1. 到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的()

A.三条高所在直线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点

1. D

2. 如图 1 - 4 - 12 所示，P 为△ABC 三边垂直平分线的交点，若∠PAC = 20°，∠PCB = 30°，则∠PAB 的度数为.

2. 40°

3. 根据图 1 - 4 - 13 中圆规作图的痕迹，可用直尺成功确定到三角形三个顶点的距离相等的点的是()

3. C

4. （教材随堂练习变式）尺规作图：如图 1 - 4 - 14，已知△ABC，求作：
（1）AC 边上的高；
（2）AB 边上的高.

解：
（1）作AC边上的高：
① 以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AC所在直线于M、N两点；
② 分别以M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧交于点P；
③ 作直线BP，交AC于点D，线段BD即为AC边上的高。
（2）作AB边上的高：
① 延长AB；
② 以点C为圆心，适当长为半径画弧，交AB的延长线于E、F两点；
③ 分别以E、F为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧，两弧交于点Q；
④ 作直线CQ，交AB的延长线于点E，线段CE即为AB边上的高。

5. 如图 1 - 4 - 15，在△ABC 中，边 AB，AC 的垂直平分线交于点 P，连接 BP，CP，若∠A = 50°，则∠BPC 的度数为.

5. 100°

6. 如图 1 - 4 - 16 所示，已知线段 a，b，求作等腰三角形，使底边上的高为 a，腰长为 b（a ＜ b，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.

解：
1. 作直线$l$，在直线$l$上取一点$D$，作直线$l$的垂线，在垂线上截取$AD = a$；
2. 以点$A$为圆心，$b$为半径作弧，交直线$l$于$B$、$C$两点；
3. 连接$AB$、$AC$，则$△ ABC$即为所求的等腰三角形。
（保留作图痕迹）

7. 核心素养 应用意识 为推进农村合作医疗制度改革，准备在某镇新建立一个医疗点 P，使医疗点 P 到该镇三个自然村 A，B，C 的距离相等(如图 1 - 4 - 17).
(1)请确定医疗点 P 的位置；
(2)若两村之间的距离分别为 AB = 5 km，BC = 5 km，AC = 6 km，则医疗点 P 到 B 村的距离为km.

1. （1）
解：
因为医疗点$P$到该镇三个自然村$A$，$B$，$C$的距离相等，所以点$P$是$△ ABC$三边垂直平分线的交点（或$△ ABC$外接圆的圆心）。
作法如下：
①分别作线段$AB$和$BC$（或$AB$和$AC$，或$BC$和$AC$）的垂直平分线；
②两垂直平分线的交点$P$就是所求的医疗点的位置。
2. （2）
答案：$\frac{25}{8}$。
解析（理科大题补充解析）：
设$AB = BC = 5\mathrm{km}$，$AC = 6\mathrm{km}$，设$AC$的垂直平分线交$AC$于$D$，$BP$交$AC$于$O$。
因为$AB = BC$，$P$在$AC$的垂直平分线上，所以$BP$垂直平分$AC$（等腰三角形三线合一），$AD=\frac{1}{2}AC = 3\mathrm{km}$。
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4\mathrm{km}$。
设$PB = PA = x\mathrm{km}$，则$PO=(4 - x)\mathrm{km}$。
在$Rt△ APO$中，根据勾股定理$AO^{2}+PO^{2}=PA^{2}$，即$3^{2}+(4 - x)^{2}=x^{2}$。
展开得$9 + 16-8x+x^{2}=x^{2}$。
移项得$8x=9 + 16$。
解得$x=\frac{25}{8}$，所以医疗点$P$到$B$村的距离为$\frac{25}{8}\mathrm{km}$。