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11. 已知$y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}+4$，求$(x-y)^{2026}$的值.
答案
11. 由题意，$\because x-3≥0$，$\therefore x≥3$. 又$\because 3-x≥0$，$\therefore x≤3$. $\therefore x=3$，$y=4$. $\therefore (x-y)^{2026}=(-1)^{2026}=1$
解析
【分析】
要计算$(x-y)^{2026}$的值，首先需要求出$x$和$y$的具体取值。观察$y$的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式的定义，只有被开方数为非负数时二次根式才有意义，因此可以列出关于$x$的不等式组，求解得到$x$的值后，代入表达式即可求出$y$，最后代入待求代数式计算结果即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，因此：
$\because x-3≥0$，$\therefore x≥3$
又$\because 3-x≥0$，$\therefore x≤3$
联立可得$x=3$
将$x=3$代入$y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}+4$，得：
$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}+4=4$
将$x=3,y=4$代入$(x-y)^{2026}$，得：
$(x-y)^{2026}=(3-4)^{2026}=(-1)^{2026}=1$
【答案】
$1$
【知识点】
二次根式有意义的条件，乘方运算
【点评】
本题属于二次根式相关的基础题型，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数的非负性，以此确定未知参数的取值，计算乘方时注意负数的偶次幂为正数即可。
【难度系数】
0.8
要计算$(x-y)^{2026}$的值，首先需要求出$x$和$y$的具体取值。观察$y$的表达式，其中包含两个二次根式，根据二次根式的定义，只有被开方数为非负数时二次根式才有意义，因此可以列出关于$x$的不等式组，求解得到$x$的值后，代入表达式即可求出$y$，最后代入待求代数式计算结果即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，因此：
$\because x-3≥0$，$\therefore x≥3$
又$\because 3-x≥0$，$\therefore x≤3$
联立可得$x=3$
将$x=3$代入$y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}+4$，得：
$y=\sqrt{0}+\sqrt{0}+4=4$
将$x=3,y=4$代入$(x-y)^{2026}$，得：
$(x-y)^{2026}=(3-4)^{2026}=(-1)^{2026}=1$
【答案】
$1$
【知识点】
二次根式有意义的条件，乘方运算
【点评】
本题属于二次根式相关的基础题型，解题的关键是熟练掌握二次根式被开方数的非负性，以此确定未知参数的取值，计算乘方时注意负数的偶次幂为正数即可。
【难度系数】
0.8
12. 根据以下素材，探索完成任务.
设计合适的盒子
素材1
团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意. 小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这面团扇的扇面圆面积为$81π \ \mathrm{cm}^2$，手柄长为10 cm.
素材2
为了美观，小志设计一个正面的面积为$600 \ \mathrm{cm}^2$，且长、高比为$3:5$的长方体盒子进行包装.
任务
（1）根据素材1，该圆形团扇的半径为
（2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高.
（3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由.
设计合适的盒子
素材1
团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意. 小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这面团扇的扇面圆面积为$81π \ \mathrm{cm}^2$，手柄长为10 cm.
素材2
为了美观，小志设计一个正面的面积为$600 \ \mathrm{cm}^2$，且长、高比为$3:5$的长方体盒子进行包装.
任务
（1）根据素材1，该圆形团扇的半径为
9
cm.（2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高.
（3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由.
答案
12. （1）9
（2）$\because$ 小志设计一个正面的面积为 $600 \ \mathrm{cm}^2$，且长、高比为$3:5$的长方体纸盒进行包装，$\therefore$ 可设长为 $3x \ \mathrm{cm}$，高为 $5x \ \mathrm{cm}$. $\because 3x · 5x=600$，解得 $x=2\sqrt{10}$（舍去负数），$\therefore$ 该长方体盒子的长为 $2\sqrt{10} × 3=6\sqrt{10}$（cm），高为 $2\sqrt{10} × 5=10\sqrt{10}$（cm）
（3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，圆形团扇的直径为 $9 × 2=18$（cm），总高度为 $18+10=28$（cm）.$\because 6\sqrt{10}＞6\sqrt{9}=18$，$10\sqrt{10}＞10\sqrt{9}=30＞28$，$\therefore$ 这个长方体盒子能装得下这面团扇
（2）$\because$ 小志设计一个正面的面积为 $600 \ \mathrm{cm}^2$，且长、高比为$3:5$的长方体纸盒进行包装，$\therefore$ 可设长为 $3x \ \mathrm{cm}$，高为 $5x \ \mathrm{cm}$. $\because 3x · 5x=600$，解得 $x=2\sqrt{10}$（舍去负数），$\therefore$ 该长方体盒子的长为 $2\sqrt{10} × 3=6\sqrt{10}$（cm），高为 $2\sqrt{10} × 5=10\sqrt{10}$（cm）
（3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，圆形团扇的直径为 $9 × 2=18$（cm），总高度为 $18+10=28$（cm）.$\because 6\sqrt{10}＞6\sqrt{9}=18$，$10\sqrt{10}＞10\sqrt{9}=30＞28$，$\therefore$ 这个长方体盒子能装得下这面团扇
解析
【分析】
1. 第（1）问：已知圆形扇面面积，直接利用圆的面积公式$S=π r^2$，代入数值求解即可，注意半径为正数，舍去负解。
2. 第（2）问：根据长和高的比例$3:5$，设参数$x$表示长和高，结合正面面积=长×高的等量关系列方程，求解参数后即可得到长和高，舍去不符合实际的负参数。
3. 第（3）问：判断盒子能否装下团扇，需满足两个条件：盒子的长≥扇面直径，盒子的高≥团扇总长度（扇面直径+手柄长度）。先计算团扇的直径和总长度，再通过估算二次根式的大小，将盒子的长、高分别和对应数值比较，即可得出结论。
【解析】
（1）设团扇扇面的半径为$r\ \mathrm{cm}$，根据圆的面积公式可得：
$π r^2=81π$
两边同时除以$π$得$r^2=81$，因为半径为正数，所以$r=9$。
（2）设长方体盒子的长为$3x\ \mathrm{cm}$，高为$5x\ \mathrm{cm}$，由正面面积为$600\ \mathrm{cm}^2$可列方程：
$3x·5x=600$
化简得$15x^2=600$，即$x^2=40$。
因为$x$为正数，所以$x=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
因此长为$3x=3×2\sqrt{10}=6\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$，高为$5x=5×2\sqrt{10}=10\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
（3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由如下：
团扇扇面的直径为$2×9=18\ \mathrm{cm}$，团扇的总长度为$18+10=28\ \mathrm{cm}$。
比较盒子的长和扇面直径：$\because \sqrt{10}＞\sqrt{9}=3$，$\therefore 6\sqrt{10}＞6×3=18$，即盒子的长大于扇面直径；
比较盒子的高和团扇总长度：$\because 10\sqrt{10}＞10×3=30＞28$，即盒子的高大于团扇总长度。
因此这个长方体盒子能装得下这面团扇。
【答案】
（1）$\boxed{9}$
（2）长为$\boxed{6\sqrt{10}\ \mathrm{cm}}$，高为$\boxed{10\sqrt{10}\ \mathrm{cm}}$
（3）能装下，理由见解析。
【知识点】
圆的面积计算，比例方程应用，二次根式大小比较
【点评】
本题结合传统工艺品包装的生活场景，将基础几何计算、二次根式的应用融入实际问题，既考查了基础公式的掌握情况，也提升了运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
1. 第（1）问：已知圆形扇面面积，直接利用圆的面积公式$S=π r^2$，代入数值求解即可，注意半径为正数，舍去负解。
2. 第（2）问：根据长和高的比例$3:5$，设参数$x$表示长和高，结合正面面积=长×高的等量关系列方程，求解参数后即可得到长和高，舍去不符合实际的负参数。
3. 第（3）问：判断盒子能否装下团扇，需满足两个条件：盒子的长≥扇面直径，盒子的高≥团扇总长度（扇面直径+手柄长度）。先计算团扇的直径和总长度，再通过估算二次根式的大小，将盒子的长、高分别和对应数值比较，即可得出结论。
【解析】
（1）设团扇扇面的半径为$r\ \mathrm{cm}$，根据圆的面积公式可得：
$π r^2=81π$
两边同时除以$π$得$r^2=81$，因为半径为正数，所以$r=9$。
（2）设长方体盒子的长为$3x\ \mathrm{cm}$，高为$5x\ \mathrm{cm}$，由正面面积为$600\ \mathrm{cm}^2$可列方程：
$3x·5x=600$
化简得$15x^2=600$，即$x^2=40$。
因为$x$为正数，所以$x=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
因此长为$3x=3×2\sqrt{10}=6\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$，高为$5x=5×2\sqrt{10}=10\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
（3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由如下：
团扇扇面的直径为$2×9=18\ \mathrm{cm}$，团扇的总长度为$18+10=28\ \mathrm{cm}$。
比较盒子的长和扇面直径：$\because \sqrt{10}＞\sqrt{9}=3$，$\therefore 6\sqrt{10}＞6×3=18$，即盒子的长大于扇面直径；
比较盒子的高和团扇总长度：$\because 10\sqrt{10}＞10×3=30＞28$，即盒子的高大于团扇总长度。
因此这个长方体盒子能装得下这面团扇。
【答案】
（1）$\boxed{9}$
（2）长为$\boxed{6\sqrt{10}\ \mathrm{cm}}$，高为$\boxed{10\sqrt{10}\ \mathrm{cm}}$
（3）能装下，理由见解析。
【知识点】
圆的面积计算，比例方程应用，二次根式大小比较
【点评】
本题结合传统工艺品包装的生活场景，将基础几何计算、二次根式的应用融入实际问题，既考查了基础公式的掌握情况，也提升了运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
