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1. (2026·盐城期末)数学活动课上,老师给出了如下问题:
如图①, ∠AOB = 90°, OC平分∠AOB.若∠COD=65°,请你补全图形,并求∠BOD的度数.
同学一:以下是我的解答过程(部分空缺)
解:如图②,因为∠AOB=90°,OC平分∠AOB,所以$∠BOC=\frac{1}{2}∠AOB=$
因为∠COD=65°,
所以∠BOD=∠BOC+∠COD=
同学二:“符合题目要求的图形还有一种情况.”
请你完成以下问题:
(1)将同学一的解答过程空缺部分补充完整.
(2)请你在图①中画出另一种情况对应的图形,并求∠BOD的度数.
(3)如图②,将OB固定,OD在OA左侧,OA以每秒8°的速度绕点O顺时针旋转,在旋转过程中始终保证OC平分∠AOB,∠COD=65°,当OA与OB重合时停止旋转,旋转过程中是否存在某一时刻,使得∠AOD=2∠AOB?若存在,求出旋转的时间;若不存在,请说明理由.
如图①, ∠AOB = 90°, OC平分∠AOB.若∠COD=65°,请你补全图形,并求∠BOD的度数.
同学一:以下是我的解答过程(部分空缺)
解:如图②,因为∠AOB=90°,OC平分∠AOB,所以$∠BOC=\frac{1}{2}∠AOB=$
45
°.因为∠COD=65°,
所以∠BOD=∠BOC+∠COD=
110
°.同学二:“符合题目要求的图形还有一种情况.”
请你完成以下问题:
(1)将同学一的解答过程空缺部分补充完整.
(2)请你在图①中画出另一种情况对应的图形,并求∠BOD的度数.
(3)如图②,将OB固定,OD在OA左侧,OA以每秒8°的速度绕点O顺时针旋转,在旋转过程中始终保证OC平分∠AOB,∠COD=65°,当OA与OB重合时停止旋转,旋转过程中是否存在某一时刻,使得∠AOD=2∠AOB?若存在,求出旋转的时间;若不存在,请说明理由.
答案
(1) 空缺部分依次为45、110
(2) 另一种情况对应图形为
, 因为∠AOB = 90°, OC平分∠AOB, 所以∠AOC = ∠BOC = 45°. 因为∠COD = 65°, 所以∠BOD = ∠COD - ∠COB = 65° - 45° = 20°.(3) 存在. 设旋转的时间为 t 秒, 所以∠AOB = 90° - (8t)°. 因为 OC 平分∠AOB, 所以∠BOC = ∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}×[90°-(8t)°] = 45°-(4t)°$. 因为∠COD = 65°, 所以∠AOD = ∠COD - ∠AOC = 20° + (4t)°. 因为∠AOD = 2∠AOB, 所以20°+(4t)°=2[90°-(8t)°], 解得 t = 8, 所以存在, t = 8 秒时, 满足条件.
2. 新考法 游乐园的摩天轮深受学生们的喜爱，如图是某游乐园的摩天轮的平面示意图，16个座舱均匀分布在圆形转轮边缘，摩天轮以固定的速度绕中心逆时针方向转动，转一周需要30 min.座舱与圆形转轮边缘的连接点按顺时针依次标注为$ M_i(i=1,2,···,16) $，三角形AOB表示的是摩天轮的支架，且$ ∠ AOB=60° $。
(1)摩天轮每分钟转动
(2)如图，在某一时刻，连接点$ M_1 $转动到$ ∠ AOB $的内部，此时$ ∠ AOM_1 = 18° $，以此时刻为初始时刻.
①求此时的$ ∠ BOM_3 $的度数.
②求当$ OM_3 $第一次平分$ ∠ AOB $时，摩天轮的转动时间以及此时$ ∠ AOM_1 $的度数.
③设摩天轮转动的时间为$ t(\mathrm{min}) $，在连接点$ M_1 $第一次到达最高处前，是否存在$ ∠ BOM_3 = 2∠ AOM_1 $的时刻？若存在，求出$ t $的值，若不存在，请说明理由.
(1)摩天轮每分钟转动
12
°，$ ∠ M_1OM_3 = $45
°.(2)如图，在某一时刻，连接点$ M_1 $转动到$ ∠ AOB $的内部，此时$ ∠ AOM_1 = 18° $，以此时刻为初始时刻.
①求此时的$ ∠ BOM_3 $的度数.
②求当$ OM_3 $第一次平分$ ∠ AOB $时，摩天轮的转动时间以及此时$ ∠ AOM_1 $的度数.
③设摩天轮转动的时间为$ t(\mathrm{min}) $，在连接点$ M_1 $第一次到达最高处前，是否存在$ ∠ BOM_3 = 2∠ AOM_1 $的时刻？若存在，求出$ t $的值，若不存在，请说明理由.
答案
(1) 12；45 解析:摩天轮每分钟转动的角度是 360°÷30 = 12°, $∠M_1OM_3=\frac{2}{16}×360°=45°$.
(2) ① 因为∠AOB = 60°, ∠AOM₁ = 18°, 所以∠BOM₁ = ∠AOB - ∠AOM₁ = 60° - 18° = 42°. 又因为∠M₁OM₃ = 45°, 所以∠BOM₃ = ∠M₁OM₃ - ∠BOM₁ = 45° - 42° = 3°.
② 作∠AOB 的平分线 OC 交 AB 于点 C, 则∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}×60°=30°$, OM₃ 第一次平分∠AOB 时, OM₃ 转动了 30°+3°=33°, 所以转动时间为 $\frac{33}{12}=\frac{11}{4}$(min), OM₁ 转动的角度也是 33°, 所以此时∠AOM₁ = 33° - 18° = 15°.
③ 存在, t 的值为 $\frac{11}{4}$ 或 $\frac{13}{12}$. 理由如下:
因为 OC 是∠AOB 的平分线, 所以∠AOC = ∠BOC = 30°. 初始时刻, ∠COM₁ = ∠AOC - ∠AOM₁ = 30° - 18° = 12°, 当点 M₁ 第一次到达最高处时, 时间为 $\frac{180-12}{12}=14$(min), 所以 0 ＜ t ＜ 14 或 t = 0 或 t = 14. 根据题意得 ∠BOM₃ = |3 - 12t|°, ∠AOM₁ = |18 - 12t|°, 因为∠BOM₃ = 2∠AOM₁, 即 |3 - 12t| = 2|18 - 12t|, 解得 $t=\frac{11}{4}$ 或 $\frac{13}{12}$, 所以存在, t 的值为 $\frac{11}{4}$ 或 $\frac{13}{12}$.
易错提醒 ①注意射线旋转的起始位置,并留意旋转的方向和速度;②注意运动的时间有没有范围限制,先明确运动的时间范围,当超出范围时要舍去答案;③注意分类讨论,找出所有可能;④当表示的角度不能确定时考虑使用绝对值,再利用绝对值进行分类计算.
(2) ① 因为∠AOB = 60°, ∠AOM₁ = 18°, 所以∠BOM₁ = ∠AOB - ∠AOM₁ = 60° - 18° = 42°. 又因为∠M₁OM₃ = 45°, 所以∠BOM₃ = ∠M₁OM₃ - ∠BOM₁ = 45° - 42° = 3°.
② 作∠AOB 的平分线 OC 交 AB 于点 C, 则∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}×60°=30°$, OM₃ 第一次平分∠AOB 时, OM₃ 转动了 30°+3°=33°, 所以转动时间为 $\frac{33}{12}=\frac{11}{4}$(min), OM₁ 转动的角度也是 33°, 所以此时∠AOM₁ = 33° - 18° = 15°.
③ 存在, t 的值为 $\frac{11}{4}$ 或 $\frac{13}{12}$. 理由如下:
因为 OC 是∠AOB 的平分线, 所以∠AOC = ∠BOC = 30°. 初始时刻, ∠COM₁ = ∠AOC - ∠AOM₁ = 30° - 18° = 12°, 当点 M₁ 第一次到达最高处时, 时间为 $\frac{180-12}{12}=14$(min), 所以 0 ＜ t ＜ 14 或 t = 0 或 t = 14. 根据题意得 ∠BOM₃ = |3 - 12t|°, ∠AOM₁ = |18 - 12t|°, 因为∠BOM₃ = 2∠AOM₁, 即 |3 - 12t| = 2|18 - 12t|, 解得 $t=\frac{11}{4}$ 或 $\frac{13}{12}$, 所以存在, t 的值为 $\frac{11}{4}$ 或 $\frac{13}{12}$.
易错提醒 ①注意射线旋转的起始位置,并留意旋转的方向和速度;②注意运动的时间有没有范围限制,先明确运动的时间范围,当超出范围时要舍去答案;③注意分类讨论,找出所有可能;④当表示的角度不能确定时考虑使用绝对值,再利用绝对值进行分类计算.
