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7. 计算：
(1) $\sqrt{27} · \sqrt{2\dfrac{2}{3}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{2}}$；
(2) $\sqrt{32} ÷ (\sqrt{12} × \sqrt{18})$；
(3) $\sqrt{27} + \dfrac{1}{3}\sqrt{18} - \sqrt{12}$；
(4) $5\sqrt{3} - (\sqrt{12} - 7\sqrt{27})$。
(1) $\sqrt{27} · \sqrt{2\dfrac{2}{3}} ÷ \sqrt{\dfrac{1}{2}}$；
(2) $\sqrt{32} ÷ (\sqrt{12} × \sqrt{18})$；
(3) $\sqrt{27} + \dfrac{1}{3}\sqrt{18} - \sqrt{12}$；
(4) $5\sqrt{3} - (\sqrt{12} - 7\sqrt{27})$。
答案
7. (1) 12
(2) $\dfrac{2}{9}\sqrt{3}$
(3) $\sqrt{3}+\sqrt{2}$
(4) $24\sqrt{3}$
(2) $\dfrac{2}{9}\sqrt{3}$
(3) $\sqrt{3}+\sqrt{2}$
(4) $24\sqrt{3}$
解析
【分析】
这组题目考查二次根式的四则运算，解题思路清晰：①乘除混合运算：遵循二次根式乘除法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），先将所有被开方数统一进行乘除运算，再化简为最简二次根式；②加减运算：先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式），合并时仅系数加减，被开方数不变；③运算时注意优先级，有括号先计算括号内的内容，去括号时注意符号变化。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数，再统一计算被开方数的乘除：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{27}·\sqrt{\frac{8}{3}}÷\sqrt{\frac{1}{2}}\\&=\sqrt{27×\frac{8}{3}÷\frac{1}{2}}\\&=\sqrt{9×8×2}\\&=\sqrt{144}\\&=12\end{aligned}$
(2) 先算括号内乘法，再计算除法，最后化简：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{32}÷\sqrt{12×18}\\&=\sqrt{32}÷\sqrt{216}\\&=\sqrt{\frac{32}{216}}\\&=\sqrt{\frac{4}{27}}\\&=\frac{2}{3\sqrt{3}}\\&=\frac{2\sqrt{3}}{9}\end{aligned}$
(3) 先将各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=3\sqrt{3}+\frac{1}{3}×3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\\&=3\sqrt{3}+\sqrt{2}-2\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}+\sqrt{2}\end{aligned}$
(4) 先去括号，再化简各根式，最后合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=5\sqrt{3}-\sqrt{12}+7\sqrt{27}\\&=5\sqrt{3}-2\sqrt{3}+7×3\sqrt{3}\\&=3\sqrt{3}+21\sqrt{3}\\&=24\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $12$；(2) $\dfrac{2}{9}\sqrt{3}$；(3) $\sqrt{3}+\sqrt{2}$；(4) $24\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式乘除运算、二次根式加减运算、最简二次根式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的运算法则，运算过程中要注意先化简再计算，同时关注运算顺序和去括号的符号规则，熟练掌握后可快速准确求解。
【难度系数】
0.7
这组题目考查二次根式的四则运算，解题思路清晰：①乘除混合运算：遵循二次根式乘除法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$、$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），先将所有被开方数统一进行乘除运算，再化简为最简二次根式；②加减运算：先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（被开方数相同的二次根式），合并时仅系数加减，被开方数不变；③运算时注意优先级，有括号先计算括号内的内容，去括号时注意符号变化。
【解析】
(1) 先将带分数化为假分数，再统一计算被开方数的乘除：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{27}·\sqrt{\frac{8}{3}}÷\sqrt{\frac{1}{2}}\\&=\sqrt{27×\frac{8}{3}÷\frac{1}{2}}\\&=\sqrt{9×8×2}\\&=\sqrt{144}\\&=12\end{aligned}$
(2) 先算括号内乘法，再计算除法，最后化简：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{32}÷\sqrt{12×18}\\&=\sqrt{32}÷\sqrt{216}\\&=\sqrt{\frac{32}{216}}\\&=\sqrt{\frac{4}{27}}\\&=\frac{2}{3\sqrt{3}}\\&=\frac{2\sqrt{3}}{9}\end{aligned}$
(3) 先将各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=3\sqrt{3}+\frac{1}{3}×3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\\&=3\sqrt{3}+\sqrt{2}-2\sqrt{3}\\&=\sqrt{3}+\sqrt{2}\end{aligned}$
(4) 先去括号，再化简各根式，最后合并同类二次根式：
$\begin{aligned}原式&=5\sqrt{3}-\sqrt{12}+7\sqrt{27}\\&=5\sqrt{3}-2\sqrt{3}+7×3\sqrt{3}\\&=3\sqrt{3}+21\sqrt{3}\\&=24\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $12$；(2) $\dfrac{2}{9}\sqrt{3}$；(3) $\sqrt{3}+\sqrt{2}$；(4) $24\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式乘除运算、二次根式加减运算、最简二次根式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的运算法则，运算过程中要注意先化简再计算，同时关注运算顺序和去括号的符号规则，熟练掌握后可快速准确求解。
【难度系数】
0.7
8. 能使等式$\sqrt{\dfrac{x-2}{x}}=\dfrac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}}$成立的$x$的取值范围是（
A.$x＞0$
B.$x≥0$
C.$x＞2$
D.$x≥2$
D
）.A.$x＞0$
B.$x≥0$
C.$x＞2$
D.$x≥2$
答案
8.D
解析
【分析】
本题考查二次根式除法法则的成立条件，要使商的算术平方根等于算术平方根的商，需要保证等式两侧的二次根式都有意义，同时分母不为0。解题时先分别列出两个根号下被开方数需要满足的条件，解出对应不等式后取公共解集，就能得到x的取值范围。
【解析】
要使等式$\sqrt{\dfrac{x-2}{x}}=\dfrac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}}$成立，需同时满足以下条件：
1. 分子的二次根式$\sqrt{x-2}$有意义，被开方数非负，即$x-2≥0$，解得$x≥2$；
2. 分母的二次根式$\sqrt{x}$有意义且分母不为0，被开方数需大于0，即$x＞0$。
取两个解集的公共部分，可得$x≥2$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的除法性质；解一元一次不等式组
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题，解题的关键是牢记二次根式除法法则的适用条件，尤其注意分母处的被开方数不能为0，避免因忽略限制条件选错答案。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式除法法则的成立条件，要使商的算术平方根等于算术平方根的商，需要保证等式两侧的二次根式都有意义，同时分母不为0。解题时先分别列出两个根号下被开方数需要满足的条件，解出对应不等式后取公共解集，就能得到x的取值范围。
【解析】
要使等式$\sqrt{\dfrac{x-2}{x}}=\dfrac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}}$成立，需同时满足以下条件：
1. 分子的二次根式$\sqrt{x-2}$有意义，被开方数非负，即$x-2≥0$，解得$x≥2$；
2. 分母的二次根式$\sqrt{x}$有意义且分母不为0，被开方数需大于0，即$x＞0$。
取两个解集的公共部分，可得$x≥2$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的除法性质；解一元一次不等式组
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题，解题的关键是牢记二次根式除法法则的适用条件，尤其注意分母处的被开方数不能为0，避免因忽略限制条件选错答案。
【难度系数】
0.8
9. 如图1，若$a+\sqrt{8}=\sqrt{18}$，则表示实数$a$的点会落在数轴的（
A.线段①上
B.线段②上
C.线段③上
D.线段④上
B
）。A.线段①上
B.线段②上
C.线段③上
D.线段④上
答案
9.B
解析
【分析】
解题时首先根据已知等式移项得到a的表达式，再将式子中的二次根式化简为最简二次根式，合并同类二次根式得到a的具体值，接下来估算a的取值范围，最后对照数轴上各线段对应的区间，即可判断出a所在的线段。
【解析】
已知$a+\sqrt{8}=\sqrt{18}$，移项可得：
$a=\sqrt{18}-\sqrt{8}$
分别化简两个二次根式：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$
代入得$a=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$
估算$\sqrt{2}$的大小：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$，即a的取值在1和2之间。
观察数轴可知，线段②对应的区间是1~2，因此表示实数a的点落在线段②上。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简，无理数估算，数轴的应用
【点评】
本题属于基础综合题，将二次根式运算与无理数估算、数轴知识相结合，解题的核心是正确化简二次根式得到a的最简形式，再准确估算无理数的取值范围即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据已知等式移项得到a的表达式，再将式子中的二次根式化简为最简二次根式，合并同类二次根式得到a的具体值，接下来估算a的取值范围，最后对照数轴上各线段对应的区间，即可判断出a所在的线段。
【解析】
已知$a+\sqrt{8}=\sqrt{18}$，移项可得：
$a=\sqrt{18}-\sqrt{8}$
分别化简两个二次根式：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$
代入得$a=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$
估算$\sqrt{2}$的大小：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$，即a的取值在1和2之间。
观察数轴可知，线段②对应的区间是1~2，因此表示实数a的点落在线段②上。
【答案】
B
【知识点】
二次根式化简，无理数估算，数轴的应用
【点评】
本题属于基础综合题，将二次根式运算与无理数估算、数轴知识相结合，解题的核心是正确化简二次根式得到a的最简形式，再准确估算无理数的取值范围即可求解。
【难度系数】
0.8
10. 观察分析，探求出规律，然后填空：$\sqrt{2}$，2，$\sqrt{6}$，$2\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$，
$2\sqrt{3}$
，…，$\sqrt{2n}$
（第$n$个数）。答案
10. $2\sqrt{3}$ $\sqrt{2n}$
解析
【分析】
这是一道二次根式相关的规律探究题，解题核心思路是将所有给出的数统一化为“根号下某数”的形式，方便观察被开方数的变化规律。第一步先把不带根号或根号外有系数的数全部转化为根号内的形式，第二步观察被开方数的序列特征，找到其和项数的对应关系，第三步根据规律计算要求的第6个数和第n个数即可。
【解析】
先将已知的5个数全部转化为根号内的形式：
第1个数：$\sqrt{2}=\sqrt{2×1}$
第2个数：$2=\sqrt{4}=\sqrt{2×2}$
第3个数：$\sqrt{6}=\sqrt{2×3}$
第4个数：$2\sqrt{2}=\sqrt{4×2}=\sqrt{8}=\sqrt{2×4}$
第5个数：$\sqrt{10}=\sqrt{2×5}$
观察可得规律：第k个数的被开方数是2的k倍，即第k个数为$\sqrt{2k}$。
因此第6个数为：$\sqrt{2×6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；
第n个数为：$\sqrt{2n}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$；$\sqrt{2n}$
【知识点】
二次根式化简；数列规律探究
【点评】
本题属于基础规律探究题，解题的关键是将不同形式的二次根式统一为根号下的形式，通过观察被开方数的变化规律即可快速求解，掌握二次根式的化简技巧是解题的前提。
【难度系数】
0.7
这是一道二次根式相关的规律探究题，解题核心思路是将所有给出的数统一化为“根号下某数”的形式，方便观察被开方数的变化规律。第一步先把不带根号或根号外有系数的数全部转化为根号内的形式，第二步观察被开方数的序列特征，找到其和项数的对应关系，第三步根据规律计算要求的第6个数和第n个数即可。
【解析】
先将已知的5个数全部转化为根号内的形式：
第1个数：$\sqrt{2}=\sqrt{2×1}$
第2个数：$2=\sqrt{4}=\sqrt{2×2}$
第3个数：$\sqrt{6}=\sqrt{2×3}$
第4个数：$2\sqrt{2}=\sqrt{4×2}=\sqrt{8}=\sqrt{2×4}$
第5个数：$\sqrt{10}=\sqrt{2×5}$
观察可得规律：第k个数的被开方数是2的k倍，即第k个数为$\sqrt{2k}$。
因此第6个数为：$\sqrt{2×6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$；
第n个数为：$\sqrt{2n}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$；$\sqrt{2n}$
【知识点】
二次根式化简；数列规律探究
【点评】
本题属于基础规律探究题，解题的关键是将不同形式的二次根式统一为根号下的形式，通过观察被开方数的变化规律即可快速求解，掌握二次根式的化简技巧是解题的前提。
【难度系数】
0.7
