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3. 我国古代《算法统宗》记载:"我问开店李三公,众客都来到店中。一房七客多七客,一房九客一房空。"其后两句意思是:如果一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果一间客房住9人,那么就空出一间客房。若设该店有客房x间,房客y人,则列出关于x,y的二元一次方程组正确的是(
A.$\begin{cases} 7x-7=y,\\ 9(x-1)=y\\ \end{cases}$
B.$\begin{cases} 7x+7=y,\\ 9(x-1)=y\\ \end{cases}$
C.$\begin{cases} 7x+7=y,\\ 9x-1=y\\ \end{cases}$
D.$\begin{cases} 7x-7=y,\\ 9x-1=y\\ \end{cases}$
B
)。A.$\begin{cases} 7x-7=y,\\ 9(x-1)=y\\ \end{cases}$
B.$\begin{cases} 7x+7=y,\\ 9(x-1)=y\\ \end{cases}$
C.$\begin{cases} 7x+7=y,\\ 9x-1=y\\ \end{cases}$
D.$\begin{cases} 7x-7=y,\\ 9x-1=y\\ \end{cases}$
答案
3. B
解析
【分析】
要解决这道题，关键是从题目描述中提取两个等量关系，分别对应两种住宿情况：
1. 第一种情况“一房七客多七客”：每间房住7人，$x$间房可住$7x$人，还有7人没房住，说明房客总数$y$等于$7x$加上多出来的7人，即$y=7x+7$；
2. 第二种情况“一房九客一房空”：空出一间房，实际使用的客房数量是$(x-1)$间，每间住9人，那么房客总数$y$等于9乘以实际使用的房间数，即$y=9(x-1)$。
将这两个等式整理成方程组，再对比选项即可选出正确答案。
【解析】
设该店有客房$x$间，房客$y$人。
根据“一间客房住7人，有7人无房可住”，可得等量关系：$7x + 7 = y$；
根据“一间客房住9人，空出一间客房”，即实际使用$(x-1)$间客房住满所有人，可得等量关系：$9(x - 1) = y$。
因此，列出的二元一次方程组为$\begin{cases} 7x+7=y,\\ 9(x-1)=y\\ \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的实际应用、根据题意列方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组在实际问题中的应用，核心是准确理解题意，将“多客”“空房”等文字描述转化为数学等量关系，属于基础应用型题目，审题时需注意细节，避免对“空出一间客房”的含义理解错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，关键是从题目描述中提取两个等量关系，分别对应两种住宿情况：
1. 第一种情况“一房七客多七客”：每间房住7人，$x$间房可住$7x$人，还有7人没房住，说明房客总数$y$等于$7x$加上多出来的7人，即$y=7x+7$；
2. 第二种情况“一房九客一房空”：空出一间房，实际使用的客房数量是$(x-1)$间，每间住9人，那么房客总数$y$等于9乘以实际使用的房间数，即$y=9(x-1)$。
将这两个等式整理成方程组，再对比选项即可选出正确答案。
【解析】
设该店有客房$x$间，房客$y$人。
根据“一间客房住7人，有7人无房可住”，可得等量关系：$7x + 7 = y$；
根据“一间客房住9人，空出一间客房”，即实际使用$(x-1)$间客房住满所有人，可得等量关系：$9(x - 1) = y$。
因此，列出的二元一次方程组为$\begin{cases} 7x+7=y,\\ 9(x-1)=y\\ \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的实际应用、根据题意列方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组在实际问题中的应用，核心是准确理解题意，将“多客”“空房”等文字描述转化为数学等量关系，属于基础应用型题目，审题时需注意细节，避免对“空出一间客房”的含义理解错误。
【难度系数】
0.8
4. 学校向同学们征集校园便道地砖铺设的图形设计,琳琳用学校提供的完全相同的小长方形模具(如图①)拼出一个大长方形和一个正方形(如图②、图③),其中所拼正方形中间留下一个小正方形的空白,如果所拼图形中空白的小正方形边长等于3 cm,依据题意,列出关于a,b的方程组为:。
答案
4. $\begin{cases} 3a=5b, \\ 2b+a=2a+3 \end{cases}$
解析
【分析】
首先观察图②，大长方形的长是固定值，上方由5个小长方形的宽拼接而成，下方由3个小长方形的长拼接而成，根据长方形对边相等的性质，可得到第一个等量关系；再观察图③，拼成的大正方形的边长有两种不同的表示方式：一种是1个小长方形的长加2个小长方形的宽，另一种是2个小长方形的长加空白小正方形的边长（3cm），根据正方形边长相等的性质，可得到第二个等量关系，将这两个等量关系转化为方程，即可列出方程组。
【解析】
1. 分析图②的大长方形：
大长方形的长可表示为$5b$（5个小长方形的宽之和），也可表示为$3a$（3个小长方形的长之和），由于长方形对边相等，因此有：
$3a = 5b$
2. 分析图③的大正方形：
大正方形的边长可表示为$a + 2b$（1个小长方形的长与2个小长方形的宽之和），也可表示为$2a + 3$（2个小长方形的长与空白小正方形的边长之和），由于正方形的边长相等，因此有：
$a + 2b = 2a + 3$，即$2b + a = 2a + 3$
3. 联立上述两个方程，得到关于$a,b$的方程组：
$\begin{cases} 3a=5b, \\ 2b+a=2a+3 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} 3a=5b, \\ 2b+a=2a+3 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的实际应用；长方形与正方形的性质
【点评】
本题通过观察拼接图形的边长关系建立方程，考查了数形结合思想的应用，需要学生具备一定的图形观察能力，能从图形中提取等量关系，将实际图形问题转化为数学方程问题。
【难度系数】
0.6
首先观察图②，大长方形的长是固定值，上方由5个小长方形的宽拼接而成，下方由3个小长方形的长拼接而成，根据长方形对边相等的性质，可得到第一个等量关系；再观察图③，拼成的大正方形的边长有两种不同的表示方式：一种是1个小长方形的长加2个小长方形的宽，另一种是2个小长方形的长加空白小正方形的边长（3cm），根据正方形边长相等的性质，可得到第二个等量关系，将这两个等量关系转化为方程，即可列出方程组。
【解析】
1. 分析图②的大长方形：
大长方形的长可表示为$5b$（5个小长方形的宽之和），也可表示为$3a$（3个小长方形的长之和），由于长方形对边相等，因此有：
$3a = 5b$
2. 分析图③的大正方形：
大正方形的边长可表示为$a + 2b$（1个小长方形的长与2个小长方形的宽之和），也可表示为$2a + 3$（2个小长方形的长与空白小正方形的边长之和），由于正方形的边长相等，因此有：
$a + 2b = 2a + 3$，即$2b + a = 2a + 3$
3. 联立上述两个方程，得到关于$a,b$的方程组：
$\begin{cases} 3a=5b, \\ 2b+a=2a+3 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} 3a=5b, \\ 2b+a=2a+3 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的实际应用；长方形与正方形的性质
【点评】
本题通过观察拼接图形的边长关系建立方程，考查了数形结合思想的应用，需要学生具备一定的图形观察能力，能从图形中提取等量关系，将实际图形问题转化为数学方程问题。
【难度系数】
0.6
1. 马四匹,牛六头,共价四十八两;马三匹,牛五头,共价三十八两。若设每匹马价a两,每头牛价b两,可得方程组是(
A.$\begin{cases} 4a-6b=48,\\ 3a-5b=38\\ \end{cases}$
B.$\begin{cases} 4a+6b=48,\\ 3a+5b=38\\ \end{cases}$
C.$\begin{cases} 5a+6b=38,\\ 4a+5b=48\\ \end{cases}$
D.$\begin{cases} 6a+5b=48,\\ 5a+3b=38\\ \end{cases}$
B
)。A.$\begin{cases} 4a-6b=48,\\ 3a-5b=38\\ \end{cases}$
B.$\begin{cases} 4a+6b=48,\\ 3a+5b=38\\ \end{cases}$
C.$\begin{cases} 5a+6b=38,\\ 4a+5b=48\\ \end{cases}$
D.$\begin{cases} 6a+5b=48,\\ 5a+3b=38\\ \end{cases}$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，关键是根据题目中的两个等量关系列出对应的方程。首先明确：总价=单价×数量，马的总价加上牛的总价等于总价钱。
第一步，看第一个条件“马四匹，牛六头，共价四十八两”，每匹马$a$两，4匹马的总价是$4a$；每头牛$b$两，6头牛的总价是$6b$，两者相加等于48两，所以得到方程$4a+6b=48$。
第二步，看第二个条件“马三匹，牛五头，共价三十八两”，同理，3匹马的总价是$3a$，5头牛的总价是$5b$，两者相加等于38两，得到方程$3a+5b=38$。
最后将两个方程组合起来，对应选项即可。
【解析】
设每匹马价$a$两，每头牛价$b$两。
根据“马四匹，牛六头，共价四十八两”，可得：$4a + 6b = 48$；
根据“马三匹，牛五头，共价三十八两”，可得：$3a + 5b = 38$；
因此，所列方程组为$\begin{cases} 4a+6b=48,\\ 3a+5b=38\\ \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列二元一次方程组；二元一次方程组的实际应用
【点评】
本题主要考查根据实际问题中的等量关系列二元一次方程组，解题核心是准确理解“共价”的含义（即马和牛的总价之和），并熟练运用“总价=单价×数量”的基本数量关系，题目难度较低，侧重对基础概念和审题能力的考查。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，关键是根据题目中的两个等量关系列出对应的方程。首先明确：总价=单价×数量，马的总价加上牛的总价等于总价钱。
第一步，看第一个条件“马四匹，牛六头，共价四十八两”，每匹马$a$两，4匹马的总价是$4a$；每头牛$b$两，6头牛的总价是$6b$，两者相加等于48两，所以得到方程$4a+6b=48$。
第二步，看第二个条件“马三匹，牛五头，共价三十八两”，同理，3匹马的总价是$3a$，5头牛的总价是$5b$，两者相加等于38两，得到方程$3a+5b=38$。
最后将两个方程组合起来，对应选项即可。
【解析】
设每匹马价$a$两，每头牛价$b$两。
根据“马四匹，牛六头，共价四十八两”，可得：$4a + 6b = 48$；
根据“马三匹，牛五头，共价三十八两”，可得：$3a + 5b = 38$；
因此，所列方程组为$\begin{cases} 4a+6b=48,\\ 3a+5b=38\\ \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列二元一次方程组；二元一次方程组的实际应用
【点评】
本题主要考查根据实际问题中的等量关系列二元一次方程组，解题核心是准确理解“共价”的含义（即马和牛的总价之和），并熟练运用“总价=单价×数量”的基本数量关系，题目难度较低，侧重对基础概念和审题能力的考查。
【难度系数】
0.8
2. 某班有x人,分为y组活动,若每组7人,则余下6人;若每组8人,则还缺2人,求全班人数,列出的方程组正确的是(
A.$\begin{cases} 7y=x-6,\\ 8y=x+2\\ \end{cases}$
B.$\begin{cases} 7y=x+6,\\ 8y=x-2\\ \end{cases}$
C.$\begin{cases} 7x=y+6,\\ 8x=y-2\\ \end{cases}$
D.$\begin{cases} 7x=y-6,\\ 8x=y+2\\ \end{cases}$
A
)。A.$\begin{cases} 7y=x-6,\\ 8y=x+2\\ \end{cases}$
B.$\begin{cases} 7y=x+6,\\ 8y=x-2\\ \end{cases}$
C.$\begin{cases} 7x=y+6,\\ 8x=y-2\\ \end{cases}$
D.$\begin{cases} 7x=y-6,\\ 8x=y+2\\ \end{cases}$
答案
2. A
解析
【分析】
要解决这道题，关键是抓住“全班人数x”和“分组数y”这两个不变量，根据两种不同的分组情况列出等量关系式：
1. 第一种分组：每组7人，余下6人，说明总人数等于7组的人数加上余下的6人，即$7y + 6 = x$，移项后可得$7y = x - 6$；
2. 第二种分组：每组8人，还缺2人，说明8组的人数比总人数多2人，即$8y = x + 2$。
将这两个式子组合起来，就能找到正确的方程组。
【解析】
根据题意分析：
每组7人，余下6人，可得总人数$x = 7y + 6$，变形为$7y = x - 6$；
每组8人，还缺2人，可得总人数$x = 8y - 2$，变形为$8y = x + 2$。
因此，正确的方程组是$\begin{cases} 7y=x-6,\\ 8y=x+2\\ \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的实际应用
【点评】
本题考查二元一次方程组在实际问题中的应用，解题核心是找准不变量，理解“余下”“缺”所代表的数量关系，避免因对题意理解错误而列错关系式。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，关键是抓住“全班人数x”和“分组数y”这两个不变量，根据两种不同的分组情况列出等量关系式：
1. 第一种分组：每组7人，余下6人，说明总人数等于7组的人数加上余下的6人，即$7y + 6 = x$，移项后可得$7y = x - 6$；
2. 第二种分组：每组8人，还缺2人，说明8组的人数比总人数多2人，即$8y = x + 2$。
将这两个式子组合起来，就能找到正确的方程组。
【解析】
根据题意分析：
每组7人，余下6人，可得总人数$x = 7y + 6$，变形为$7y = x - 6$；
每组8人，还缺2人，可得总人数$x = 8y - 2$，变形为$8y = x + 2$。
因此，正确的方程组是$\begin{cases} 7y=x-6,\\ 8y=x+2\\ \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的实际应用
【点评】
本题考查二元一次方程组在实际问题中的应用，解题核心是找准不变量，理解“余下”“缺”所代表的数量关系，避免因对题意理解错误而列错关系式。
【难度系数】
0.8
3. 现有一段长为180 m的河道整治任务,由A、B两个工程小组先后接力完成,A工程小组每天整治12 m,B工程小组每天整治8 m,共用时20天,设A工程小组整治河道x m,B工程小组整治河道y m,依题意可列方程组(
A.$\begin{cases} x+y=180,\\ \dfrac{x}{12}+\dfrac{y}{8}=20\\ \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=20,\\ 12x+8y=180\\ \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=20,\\ \dfrac{x}{12}+\dfrac{y}{8}=180\\ \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=180,\\ \dfrac{12}{x}+\dfrac{8}{y}=20\\ \end{cases}$
A
)。A.$\begin{cases} x+y=180,\\ \dfrac{x}{12}+\dfrac{y}{8}=20\\ \end{cases}$
B.$\begin{cases} x+y=20,\\ 12x+8y=180\\ \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=20,\\ \dfrac{x}{12}+\dfrac{y}{8}=180\\ \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=180,\\ \dfrac{12}{x}+\dfrac{8}{y}=20\\ \end{cases}$
答案
3. A
解析
【分析】
要解决这道题，关键是找出题目中的两个核心等量关系：
1. 总整治长度：A工程小组整治的河道长度x与B工程小组整治的河道长度y之和等于任务总长180m，即$x+y=180$；
2. 总工作时间：A、B两个小组的工作时间之和为20天。根据“工作时间=工作量÷工作效率”，A小组每天整治12m，其工作时间为$\frac{x}{12}$天；B小组每天整治8m，其工作时间为$\frac{y}{8}$天，因此可得$\frac{x}{12}+\frac{y}{8}=20$。结合这两个等量关系即可确定正确方程组。
【解析】
根据题意，推导等量关系如下：
① 总工作量：A、B整治河道的总长度为180m，因此$x+y=180$；
② 总工作时间：A小组工作时间为$\frac{x}{12}$天，B小组工作时间为$\frac{y}{8}$天，总用时20天，因此$\frac{x}{12}+\frac{y}{8}=20$。
综上，可列方程组为$\begin{cases} x+y=180,\\ \dfrac{x}{12}+\dfrac{y}{8}=20\\ \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用，工程问题等量关系
【点评】
本题属于基础应用题，主要考查根据实际问题列二元一次方程组的能力，核心是准确掌握工作量、工作效率、工作时间三者的关系，找准总工作量和总工作时间这两个关键等量关系即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，关键是找出题目中的两个核心等量关系：
1. 总整治长度：A工程小组整治的河道长度x与B工程小组整治的河道长度y之和等于任务总长180m，即$x+y=180$；
2. 总工作时间：A、B两个小组的工作时间之和为20天。根据“工作时间=工作量÷工作效率”，A小组每天整治12m，其工作时间为$\frac{x}{12}$天；B小组每天整治8m，其工作时间为$\frac{y}{8}$天，因此可得$\frac{x}{12}+\frac{y}{8}=20$。结合这两个等量关系即可确定正确方程组。
【解析】
根据题意，推导等量关系如下：
① 总工作量：A、B整治河道的总长度为180m，因此$x+y=180$；
② 总工作时间：A小组工作时间为$\frac{x}{12}$天，B小组工作时间为$\frac{y}{8}$天，总用时20天，因此$\frac{x}{12}+\frac{y}{8}=20$。
综上，可列方程组为$\begin{cases} x+y=180,\\ \dfrac{x}{12}+\dfrac{y}{8}=20\\ \end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用，工程问题等量关系
【点评】
本题属于基础应用题，主要考查根据实际问题列二元一次方程组的能力，核心是准确掌握工作量、工作效率、工作时间三者的关系，找准总工作量和总工作时间这两个关键等量关系即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
4. 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路,如果保持上坡每小时走3 km,平路每小时走4 km,下坡每小时走5 km,那么从甲地到乙地需52 min,从乙地到甲地需40 min。设从甲地到乙地上坡与平路分别为x km,y km,依题意所列方程组正确的是(
A.$\begin{cases} \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{52}{60},\\ \dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{40}{60}\\ \end{cases}$
B.$\begin{cases} \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{52}{60},\\ \dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{5}=\dfrac{40}{60}\\ \end{cases}$
C.$\begin{cases} \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=52,\\ \dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{4}=40\\ \end{cases}$
D.$\begin{cases} \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=52,\\ \dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{5}=40\\ \end{cases}$
A
)。A.$\begin{cases} \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{52}{60},\\ \dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{40}{60}\\ \end{cases}$
B.$\begin{cases} \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{52}{60},\\ \dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{5}=\dfrac{40}{60}\\ \end{cases}$
C.$\begin{cases} \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=52,\\ \dfrac{x}{5}+\dfrac{y}{4}=40\\ \end{cases}$
D.$\begin{cases} \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=52,\\ \dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{5}=40\\ \end{cases}$
答案
4. A
解析
【分析】
首先，解题的关键是明确行程问题中时间、路程、速度的关系：时间=路程÷速度，同时要注意单位统一，题目中速度单位是km/h，时间单位是分钟，需转换为小时。
从甲地到乙地时，上坡路程为x km，速度3 km/h，所以上坡时间为$\frac{x}{3}$小时；平路路程为y km，速度4 km/h，平路时间为$\frac{y}{4}$小时，总时间52分钟即$\frac{52}{60}$小时，由此可列第一个方程。
从乙地到甲地时，原来的上坡变为下坡，下坡路程仍为x km，速度5 km/h，下坡时间为$\frac{x}{5}$小时；平路路程和速度不变，平路时间还是$\frac{y}{4}$小时，总时间40分钟即$\frac{40}{60}$小时，由此可列第二个方程。对比选项即可得出正确答案。
【解析】
1. 单位换算：因为速度单位是千米/小时，所以将时间单位分钟转换为小时，$52\ \mathrm{min}=\frac{52}{60}\ \mathrm{h}$，$40\ \mathrm{min}=\frac{40}{60}\ \mathrm{h}$。
2. 根据“时间=路程÷速度”列方程：
从甲地到乙地：上坡时间+平路时间=总时间，即$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=\frac{52}{60}$；
从乙地到甲地：下坡时间+平路时间=总时间，即$\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=\frac{40}{60}$。
3. 综上，所列方程组对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用、行程问题基本公式、单位换算
【点评】
本题主要考查二元一次方程组在行程问题中的应用，核心是掌握时间、路程、速度三者的关系，同时要注意单位统一，往返过程中上坡与下坡的路程转换是解题的易错点，需仔细区分上下坡对应的速度。
【难度系数】
0.7
首先，解题的关键是明确行程问题中时间、路程、速度的关系：时间=路程÷速度，同时要注意单位统一，题目中速度单位是km/h，时间单位是分钟，需转换为小时。
从甲地到乙地时，上坡路程为x km，速度3 km/h，所以上坡时间为$\frac{x}{3}$小时；平路路程为y km，速度4 km/h，平路时间为$\frac{y}{4}$小时，总时间52分钟即$\frac{52}{60}$小时，由此可列第一个方程。
从乙地到甲地时，原来的上坡变为下坡，下坡路程仍为x km，速度5 km/h，下坡时间为$\frac{x}{5}$小时；平路路程和速度不变，平路时间还是$\frac{y}{4}$小时，总时间40分钟即$\frac{40}{60}$小时，由此可列第二个方程。对比选项即可得出正确答案。
【解析】
1. 单位换算：因为速度单位是千米/小时，所以将时间单位分钟转换为小时，$52\ \mathrm{min}=\frac{52}{60}\ \mathrm{h}$，$40\ \mathrm{min}=\frac{40}{60}\ \mathrm{h}$。
2. 根据“时间=路程÷速度”列方程：
从甲地到乙地：上坡时间+平路时间=总时间，即$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=\frac{52}{60}$；
从乙地到甲地：下坡时间+平路时间=总时间，即$\frac{x}{5}+\frac{y}{4}=\frac{40}{60}$。
3. 综上，所列方程组对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用、行程问题基本公式、单位换算
【点评】
本题主要考查二元一次方程组在行程问题中的应用，核心是掌握时间、路程、速度三者的关系，同时要注意单位统一，往返过程中上坡与下坡的路程转换是解题的易错点，需仔细区分上下坡对应的速度。
【难度系数】
0.7
