1. (2026·苏州期末)如图①,已知数轴上有三点A,B,C,点B是线段AC的中点.

(1)若点A对应的数是-12,点C对应的数是8,则点B对应的数是.
(2)在(1)的条件下,若点A对应的数是x,点C对应的数是y,请你猜想:线段AC的中点B对应的数是(用含x,y的代数式表示).
(3)如图②,在数轴上,若点D,B,C对应的数分别是-400,0,100,点A是线段DB的中点,动点P,Q分别从D,B两点同时出发沿数轴向左运动,点P,Q的速度分别为10个单位长度/秒、5个单位长度/秒,点M为线段PQ的中点,在上述运动过程中,
①t为何值$MP=3BC$.
②$\frac{3}{2}QC - AM$的值是否发生变化?若不变,求其值;若改变,请说明理由.

(1) -2
解析:因为数轴上点A对应的数是-12,点C对应的数是8,因为AC=8-(-12)=8+12=20,而点B是线段AC的中点,所以BC=AB=10,所以-12+10=-2,所以点B对应的数是-2.
(2) $\frac{x+y}{2}$
解析:由(1)得数轴上点A对应的数是-12,点C对应的数是8,线段AC的中点B对应的数是-2,则$\frac{-12+8}{2}=-2$,所以当点A对应的数是x,点C对应的数是y时,线段AC的中点B对应的数是$\frac{x+y}{2}$.
(3) ①因为点B对应的数是0,点C对应的数是100,点D对应的数是-400,所以BC=100,DB=400.因为动点P,Q分别从D,B两点同时出发沿数轴向左运动,点P,Q的速度分别为10个单位长度/秒、5个单位长度/秒,所以PD=10t,QB=5t,所以PQ=DP+BD-BQ=10t+400-5t=5t+400.因为M为PQ的中点,所以$MP=\frac{1}{2}PQ=\frac{5}{2}t+200$,所以$\frac{5}{2}t+200=300$,解得t=40,即当t为40时MP=3BC.
②不变.由①可知PD=10t,QB=5t,PQ=5t+400,MP=MQ=$\frac{5}{2}t+200$,BD=400,因为A为DB的中点,所以AB=AD=200,所以$AM=MQ+BQ-AB=\frac{5}{2}t+200+5t-200=\frac{15}{2}t$,则QC=BC+QB=100+5t,所以$\frac{3}{2}QC-AM=\frac{3(100+5t)}{2}-\frac{15}{2}t=150$为定值.

2. 如图①,已知数轴上从左向右依次有四点A, B,C,D,其中点B,C对应的数分别为8,20,且满足$AB=CD=\frac{3}{4}BC$.

(1)点A,D对应的数分别是,.
(2)若一小球甲在数轴上从点A处以4个单位长度/秒的速度向右运动,同时另一小球乙从点D处以9个单位长度/秒的速度向左运动,设运动的时间为t s.
①当t=时,两球之间的距离为4个单位长度.
②如图②,若甲、乙两小球开始运动时,立即在点E和点B处各放一块挡板,其中$AE=2BE$,当球碰到挡板后(忽略球的大小,可看作一点)以原来的速度向相反的方向运动,回到出发点A,D停止.问:t为何值时,甲、乙两小球之间的距离为17个单位长度?
③在②的条件下,将线段AB,DC分别绕点B、点C竖直向上折起,连接AD,围成如图③的长方形ABCD,点P从点C出发,以3个单位长度/秒的速度沿点C-D-A-E匀速运动,最终到达点E.设点P运动时间为t s,问:t为何值时,三角形PCE的面积为18?请直接写出t的值.

(1) -1 29
解析:因为点B,C对应的数分别为8,20,所以BC=20-8=12.因为$AB=CD=\frac{3}{4}BC$,所以AB=CD=9,所以点A表示的数为8-9=-1,点D表示的数为20+9=29.
(2) ①2或$\frac{34}{13}$
解析:由题意可知,甲球表示的数为-1+4t;乙球表示的数为29-9t.因为两球之间的距离为4个单位长度,所以|29-9t-(-1+4t)|=4,解得t=2或$t=\frac{34}{13}$.
②因为AE=2BE,AB=9,所以AE=6,BE=3,所以点E表示的数为5.因为点B表示的数为8,BD=21,所以甲球到达点E的时间为$6÷4=\frac{3}{2}$(s),乙球到达点B的时间为$21÷9=\frac{7}{3}$(s),当甲没有到达点E,乙没有到达点B时,即$0＜t＜\frac{3}{2}$或t=0时,甲球表示的数为-1+4t,乙球表示的数为29-9t.因为甲、乙两小球之间的距离为17个单位长度,所以29-9t+1-4t=17,解得t=1;当甲球到达点E后开始返回,乙球没有到达点B时,即$\frac{3}{2}＜t＜\frac{7}{3}$或$t=\frac{3}{2}$时,甲球表示的数为5-(4t-6)=-4t+11,乙球表示的数为29-9t.因为甲、乙两小球之间的距离为17个单位长度,所以29-9t-(-4t+11)=17,解得$t=\frac{1}{5}$(舍去);当甲球到达点E返回,但未到点A,乙到达点B返回时,即$\frac{7}{3}＜t＜3$或$t=\frac{7}{3}$时,甲球表示的数为5-(4t-6)=-4t+11,乙球表示的数为8+(9t-21)=9t-13,因为甲、乙两小球之间的距离为17个单位长度,所以9t-13+4t-11=17,解得$t=\frac{41}{13}$(舍去);当甲球回到点A停止运动,乙球从点B返回点D时,即$3＜t＜\frac{14}{3}$或t=3或$t=\frac{14}{3}$时,甲球表示的数为-1,乙球表示的数为8+(9t-21)=9t-13,所以9t-13+1=17,解得$t=\frac{29}{9}$.综上,t为1或$\frac{29}{9}$时,甲、乙两小球之间的距离为17个单位长度.
③t的值为1或8.
解析:
如图①,当点P在CD上时,即0＜t＜3或t=0.因为CP=3t,AD=BC=12,所以$\frac{1}{2}PC· BC=18$,即$\frac{1}{2}×3t×12=18$,解得t=1;如图②,当点P在AD上时,即3＜t＜7或t=3,PD=3t-9,AP=12-(3t-9)=21-3t.因为$S_{三角形PCE}=S_{梯形AECD}-S_{三角形AEP}-S_{三角形CDP}=18$,所以$\frac{1}{2}(AE+CD)· BC-\frac{1}{2}AE· AP-\frac{1}{2}PD· CD=18$,即$\frac{1}{2}×(6+9)×12-\frac{1}{2}×6×(21-3t)-\frac{1}{2}(3t-9)×9=18$,解得t=11＞7,不符合题意;如图③,当点P在AE上时,即7＜t＜9或t=7或t=9,PE=27-3t,所以$\frac{1}{2}PE· BC=18$,即$\frac{1}{2}×(27-3t)×12=18$,解得t=8.综上,t的值为1或8时,三角形PCE的面积为18.