1. (2024 青海)如图 1 - 5 - 1，OC 平分∠AOB，点 P 在 OC 上，PD⊥OB 于点 D，PD = 2，则点 P 到 OA 的距离是()


A.4
B.3
C.2
D.1

1. C

2. 如图 1 - 5 - 2，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D. 若 CD = 3，AB = 10，则△ABD 的面积是()

A.30
B.15
C.20
D.27

2. B

3. 新情境 日常生活(2024 常州)如图 1 - 5 - 3，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点 P 在∠AOB 的平分线上，则()

A.$d_1$ 与 $d_2$ 一定相等
B.$d_1$ 与 $d_2$ 一定不相等
C.$l_1$ 与 $l_2$ 一定相等
D.$l_1$ 与 $l_2$ 一定不相等

3. A

4. 如图 1 - 5 - 4，在△ABC 中，∠C = 90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，且 BD = DF.
(1) 求证：CF = EB；
(2) 试判断 AB 与 AF，EB 之间存在的数量关系，并证明.

1. （1）证明：
因为$AD$是$∠ BAC$的平分线，$∠ C = 90°$，$DE⊥ AB$，根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DC = DE$。
在$Rt△ DCF$和$Rt△ DEB$中，$\{\begin{array}{l}DF = BD\\DC = DE\end{array} $。
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理：若两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，则这两个直角三角形全等，所以$Rt△ DCF≌ Rt△ DEB$。
由全等三角形的对应边相等，可得$CF = EB$。
2. （2）判断$AB$与$AF$，$EB$之间的数量关系并证明：
数量关系：$AB=AF + 2EB$。
证明：
因为$AD$是$∠ BAC$的平分线，$∠ C = 90°$，$DE⊥ AB$，所以$∠ CAD=∠ EAD$，$∠ C=∠ AED = 90°$。
在$△ ACD$和$△ AED$中，$\{\begin{array}{l}∠ CAD=∠ EAD\\∠ C=∠ AED\\AD = AD\end{array} $。
根据$AAS$（角 - 角 - 边）定理：若两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别相等，则这两个三角形全等，所以$△ ACD≌△ AED$。
由全等三角形的对应边相等，可得$AC = AE$。
因为$AC=AF + CF$，$AB = AE+EB$，又因为$CF = EB$，$AC = AE$。
所以$AB=(AF + CF)+EB$，把$CF = EB$代入得$AB=AF + 2EB$。
综上，（1）已证$CF = EB$；（2）$AB$与$AF$，$EB$的数量关系为$AB = AF+2EB$。

5. 如图 1 - 5 - 5，DA⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为 A，E，若 DA = 5 cm，DE = 5 cm，∠ACD = 30°，则∠DCE 的度数为()

A.30°
B.40°
C.50°
D.60°

5. A

6. 如图 1 - 5 - 6，P 是射线 OC 上一点，PE⊥OB 于点 E，PD⊥OA 于点 D，EO = 4，OP = 5，当 PD = 时，射线 OC 是∠AOB 的平分线.

6. 3

7. 已知：如图 1 - 5 - 7，P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，F，G 分别是 OA，OB 上的点，且 PF = PG，DF = EG. 求证：
(1) △PEG≌△PDF；
(2) OC 是∠AOB 的平分线.

7. 证明:(1)$\because PD⊥ OA$,$PE⊥ OB$,
$\therefore ∠ PDF=∠ PEG=90°$.
在$Rt△ PEG$和$Rt△ PDF$中,
$\because PG=PF$,$EG=DF$,
$\therefore Rt△ PEG≌ Rt△ PDF(HL)$.
(2)$\because △ PEG≌ △ PDF$,$\therefore PD=PE$.
$\because P$是$OC$上一点,$PD⊥ OA$,$PE⊥ OB$,
$\therefore OC$是$∠ AOB$的平分线.