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1. 已知$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$，其中$a ≥ 0$，则$b$满足的条件是（
A.$b＜0$
B.$b≥0$
C.$b$必须等于零
D.不能确定
B
）。A.$b＜0$
B.$b≥0$
C.$b$必须等于零
D.不能确定
答案
1.B
解析
【分析】
要确定b满足的条件，需结合二次根式有意义的条件和二次根式乘法法则的适用前提来思考：首先二次根式的被开方数必须是非负数，等式左右两边的所有二次根式都要先满足有意义的要求，再结合已知a≥0的条件推导b的范围。
【解析】
根据二次根式的定义，只有被开方数为非负数时，二次根式才有意义。
1. 先看等式左边：$\sqrt{a}$已经满足$a≥0$有意义，要使$\sqrt{b}$有意义，则被开方数$b≥0$；
2. 再看等式右边：$\sqrt{ab}$要有意义，需满足$ab≥0$，结合已知$a≥0$，当$b≥0$时，$ab≥0$恒成立，右边的二次根式也有意义。
综上，b满足的条件是$b≥0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则
【点评】
本题是二次根式的基础考查题，核心是要明确二次根式的被开方数必须为非负数，同时要注意二次根式的乘法法则只有在所有被开方数都非负的前提下才成立。
【难度系数】
0.8
要确定b满足的条件，需结合二次根式有意义的条件和二次根式乘法法则的适用前提来思考：首先二次根式的被开方数必须是非负数，等式左右两边的所有二次根式都要先满足有意义的要求，再结合已知a≥0的条件推导b的范围。
【解析】
根据二次根式的定义，只有被开方数为非负数时，二次根式才有意义。
1. 先看等式左边：$\sqrt{a}$已经满足$a≥0$有意义，要使$\sqrt{b}$有意义，则被开方数$b≥0$；
2. 再看等式右边：$\sqrt{ab}$要有意义，需满足$ab≥0$，结合已知$a≥0$，当$b≥0$时，$ab≥0$恒成立，右边的二次根式也有意义。
综上，b满足的条件是$b≥0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则
【点评】
本题是二次根式的基础考查题，核心是要明确二次根式的被开方数必须为非负数，同时要注意二次根式的乘法法则只有在所有被开方数都非负的前提下才成立。
【难度系数】
0.8
2. 若将$-\sqrt{2}$，$\sqrt{7}$，$\sqrt{11}$分别表示在数轴上，其中能被如图1所示的墨迹覆盖的数是（
A.$-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{11}$
D.无法确定
B
）。A.$-\sqrt{2}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{11}$
D.无法确定
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先观察数轴确定墨迹覆盖的数的取值范围，再通过平方法分别估算每个选项中无理数的大致范围，逐一判断哪个无理数落在覆盖区间内，即可得到答案。
【解析】
解：由数轴可得，墨迹覆盖的数的范围是$1 ＜ x ＜ 3$。
1. 分析$-\sqrt{2}$：$\sqrt{2}\approx1.414$，则$-\sqrt{2}\approx-1.414＜1$，不在覆盖范围内，排除A选项；
2. 分析$\sqrt{7}$：因为$4＜7＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，满足$1＜\sqrt{7}＜3$，属于覆盖范围；
3. 分析$\sqrt{11}$：因为$9＜11＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$，超出覆盖范围，排除C选项。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数大小估算、数轴的应用
【点评】
本题是基础题型，解题关键是先确定数轴上目标区间的范围，再通过比较被开方数的大小估算无理数的取值区间，逐一筛选即可得到结果，需要熟练掌握常见无理数的估算方法。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察数轴确定墨迹覆盖的数的取值范围，再通过平方法分别估算每个选项中无理数的大致范围，逐一判断哪个无理数落在覆盖区间内，即可得到答案。
【解析】
解：由数轴可得，墨迹覆盖的数的范围是$1 ＜ x ＜ 3$。
1. 分析$-\sqrt{2}$：$\sqrt{2}\approx1.414$，则$-\sqrt{2}\approx-1.414＜1$，不在覆盖范围内，排除A选项；
2. 分析$\sqrt{7}$：因为$4＜7＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$，满足$1＜\sqrt{7}＜3$，属于覆盖范围；
3. 分析$\sqrt{11}$：因为$9＜11＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$，超出覆盖范围，排除C选项。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
无理数大小估算、数轴的应用
【点评】
本题是基础题型，解题关键是先确定数轴上目标区间的范围，再通过比较被开方数的大小估算无理数的取值区间，逐一筛选即可得到结果，需要熟练掌握常见无理数的估算方法。
【难度系数】
0.8
3. 在算式$(-\dfrac{\sqrt{3}}{3})□(-\dfrac{\sqrt{3}}{3})$的“□”中填上运算符号使结果最大，这个运算符号是（
A.加号
B.减号
C.乘号
D.除号
D
）。A.加号
B.减号
C.乘号
D.除号
答案
3.D
解析
【分析】
要确定使算式结果最大的运算符号，只需分别将加、减、乘、除四个运算符号代入算式计算结果，再比较四个结果的大小，最大结果对应的运算符号即为所求。
【解析】
我们分别计算填入四种运算符号的结果：
1. 填加号（选项A）：
$(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}) + (-\dfrac{\sqrt{3}}{3}) = -\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
2. 填减号（选项B）：
$(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}) - (-\dfrac{\sqrt{3}}{3}) = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} + \dfrac{\sqrt{3}}{3} = 0$
3. 填乘号（选项C）：
$(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}) × (-\dfrac{\sqrt{3}}{3}) = \dfrac{(\sqrt{3})^2}{3^2} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$
4. 填除号（选项D）：
$(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}) ÷ (-\dfrac{\sqrt{3}}{3}) = 1$
比较四个结果的大小：$-\dfrac{2\sqrt{3}}{3} ＜ 0 ＜ \dfrac{1}{3} ＜ 1$，可知填入除号时结果最大。
【答案】
D
【知识点】
二次根式运算，实数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是熟练掌握二次根式的四则运算法则，注意负数运算的符号变化，通过逐一计算验证即可得出答案。
【难度系数】
0.85
要确定使算式结果最大的运算符号，只需分别将加、减、乘、除四个运算符号代入算式计算结果，再比较四个结果的大小，最大结果对应的运算符号即为所求。
【解析】
我们分别计算填入四种运算符号的结果：
1. 填加号（选项A）：
$(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}) + (-\dfrac{\sqrt{3}}{3}) = -\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
2. 填减号（选项B）：
$(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}) - (-\dfrac{\sqrt{3}}{3}) = -\dfrac{\sqrt{3}}{3} + \dfrac{\sqrt{3}}{3} = 0$
3. 填乘号（选项C）：
$(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}) × (-\dfrac{\sqrt{3}}{3}) = \dfrac{(\sqrt{3})^2}{3^2} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$
4. 填除号（选项D）：
$(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}) ÷ (-\dfrac{\sqrt{3}}{3}) = 1$
比较四个结果的大小：$-\dfrac{2\sqrt{3}}{3} ＜ 0 ＜ \dfrac{1}{3} ＜ 1$，可知填入除号时结果最大。
【答案】
D
【知识点】
二次根式运算，实数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是熟练掌握二次根式的四则运算法则，注意负数运算的符号变化，通过逐一计算验证即可得出答案。
【难度系数】
0.85
4. 高空抛物是违法行为，我们应该养成文明的生活习惯，杜绝高空抛物. 据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间 $t$（s）和高度 $h$（m）近似满足公式 $t=\sqrt{\dfrac{h}{5}}$（不考虑阻力的影响）. 物体从 60 m 的高空落到地面的时间是（
A.$2\sqrt{3}\ \mathrm{s}$
B.$3\sqrt{2}\ \mathrm{s}$
C.$6\sqrt{2}\ \mathrm{s}$
D.$12\ \mathrm{s}$
A
）.A.$2\sqrt{3}\ \mathrm{s}$
B.$3\sqrt{2}\ \mathrm{s}$
C.$6\sqrt{2}\ \mathrm{s}$
D.$12\ \mathrm{s}$
答案
4.A
解析
【分析】
本题给出了下落时间$t$与高度$h$的对应公式，要求物体从60m高空落地的时间，解题思路清晰：首先将已知的高度$h=60\mathrm{m}$代入给定公式，先计算根号内的运算，再对得到的二次根式进行化简，得到最简结果后匹配对应选项即可，计算时要注意将结果化为最简二次根式。
【解析】
已知高度$h=60\mathrm{m}$，将其代入公式$t=\sqrt{\dfrac{h}{5}}$可得：
$t=\sqrt{\dfrac{60}{5}}=\sqrt{12}$
根据二次根式的化简规则，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{s}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的化简；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景考查二次根式的基础运算，核心是掌握二次根式的化简规则，正确代入数值计算即可，解题时需注意最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
本题给出了下落时间$t$与高度$h$的对应公式，要求物体从60m高空落地的时间，解题思路清晰：首先将已知的高度$h=60\mathrm{m}$代入给定公式，先计算根号内的运算，再对得到的二次根式进行化简，得到最简结果后匹配对应选项即可，计算时要注意将结果化为最简二次根式。
【解析】
已知高度$h=60\mathrm{m}$，将其代入公式$t=\sqrt{\dfrac{h}{5}}$可得：
$t=\sqrt{\dfrac{60}{5}}=\sqrt{12}$
根据二次根式的化简规则，$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{s}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的化简；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景考查二次根式的基础运算，核心是掌握二次根式的化简规则，正确代入数值计算即可，解题时需注意最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
5. 对于任意不相等的两个实数$a$，$b(a＞b)$定义一种运算$a※b=\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}}$，如$3※2=\frac{\sqrt{3+2}}{\sqrt{3-2}}$，那么$12※4=$
$\sqrt{2}$
.答案
5.$\sqrt{2}$
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题思路分为三步：首先明确新运算※的规则，确认运算中对应的a、b取值要满足a＞b的要求；其次将对应a、b的取值代入给定的运算公式；最后按照二次根式的运算法则计算并化简结果即可。
【解析】
根据新定义的运算规则$a※b=\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}}$（$a＞b$），本题中$a=12$，$b=4$，满足$a＞b$，代入公式计算：
$\begin{aligned}12※4&=\frac{\sqrt{12+4}}{\sqrt{12-4}}\\&=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{8}}\\&=\frac{4}{2\sqrt{2}}\\&=\frac{2}{\sqrt{2}}\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算、二次根式化简、二次根式运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对新运算规则的理解和二次根式的基本计算能力，解题时只要准确对应a、b的取值，遵循二次根式运算顺序化简，即可顺利得出结果。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题思路分为三步：首先明确新运算※的规则，确认运算中对应的a、b取值要满足a＞b的要求；其次将对应a、b的取值代入给定的运算公式；最后按照二次根式的运算法则计算并化简结果即可。
【解析】
根据新定义的运算规则$a※b=\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a-b}}$（$a＞b$），本题中$a=12$，$b=4$，满足$a＞b$，代入公式计算：
$\begin{aligned}12※4&=\frac{\sqrt{12+4}}{\sqrt{12-4}}\\&=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{8}}\\&=\frac{4}{2\sqrt{2}}\\&=\frac{2}{\sqrt{2}}\\&=\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
新定义运算、二次根式化简、二次根式运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对新运算规则的理解和二次根式的基本计算能力，解题时只要准确对应a、b的取值，遵循二次根式运算顺序化简，即可顺利得出结果。
【难度系数】
0.8
