3. (2026·南京期末)如图①,数轴上点A,B对应的数分别是a,b,且a,b满足$(a+12)^2 + |b-20|=0$,现有一长度为2的玩具火车MN从原点出发(点M与点O重合),以每秒4个单位长度的速度向右运动,设运动时间为t s.

(1)直接写出$a=$,$b=$;
(2)在整个运动过程中,求$AN-BM$的值(用含t的式子表示);
(3)如图②,在A,B两处各放置一块挡板P,Q,当点N碰到挡板Q时,玩具火车以原来的速度返回,当点M碰到挡板P时,也立即以原来的速度返回.当$0＜t≤12$时,若$|AN-BM|=ON$,求t的值.

(1) -12 20
解析:因为$(a+12)^2+|b-20|=0$,所以a+12=0,b-20=0,所以a=-12,b=20.
(2) 当点M在点B左边时,$AN-BM=12+2+4t-(20-4t)=8t-6$;
当点M在点B右边时,$AN-BM=12+2+4t-(4t-20)=34$.
(3) 当t=0时,根据题意得ON=2,OB=20,所以BN=20-2=18,因为长度为2的玩具火车MN从原点出发(点M与点O重合),以每秒4个单位长度的速度向右运动,所以当点N和点B重合时,t=18÷4=4.5(s),所以此时AM=12+18=30;
当点N和点O重合时,t=4.5+20÷4=9.5(s),当点M和点A重合时,t=4.5+30÷4=12(s),因为|AN-BM|=ON,所以当0＜t≤4.5时,|8t-6|=2+4t,解得$t=\frac{1}{3}$或t=2;
当4.5＜t≤9.5时,|32×2-14-4t-(4t-18+2)|=20×2-2-4t,整理得|66-8t|=38-4t,解得$t=\frac{26}{3}$或t=7;
当9.5＜t≤12时,|32×2-14-4t-(4t-18+2)|=4t-(20×2-2),整理得|66-8t|=4t-38,因为9.5＜t≤12,所以66-8t＜0,所以8t-66=4t-38,解得t=7(舍去),综上所述,t的值为$\frac{1}{3}$或2或7或$\frac{26}{3}$.

4. 如图①,已知数轴上点O表示原点,点M表示的数为12.动点A从原点出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动,到点M停止运动;动点E从点M出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴先运动到点O后立即以原速返回点M,点A和点E同时出发,同时停止.设运动的时间为t s.

(1)点A在数轴上表示的数为,点E在数轴上表示的数为(用含t的代数式表示);
(2)如图②,数轴上从左到右依次是点A,B,E,F,线段AB=2,EF=4,在数轴上方作正方形ABCD与正方形EFGH,两个正方形随点A和点E运动,若两个正方形同时出发,求t为何值时,两个正方形的重叠部分面积为2.

(1) t $\begin{cases}12-2t(0＜t＜6或t=0或t=6), \\2t-12(6＜t＜12或t=12)\end{cases}$
解析:因为动点A从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动,设运动的时间为t s,所以点A表示的数为t;点E从点M出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴先运动到点O后立即以原速返回M,所以在折返前,EM=2t,所以OE=OM-EM=12-2t.当到达点O时,t=6.故在折返后,OE=2(t-6)=2t-12.当t=12时,点E回到点M.故点E在数轴上表示的数为$\begin{cases}12-2t(0＜t＜6或t=0或t=6), \\2t-12(6＜t＜12或t=12)\end{cases}$.
(2) 由(1)得OA=t,OM=12,①当点E还没有折返时,存在两种情况,
a:如图①,EM=2t,因为两个正方形的重叠部分面积为2,且AB=2,EF=4,所以S=BC·BE=2BE=2,解得BE=1,所以AE=1.因为OA+AE+ME=OM,所以t+1+2t=12,解得$t=\frac{11}{3}$;
b:如图②,EM=2t,此时AD·AF=2,所以2AF=2,解得AF=1,所以AE=EF-AF=3,所以OA+EM-AE=OM,所以t+2t-3=12,解得t=5.
②点E折返后,存在两种情况,
a:如图③,OA=t,OE=2t-12,此时AD·AF=2,所以2AF=2,解得AF=1,所以AE=EF-AF=3,所以OE+AE=OA,所以2t-12+3=t,解得t=9;
b:如图④,OA=t,OE=2t-12,此时BC·BE=2,所以BE=1,所以OA=OE-AE,所以t=2t-12-1,解得t=13(舍去).
综上所述,当$t=\frac{11}{3}$或t=5或t=9时,两个正方形的重叠部分面积为2.