方形ABCD的面积-9个小长方形的面积之和。因此需要先求出小长方形的长和宽：
1. 观察图形，找到关于小长方形长和宽的等量关系：大长方形的长20等于小长方形的长加4个宽；大长方形的宽17等于小长方形的长加3个宽。
2. 通过这两个等量关系列方程组，解出小长方形的长和宽。
3. 分别计算大长方形面积和9个小长方形的总面积，再作差得到阴影部分面积。
【解析】
设小长方形的长为$ x $，宽为$ y $。
根据图形中的长度关系，列方程组：
$\begin{cases}x + 4y = 20 \\x + 3y = 17\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：
$ (x + 4y) - (x + 3y) = 20 - 17 $
化简得：$ y = 3 $
将$ y = 3 $代入$ x + 4y = 20 $，得：
$ x + 4×3 = 20 $
解得：$ x = 8 $
计算大长方形ABCD的面积：$ 20×17 = 340 $
计算9个小长方形的总面积：$ 9×8×3 = 216 $
阴影部分的面积：$ 340 - 216 = 124 $
【答案】
124
【知识点】
二元一次方程组应用、长方形面积计算
【点评】
本题考查二元一次方程组在几何图形中的应用，关键是从图形中提取出关于小长方形长和宽的等量关系，通过解方程组长宽，再结合长方形面积公式计算阴影面积，需要具备观察图形、分析等量关系的能力。
【难度系数】
0.4
8. 某校准备组织师生共300人乘车参加活动,租用座位数不同的A,B两种车型。
如果租用A型车3辆,B型车3辆,则空余15个座位;如果租用A型车5辆,B型车1辆,则有15个人没座位。
(1)求A,B两种车型各有多少个座位;
(2)若最终租用了两种车型的车,且座位恰好坐满,则两种车型的车各租用了多少辆?
如果租用A型车3辆,B型车3辆,则空余15个座位;如果租用A型车5辆,B型车1辆,则有15个人没座位。
(1)求A,B两种车型各有多少个座位;
(2)若最终租用了两种车型的车,且座位恰好坐满,则两种车型的车各租用了多少辆?
答案
8.(1)每个A型车有45个座位,B型车有60个座位;
(2)需租用A型车4辆,B型车2辆。
(2)需租用A型车4辆,B型车2辆。
解析
【分析】
(1) 要确定A、B两种车型的座位数，可通过设未知数建立二元一次方程组求解。先梳理题目中的两个核心等量关系：①3辆A型车和3辆B型车的总座位数比师生总人数多15个（空余15个座位）；②5辆A型车和1辆B型车的总座位数比师生总人数少15个（15人没座位）。依据这两个等量关系列出方程组，解方程组就能得到两种车型的座位数。
(2) 第二问要求租用两种车型且座位恰好坐满，可设租用A型车$ m $辆、B型车$ n $辆（$ m、n $均为正整数），根据总座位数等于师生总人数列方程，再通过分析方程的正整数解，筛选出符合“租用两种车型”要求的方案。
【解析】
(1) 设A型车有$ x $个座位，B型车有$ y $个座位。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x + 3y - 15 = 300 \\5x + y + 15 = 300\end{cases}$
化简方程组：
$\begin{cases}x + y = 105 \quad (1) \\5x + y = 285 \quad (2)\end{cases}$
用(2)-(1)消去$ y $：
$5x + y - (x + y) = 285 - 105$
$4x = 180$
解得$ x = 45 $。
将$ x = 45 $代入(1)式：
$45 + y = 105$
解得$ y = 60 $。
(2) 设租用A型车$ m $辆，B型车$ n $辆（$ m、n $均为正整数）。
根据座位恰好坐满列方程：
$45m + 60n = 300$
两边同时除以15化简：
$3m + 4n = 20$
变形得：
$m = \frac{20 - 4n}{3}$
因为$ m、n $为正整数，所以$ 20 - 4n $需为3的正整数倍，且$ 20 - 4n ＞ 0 $（即$ n ＜ 5 $）。
当$ n = 2 $时，$ m = \frac{20 - 4×2}{3} = 4 $，符合正整数要求；
当$ n = 1、3、4 $时，$ m $不是正整数，不符合题意。
因此租用A型车4辆，B型车2辆。
【答案】
(1) 每个A型车有45个座位，B型车有60个座位；
(2) 需租用A型车4辆，B型车2辆。
【知识点】
二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解
【点评】
本题属于典型的二元一次方程（组）实际应用问题，关键是准确提取题目中的等量关系建立模型，求解时要结合实际意义分析解的合理性，尤其第二问需注意“租用两种车型”的限制条件，确保答案符合题意。
【难度系数】
0.6
(1) 要确定A、B两种车型的座位数，可通过设未知数建立二元一次方程组求解。先梳理题目中的两个核心等量关系：①3辆A型车和3辆B型车的总座位数比师生总人数多15个（空余15个座位）；②5辆A型车和1辆B型车的总座位数比师生总人数少15个（15人没座位）。依据这两个等量关系列出方程组，解方程组就能得到两种车型的座位数。
(2) 第二问要求租用两种车型且座位恰好坐满，可设租用A型车$ m $辆、B型车$ n $辆（$ m、n $均为正整数），根据总座位数等于师生总人数列方程，再通过分析方程的正整数解，筛选出符合“租用两种车型”要求的方案。
【解析】
(1) 设A型车有$ x $个座位，B型车有$ y $个座位。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x + 3y - 15 = 300 \\5x + y + 15 = 300\end{cases}$
化简方程组：
$\begin{cases}x + y = 105 \quad (1) \\5x + y = 285 \quad (2)\end{cases}$
用(2)-(1)消去$ y $：
$5x + y - (x + y) = 285 - 105$
$4x = 180$
解得$ x = 45 $。
将$ x = 45 $代入(1)式：
$45 + y = 105$
解得$ y = 60 $。
(2) 设租用A型车$ m $辆，B型车$ n $辆（$ m、n $均为正整数）。
根据座位恰好坐满列方程：
$45m + 60n = 300$
两边同时除以15化简：
$3m + 4n = 20$
变形得：
$m = \frac{20 - 4n}{3}$
因为$ m、n $为正整数，所以$ 20 - 4n $需为3的正整数倍，且$ 20 - 4n ＞ 0 $（即$ n ＜ 5 $）。
当$ n = 2 $时，$ m = \frac{20 - 4×2}{3} = 4 $，符合正整数要求；
当$ n = 1、3、4 $时，$ m $不是正整数，不符合题意。
因此租用A型车4辆，B型车2辆。
【答案】
(1) 每个A型车有45个座位，B型车有60个座位；
(2) 需租用A型车4辆，B型车2辆。
【知识点】
二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解
【点评】
本题属于典型的二元一次方程（组）实际应用问题，关键是准确提取题目中的等量关系建立模型，求解时要结合实际意义分析解的合理性，尤其第二问需注意“租用两种车型”的限制条件，确保答案符合题意。
【难度系数】
0.6
9. 一副三角板按如图方式摆放,且∠1的度数比∠2的度数大50°,设∠1=x°,∠2=y°,先根据题意列出二元一次方程组,再求解。
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
自我反思
存在的问题:
改进的措施:
答案
9.解:由题意,得$\begin{cases} x+y=90, \\ x-y=50, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=70, \\ y=20 \end{cases}$。
所以,$∠ 1=70°$,$∠ 2=20°$。
所以,$∠ 1=70°$,$∠ 2=20°$。
解析
【分析】
首先观察图形可知，∠1、∠2与三角板的直角共同组成一个平角（180°），由此可得∠1+∠2=90°；再根据题目条件“∠1的度数比∠2的度数大50°”，可得∠1-∠2=50°。我们设∠1=x°，∠2=y°，将这两个等量关系转化为二元一次方程组，之后利用加减消元法即可求解方程组得到∠1和∠2的度数。
【解析】
根据图形的角度关系和题意，列方程组：
$\begin{cases} x+y=90 \\ x-y=50 \end{cases}$
将两个方程相加，得：
$x+y+x-y=90+50$
$2x=140$
解得$x=70$
把$x=70$代入$x+y=90$，得：
$70+y=90$
解得$y=20$
所以$\begin{cases} x=70 \\ y=20 \end{cases}$，即∠1=70°，∠2=20°。
【答案】
∠1=70°，∠2=20°
【知识点】
二元一次方程组的应用，角的和差计算
【点评】
本题结合几何图形的角度关系，考查二元一次方程组的实际应用，需要学生先从图形中提取角度间的等量关系，再结合题目条件建立方程组，重点考查对基础知识点的理解与运用能力，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知，∠1、∠2与三角板的直角共同组成一个平角（180°），由此可得∠1+∠2=90°；再根据题目条件“∠1的度数比∠2的度数大50°”，可得∠1-∠2=50°。我们设∠1=x°，∠2=y°，将这两个等量关系转化为二元一次方程组，之后利用加减消元法即可求解方程组得到∠1和∠2的度数。
【解析】
根据图形的角度关系和题意，列方程组：
$\begin{cases} x+y=90 \\ x-y=50 \end{cases}$
将两个方程相加，得：
$x+y+x-y=90+50$
$2x=140$
解得$x=70$
把$x=70$代入$x+y=90$，得：
$70+y=90$
解得$y=20$
所以$\begin{cases} x=70 \\ y=20 \end{cases}$，即∠1=70°，∠2=20°。
【答案】
∠1=70°，∠2=20°
【知识点】
二元一次方程组的应用，角的和差计算
【点评】
本题结合几何图形的角度关系，考查二元一次方程组的实际应用，需要学生先从图形中提取角度间的等量关系，再结合题目条件建立方程组，重点考查对基础知识点的理解与运用能力，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.8
