8. 在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所成的锐角为40°，则△ABC的顶角为()

A.20°或160°
B.30°或150°
C.40°或140°
D.50°或130°

8. D

9. 如图1-4-8，在△ABC中，AB=AC，分别以点A，B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点.若BC=4，△ABC的面积为10，则BM+MD的最小值为.

9. 5

10. 如图1-4-9，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E.求证：DE=EC.（用两种方法证明）

10. 证明:方法不唯一.如:方法一:如图①,连接BE.
∵DE是AB的垂直平分线,
∴BD=$\frac{1}{2}$AB.
∵∠ACB = 90°,∠A = 30°,
∴BC = $\frac{1}{2}$AB,
∴BC = BD.
又
∵BE = BE,
∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL),
∴DE = EC.
　　　　
方法二:如图②,延长DE交BC的延长线于点F.
∵∠ACB = 90°,∠A = 30°,
∴∠B = 60°,BC = $\frac{1}{2}$AB.
∵DE垂直平分AB,
∴BD = AD = $\frac{1}{2}$AB = BC,∠BDF = 90°,
∴∠F = 30° = ∠A,
∴BD = $\frac{1}{2}$BF,
∴CF = BD = AD.
在△ADE与△FCE中,
∵∠A = ∠F,∠AED = ∠FEC,AD = FC,
∴△ADE≌△FCE(AAS),
∴DE = EC.

11. 如图1-4-10所示，村庄A，B分别在笔直的公路l的两侧.一辆汽车在公路l上行驶，则汽车在什么位置时到A，B两村庄的距离相等？请找出这个点，并说明理由.

11. 解:如图,连接AB,作线段AB的垂直平分线交公路l于点C,则点C即为所求.

理由:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

12. 核心素养 几何直观 如图1-4-11，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC于点F，DE⊥BA交BA的延长线于点E.
（1）求证：AE=CF；
（2）若AB=5，BC=9，DE=4，求BD的长.

12. 解:(1)证明:如图,连接AD,DC.

∵BD平分∠ABC,
∴∠DBE = ∠DBF.
∵DE⊥BA,DF⊥BC,
∴∠E = ∠DFB = 90°.
又
∵BD = BD,
∴△BDE≌△BDF(AAS),
∴DE = DF.
∵点D在边AC的垂直平分线上,
∴DA = DC.
在Rt△DEA和Rt△DFC中,
∵DA = DC,DE = DF,
∴Rt△DEA≌Rt△DFC(HL),
∴AE = CF.
(2)由(1)知△BDE≌△BDF,
∴BE = BF.
∵AE = CF,BC = BF + CF,BE = AB + AE,
∴BC = BF + CF = AB + 2CF.
∵AB = 5,BC = 9,
∴CF = 2,
∴BF = 9 - 2 = 7.
∵DF = DE = 4,
∴BD = $\sqrt{BF^2 + DF^2}$ = $\sqrt{7^2 + 4^2}$ = $\sqrt{65}$.